苏科版八年级数学下册举一反三专题12.6二次根式全章五类必考压轴题(苏科版)(原卷版+解析)

专题12.6二次根式全章五类必考压轴题【苏科版】1．已知x、y为实数，且y=x−2023+2023−xA．2022 B．2023 C．2024 D．20252．已知x−11−7−x+x−92A．22 B．20 C．18 D．163．已知﹣1＜a＜0，化简(a+14．若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=5．已知整数x，y满足xy+yx6．已知实数x，y，m满足等式3x+5y−3−m+2x+3y−m2=x+y−2−1．若A=1+112+122+A．2019 B．2020 C．2021 D．20222．已知T1=1+112+122=94=3A．202220222023 B．202320222023 C．3．将一组数据3，6，3，23，15，…，310，按下面的方法进行排列：3，6，3，2332，21，26，33⋯；若23的位置记为1，4，26的位置记为2，A．6，4 B．5，3 C．4．观察下列各式：1+11+11+1请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)发现规律1+1n2(2)计算1+1(3)如果1+1125．观察下面的式子：S1=1+112+122，S2=1+122（1）计算：S1=

，S3=

；猜想Sn（2）计算：S=S11．材料：如何将双重二次根式a±2b(a>0，b>0，a±2b>0)化简呢？如能找到两个数m，n(m>0,n>0)，使得(m)2+(n)2=a例如化简：3±22因为3=1+2且2=1×2，∴3±22由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成a±2b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)填空：5±26=___________，12±2(2)化简：9±62(3)计算：3−5+2±2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22若设a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a(1)若a+b7=m+n72，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b(2)若a+63=m+n32，且a、m(3)化简下列格式：①5+2②7−2③4−10+23．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式5−265−26＝2＝2−=2=3(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简4−23(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若a+2b=m+n2，则a+2b=(m+n)+2mn，所以a=m+n,b=mn，若a+217=m+n2，且a4．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：(材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：x∵(x+2)2≥0∴x2+2阅读上述材料解决下面问题：（1）4−23=，5+2（2）求x2（3）已知x=3−13−435．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22设a+b2=m+n22（其中a、b则有a+b2∴a=m2+2n2请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b(2)若7−43=e−f32，且e(3)化简：7+21−1．已知x(x−2．已知x=110−3（1）求x2（2）求x23．已知a=3−1（1）求a2（2）若a的小数部分为m，b的小数部分为n，求m+nm－n4．已知x=3−12，y=3+1（1）求m,n的值；（2）若a−b=n+2，ab5．正数m,n满足m+4mn−2m1．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如25，53，255312对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，1212(1)请参照方法④化简：27(2)化简：56(3)化简：13+1+2．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为a×a=a，2+12−1=1，所以a(1)3−2的有理化因式是________；化简：3(2)化简：1(3)拓展应用：已知，a=2020−2019，b=试比较a，b，c的大小，并说明理由．3．先阅读下面的材料，再解答问题．因为a+所以a−b=a特别地，14+所以114当然，也可以利用14−13=1，得1=14−13，所以114=14=14这种变形也是将分母有理化．