高考数学一轮复习考点探究与题型突破第42讲直线、平面垂直的判定与性质(原卷版+解析)

第42讲直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α考点1直线、平面垂直的判定与性质[名师点睛]证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．[典例]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[举一反三](2023·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.考点2平面与平面垂直的判定与性质[名师点睛](1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(i)面面垂直的定义；(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.[典例](2023·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.[举一反三]1.(2023·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝eq\r(2)，圆锥的侧面积为eq\r(3)π，求三棱锥P－ABC的体积．2.(2023·江苏镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．考点3平行、垂直关系的综合应用[名师点睛]三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.求解时应注意垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.[典例]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.[举一反三]如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，请说明理由．考点4几何法求空间角[名师点睛]1.求线面角的三个步骤：一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.[典例]例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.(1)证明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为eq\r(2)时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.例2如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.(1)求三棱锥P－AMN的体积；(2)求二面角M－AN－D的正切值.[举一反三]如图，平面ABCD⊥平面ABE，且四边形ABCD为正方形，AE＝2AB＝2，∠BAE＝60°，F为AC的中点.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值.第42讲直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α考点1直线、平面垂直的判定与性质[名师点睛]证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．[典例]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[举一反三](2023·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.(1)解如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝eq\f(1,2)AB＝1，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，故V三棱锥F－EBC＝V三棱锥E－FBC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BC×CF×EM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).(2)证明连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1内．在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE⊂平面EMB1A1，所以BF⊥DE.考点2平面与平面垂直的判定与性质[名师点睛](1)面面垂直判定的两种方法与一个转化①两种方法：(i)面面垂直的定义；(ii)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).②一个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.(2)面面垂直性质的应用①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.[典例](2023·全国乙卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.(1)证明∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM.∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD，∴AM⊥平面PBD.又AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD.(2)解∵M为BC的中点，∴BM＝eq\f(1,2)AD.由题意可知AB＝DC＝1.∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AM⊥BD，由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，易得△BAM∽△ADB，所以eq\f(BM,AB)＝eq\f(AB,AD)，即eq\f(\f(1,2)AD,1)＝eq\f(1,AD)，得AD＝eq\r(2)，所以S矩形ABCD＝AD·DC＝eq\r(2)×1＝eq\r(2)，则四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·PD＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),3).[举一反三]1.(2023·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝eq\r(2)，圆锥的侧面积为eq\r(3)π，求三棱锥P－ABC的体积．(1)证明∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC，∵△ABC是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，PA⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC.(2)解设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为πrl＝eq\r(3)π，rl＝eq\r(3)，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3)，AC＝2rsin60°＝eq\r(3)，在等腰直角三角形APC中，AP＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(6),2)，在Rt△PAO中，PO＝eq\r(AP2－OA2)＝eq\r(\f(6,4)－1)＝eq\f(\r(2),2)，∴三棱锥P－ABC的体积为VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(6),8).2.(2023·江苏镇江八校联考)如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明：(1)如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA.过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥AE.因为AE∩BH＝E，所以PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.因为PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．考点3平行、垂直关系的综合应用[名师点睛]三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.求解时应注意垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.[典例]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.[举一反三]如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点．(1)求证：AF∥平面SEC；(2)求证：平面ASB⊥平面CSB；(3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq\f(BM,BS)的值；若不存在，请说明理由．(1)证明如图，取SC的中点G，连接FG，EG，∵F，G分别是SB，SC的中点，∴FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC，∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，∴AE∥BC，AE＝eq\f(1,2)BC，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形，∴AF∥EG，又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC，∴AF∥平面SEC.(2)证明∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点，∴SE⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点，∴AD⊥CE，又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC，∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC，∴AD⊥EG，又四边形AFGE是平行四边形，∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG，又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB，又FG∩SB＝F，FG⊂平面SBC，SB⊂平面SBC，∴AF⊥平面SBC，又AF⊂平面ASB，∴平面ASB⊥平面CSB.(3)解存在点M满足题意．假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，则BD⊥OM，∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，∴BE＝eq\r(7)，SE＝eq\r(3)，BD＝2OB＝2eq\r(3)，SD＝2，SE⊥AD，∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE⊥BE，∴SB＝eq\r(SE2＋BE2)＝eq\r(10)，∴cos∠SBD＝eq\f(SB2＋BD2－SD2,2SB·BD)＝eq\f(3\r(30),20)，∴eq\f(OB,BM)＝eq\f(3\r(30),20)，∴BM＝eq\f(2\r(10),3)，∴eq\f(BM,BS)＝eq\f(2,3).考点4几何法求空间角[名师点睛]1.求线面角的三个步骤：一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.[典例]例1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.(1)证明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为eq\r(2)时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.∴BC⊥AC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是直线PC与平面ABC所成的角，∴tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(2)，又PA＝2，∴AC＝eq\r(2)，∴在Rt△PAC中，AH＝eq\f(PA·AC,\r(PA2＋AC2))＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)＝eq\f(\r(3),3)，故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).例2如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB.(1)求三棱锥P－AMN的体积；(2)求二面角M－AN－D的正切值.解(1)∵PB＝PC，∴PN⊥BC，又∵PN⊥AB，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABCD，∴PN⊥平面ABCD.∵AB＝BC＝PB＝PC＝2，M为PD的中点，