中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十七等比数列(原卷版+解析)

专题二十七等比数列思维导图知识要点知识要点1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(q≠0)．(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝3．等比数列及前n项和的性质(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且m为奇数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，其公比为qm.(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{an2}，{an·bn}，仍是等比数列．典例解析典例解析【例1】在2和6之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，写出这个数列．【变式训练1】等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.【例2】(1)已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________；【例2】(2)设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________【变式训练2】(1)在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝______(2)等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则a5＋a6＝________.【例3】(1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于()A．7B．5C．－5D．－7【例3】(2)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为()A．－3B．±3C．－3D．±3(3)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7等于()A．4B．6C．8D．8－4【变式训练3】(1)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.(2)＋1与－1两数的等比中项是________．(3)在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么该数列的前8项和为_______．高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.2．(四川省2018年对口升学考试试题)在等比数列{an}中，a6－a4＝a5＋a4＝24，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.3．已知各项均为正数的数列{an}满足a2＝6，1＋log2an＝log2an＋1(n∈N*)．求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.同步精练同步精练选择题1．等比数列{an}中，已知a2＝8，a5＝64，则公比q的值为()A．2B．±2C．4D．±42．已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则等于()A.B.C.D．13．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，则数列{an}是()A．等差数列B．等比数列C．既不是等差数列又不是等比数列D．既是等差数列又是等比数列4．已知等比数列{an}的公比为q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a49＝30，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a50＝()A．35B．40C．45D．505．在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值是()A．20B．15C．10D．5填空题6．在等比数列{an}中，已知a5＝－2，公比q＝－，则a1＝________.7．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，则q＝________.8.与的等比中项是________．9．已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋3，则此数列的一个通项公式是．解答题10．等比数列{an}中，a4，a8是方程x2＋3x＋2＝0的两根，求a5a6a7的值．11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n，q的值．12．等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若，求公比q.13．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．专题二十七等比数列思维导图知识要点知识要点1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(q≠0)．(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝3．等比数列及前n项和的性质(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且m为奇数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，其公比为qm.(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{an2}，{an·bn}，仍是等比数列．典例解析典例解析【例1】在2和6之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，写出这个数列2，3，，6.．答案：解：设中间两数为x，y，则解得∴这个数列为2，3，，6.【思路点拨】根据题设条件，设中间两数为x，y，由2，x，y成等比数列，知x2＝2y，由x，y，6成等差数列，知2y＝x＋6，列出方程组从而求得这两个数的和．【变式训练1】等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设{an}的公比为q，由已知得a4＝a1q3，即16＝2q3，解得q＝2.∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有解得从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.【例2】(1)已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________；【提示】(1)显然公比q≠1，由题意可知，解得q＝2，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得数列的前5项和T5＝【例2】(2)设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________【提示】(2)显然公比q≠1，由题意得解得或(舍去)∴S5＝【变式训练2】(1)在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝__-2____【提示】a4a7＝a1a10＝－2.(2)等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则a5＋a6＝___24_____.【提示】∵∴q2＝2，a5＋a6＝q2(a3＋a4)＝2×12＝24.【例3】(1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(D)A．7B．5C．－5D．－7【思路点拨】(1)由已知得解得或当a4＝4，a7＝－2时，易得a1＝－8，a10＝1，从而a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，易得a10＝－8，a1＝1，从而a1＋a10＝－7.【例3】(2)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为(C)A．－3B．±3C．－3D．±3(3)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7等于(C)A．4B．6C．8D．8－4【思路点拨】(2)由等比中项知y2＝3，∴y＝，又y与－1，－3符号相同，∴y＝，y2＝xz，∴xyz＝y3＝.(3)由等比数列的性质得a3a7＝a，a2a6＝a3a5，∴a32＋2a2a6＋a3a7＝a32＋2a3a5＋a52＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝()2＝8.【变式训练3】(1)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝____10____.(2)＋1与－1两数的等比中项是________．(3)在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么该数列的前8项和为___510_____．【提示】(1)a5a6＝a4a7＝9，logaa1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3a1a2…a10＝log395＝10.(2)x2＝＝1，x＝±1.(3)a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，，q＝或q＝2，∵q∈Z，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.高考链接高考链接1．(四川省2015年对口升学考试试题)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.解：由an＋1＝2an得＝2，则数列{an}是以2为首项和公比的等比数列，∴an＝2·2n－1＝2n，Sn＝＝2n＋1－2.2．(四川省2018年对口升学考试试题)在等比数列{an}中，a6－a4＝a5＋a4＝24，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.解：∵解得q＝2，则a1＝1，an＝1×2n－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1.3．已知各项均为正数的数列{an}满足a2＝6，1＋log2an＝log2an＋1(n∈N*)．求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.解：由题意知log2an＋1－log2an＝1，得＝2，∴数列{an}是公比q＝2，a1＝3的等比数列，于是an＝a1·qn－1＝3·2n－1.∴Sn＝＝3(2n－1)．同步精练同步精练选择题1．等比数列{an}中，已知a2＝8，a5＝64，则公比q的值为(A)A．2B．±2C．4D．±4【提示】q3＝8，∴q＝2.2．已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则等于(B)A.B.C.D．1【提示】b＝2a，c＝4a，d＝8a.3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，则数列{an}是(B)A．等差数列B．等比数列C．既不是等差数列又不是等比数列D．既是等差数列又是等比数列4．已知等比数列{an}的公比为q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a49＝30，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a50＝(C)A．35B．40C．45D．50【提示】a1q＋a3q＋a5q＋…＋a49q＝a2＋a4＋a6＋…＋a50＝15.5．在等比数列{an}中，an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值是(D)A．20B．15C．10D．5【提示】∵{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴＋2a3a5＋＝25，∴(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.填空题6．在等比数列{an}中，已知a5＝－2，公比q＝－，则a1＝____-32____.【提示】∵an为等比数列，∴a1q4＝a5，即a1＝＝－32.7．在等比数列{an}中，已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，则q＝________.8.与的等比中项是________．9．已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋3，则此数列的一个通项公式是2n＋1－3.．【提示】∵数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋3，∴an＋3＝2(an－1＋3)(n≥2)，∴{an＋3}是公比为2，首项为4的等比数列，∴an＋3＝4·2n－