利用上述的思路方法，计算：(1)12(2)34−4．【材料阅读】材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如23+1的式子，可以通过分母有理化进行化简或计算．如化简：方法一：23方法二：23材料二：我们在学习分式时知道，对于公式ba+c【问题解决】（1）化简：310（2）计算：12（3）计算：12+5．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式13方法1：13方法2：13请选用适当的方法，解答如下问题：（1）化简：23（2）若a=15−4，b=16−5，（3）已知m为正整数，a=m+1−mm+1+m，6．我们将(a+b)、(a−b)称为一对“对偶式”，因为(a+b)(a−b（1）比较大小17−2________16−3（用“>（2）已知x=5+25−2，（3）计算：2专题12.6二次根式全章五类必考压轴题【苏科版】1．已知x、y为实数，且y=x−2023+2023−xA．2022 B．2023 C．2024 D．2025【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出x的值，代入求得y的值，代入代数式求值即可．【详解】解：∵x−2023≥0，2023−x≥0，∴x−2023=0，∴x=2023，∴y=1，∴x+y=2023+1=2024，故选：C．2．已知x−11−7−x+x−92A．22 B．20 C．18 D．16【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：解：∵x−11一定有意义，∴x≥11，∴x−11−x−11+7−x+x−9=3y−2整理得：x−11=3y∴x−11=9y则2x−18y故答案为：22．3．已知﹣1＜a＜0，化简(a+1【分析】根据题意得到a−1a>0【详解】解：原式=a2∵−1<a<0，∴0<a∴a>1a，∴a−1a>0原式=故答案为：−24．若实数a，b，c满足关系式a−199+199−a=【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．【详解】解：根据题意，得a−199=0199−a=0解得a＝199，则2a+b−c+所以2×199+b−c=0b−6=0解得b=6c=404故答案为：404．5．已知整数x，y满足xy+yx【分析】原式可变形为xy(x+y)−x=337，y=6，则答案可得．【详解】解：xy变形为xy(∴(x∴xy−∴xy=2022=2×3×337，∵x，y均为整数，x−y−7>0，∴x−y−7最小值时x=337，y=6，∴x−y−7最小值为337−6−7=故答案为：18．6．已知实数x，y，m满足等式3x+5y−3−m+2x+3y−m2=x+y−2−【分析】根据二次根式的性质，分别计算等式的左右两边，根据非负数之和为0，列三元一次方程组，进而求得m的值，再将m代入求解即可．【详解】依题意得：x+y−2≥0又∵3x+5y−3−m≥0得3x+5y−3−m=0解得x=1，y=1，m=5，∴m+41．若A=1+112+122+A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】根据1+1n2+1【详解】解：对于正整数n，有1+1∴1+1∴A===2022−1因此，不超过A的最大整数为2021，故C正确．故选：C．2．已知T1=1+112+122=94=3A．202220222023 B．202320222023 C．【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．【详解】解：由题意，可得T1T2T3……Tn∴S=1+(1−=1×2022+(1−=2022+(1−=20222022故选：A．3．将一组数据3，6，3，23，15，…，310，按下面的方法进行排列：3，6，3，2332，21，26，33⋯；若23的位置记为1，4，26的位置记为2，A．6，4 B．5，3 C．【分析】由题意可知，每行5个数，数的被开方的规律是3n，由此可得87是第29个数，进而判断87是第6行的第4个数．【详解】解：一组数据的排列变形为3×1，3×2，3×3，3×4，3×5；3×6，3×7，3×8，3×9，3×10；⋯；由题意可知，每行5个数，∵87=3×29，∴87是第29个数，∵29÷5=5…4，∴87是第6行的第4个数，∴87的位置记为6，故选：A．4．观察下列各式：1+11+11+1请利用你所发现的规律，解决下列问题：(1)发现规律1+1n2(2)计算1+1(3)如果1+112【分析】（1）观察前三个式子特点，找出规律即可解答；（2）利用（1）的规律解答即可；（3）利用（1）的规律解答即可．【详解】（1）解：∵1+11+11+1∴1+1故答案为：n2（2）解：原式=1+=2022+1−=2022+=20222022故答案为：20222022（3）解：根据题意，得1+1∴n−1+1−∴n−1∴n=5，经检验得n=5是原方程的解．故答案为：n=5．5．观察下面的式子：S1=1+112+122，S2=1+122（1）计算：S1=

，S3=

；猜想Sn（2）计算：S=S1【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可；（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+12+1+112+…【详解】（1）∵S1=1+112+∵S2=1+122+∵S3=1+132+∵Sn=1+1n2+（2）解：S=3=1+=n==n1．材料：如何将双重二次根式a±2b(a>0，b>0，a±2b>0)化简呢？如能找到两个数m，n(m>0,n>0)，使得(m)2+(n)2=a例如化简：3±22因为3=1+2且2=1×2，∴3±22由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成a±2b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)填空：5±26=___________，12±2(2)化简：9±62(3)计算：3−5+2±【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把62变形成2（3）将5变形成254，3变形成【详解】（1）解：5±2612±2故答案为：3±2，（2）9±62（3）3−====10同理可得3−52．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22若设a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a(1)若a+b7=m+n72，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b(2)若a+63=m+n32，且a、m(3)化简下列格式：①5+2②7−2③4−10+2【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；（2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3（3）设4−10+25+4+10+25=t，两边平方得到t2=4−10+25【详解】（1）设a+b7=m+n72=m2+7则有a=m2+7故答案为：m2+7n（2）∵6=2mn，∴mn=3，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=m当m=3，n=1时，a=m即a的值为12或28；（3）①5+2②7−2③设4−10+2则t2=4−10+25=8+2=8+2=8+2=6+2=5∴t=53．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式5−265−26＝2＝2−=2=3(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简4−23(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若a+2b=m+n2，则a+2b=(m+n)+2mn，所以a=m+n,b=mn，若a+217=m+n2，且a【分析】（1）根据阅读材料和完全平方公式以及二次根式的性质解答；（2）先将m+n2展开，然后与a+217对边得到a=m+n、17=mn，再根据a，m，n为正整数，m>n确定【详解】（1）解：4−2=1−2×=（=（=1−=3−1（2）解：∵a+217=∴a=m+n，17=mn∵a，m，n∴m=17，n=1，a=m+n=17+1=18．4．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：(材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：x∵(x+2)2≥0∴x2+2阅读上述材料解决下面问题：（1）4−23=，5+2（2）求x2（3）已知x=3−13−43【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.【详解】（1）4−23=(故答案为：3−1；（2）∵x2+43x+11=∴x2+43（3）∵x=3−13−4∴−=−=−=−(y−1)故−15．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22设a+b2=m+n22（其中a、b则有a+b2∴a=m2+2n2请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=c+d32，用含c、d的式子分别表示a、b(2)若7−43=e−f32，且e(3)化简：7+21−【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；（2）将7−43变为2（3）将7+21−80化为【详解】（1）解：∵c+d3∴a=c故答案为：c2（2）∵7−43∴7−43（3）7+======1+51．已知x(x−【分析】先根据所给的式子进行因式分解求出x=3【详解】解：∵x(∴x2∴x2∴x+5∴x+5y=0当x+5y=0∴x−3∴x=3∴x=9y∴2x−xy2．已知x=110−3（1）求x2（2）求x2【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【详解】（1）∵x=1y=1∴x+y=210，x−y=6∴x（2）∵x=10+3，∴x−2>0，y+1>0，∴=====−6．3．已知a=3−1（1）求a2（2）若a的小数部分为m，b的小数部分为n，求m+nm－n【分析】（1）利用二次根式的加法运算和乘法运算求得a+b和ab，对所求式子利用完全平方公式变形，进而整体代入求出即可；（2）首先利用分母有理化法则求出a，b的值，根据1<3<2，可得m，【详解】（1）a+b=3ab=3a===13；（2）a=3−13∵1<3<2，∴2−2<2−3<2−1，即0<2−3<1∴2−3的整数部分是0，小数部分是2−3，即2+3的整数部分是3，小数部分是3−1，即∴m+n==3−234．已知x=3−12，y=3+1（1）求m,n的值；（2）若a−b=n+2，ab【分析】（1）由x和y的值求出xy，y－x和x2+y2，将m和n分别变形，从而求值；（2）根据（1）中m和n的值，将a−b变形，求出a+b的值，再根据(a【详解】解：（1）∵x=3−1∴xy=322∴x2∴m=y−xxy=2（2）∵a−∴a+b−2ab∵ab=m=2∴a+b−4=36，即a+b=40，∴(a又∵a+∴a+5．正数m,n满足m+4mn−2m【分析】由已知m+4mn−2m−4n【详解】原式可变形为m+4mm+2又∵m，n为正数，∴m∴m1．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如25，53，255312对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化，1212(1)请参照方法④化简：27(2)化简：56(3)化简：13+1+【分析】（1）分子、分母都乘以7−（1）先化为最简二次根二次根式，再相加即可；（3）先将各式分母有理化，再进一步计算即可．【详解】（1）2====7（2）5===（3）原式==2．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为a×a=a，2+12−1=1，所以a(1)3−2的有理化因式是________；化简：3(2)化简：1(3)拓展应用：已知，a=2020−2019，b=试比较a，b，c的大小，并说明理由．【分析】（1）根据题目中的例子分别确定它们有理化因式即可；（2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可；（3）先分别求出1a【详解】（1）解：∵3∴3−2的有理化因式是3∴3+2故答案为3+2；−7−4（2）解：1==−=8．（3）解：a>b>c，理由如下：111∵1∴a>b>c．3．先阅读下面的材料，再解答问题．因为a+所以a−b=a特别地，14+所以114当然，也可以利用14−13=1，得1=14−13，所以114=14=14这种变形也是将分母有理化．利用上述的思路方法，计算：(1)12(2)34−【分析】（1）根据题意，先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；（2）根据题意，先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：原式=2−1===2023−1=2022；（2）解：原式====4+=1．4．【材料阅读】材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如23+1的式子，可以通过分母有理化进行化简或计算．如化简：方法一：23方法二：23材料二：我们在学习分式时知道，对于公式ba+c【问题解决】（1）化简：310（2