毕业设计-傅里叶与小波变换在图像去噪中的应用

傅里叶变换与小波变换在图像去噪中的应用摘要图像去噪是图像处理研究的一个重要话题。图像在获取和传输的过程中经常要受到噪声的污染。噪声对图像质量有着非常重要的影响。所以,必不可免的图像去噪成为图像分析和处理的重要技术。用传统傅里叶变换对信号去噪的根本思想是对含噪信号进行傅里叶变换后使用低通或带通滤波器滤除噪声频率，然后用逆傅里叶变换恢复信号。但是傅里叶变换很难将有用信号的高频局部和由噪声引起的高频干扰有效地区分开。小波分析是傅里叶分析思想方法的开展和延拓，与傅里叶分析密切相关。而小波阈值去噪方法是众多图象去噪方法中的佼佼者,它利用图象的小波分解后,各个子带图象的不同特性,选取不同的阈值,从而到达较好的去噪效果。而且与传统的去噪方法相比较,有着无可比较的优点,成为信号分析的一个强有力的工具,被誉为分析信号的显微镜。本文概述了傅里叶变化与小波变换去噪的根本原理及其比较。对常用的几种去噪方法进行了分析。最后结合理论分析和实验结果。在实际的图像处理中，实现了小波变换去噪法的处理。关键词：小波变换，图像去噪，Matlab

Applicationofimagede-noisingbasedonFouriertransformandwavelettransformABSTRACTImagede-noisingisaneternalthemeoftheimageprocessingresearch.Imageacquisitionandtransmissionprocessoftensubjecttonoisepollution.Thenoisehasaveryimportantimpactonimageanalysis.So,theimagede-noisingbecomeanimportanttechnologyforimageanalysisandprocessing.Thebasicideainthesignalde-noisingusingthetraditionalFouriertransformisaFouriertransformofthenoisysignalusingalow-passorband-passfiltertoremovethenoisefrequencyandtheninverseFouriertransformsignal.ButFouriertransformisdifficulttobeusefultothehighfrequencypartofsignalandhighfrequencynoisecausedbyinterferenceefficiently.WaveletanalysisisaFourieranalysisofthedevelopmentandcontinuationofthewayofthinking,hasbeencloselyrelatedtotheFourieranalysis.Waveletthresholdmethodistheleaderinthenumberofimagede-noisingmethod,itsuseofthewaveletdecomposition,thedifferentcharacteristicsofeachsub-bandimage,selectadifferentthreshold,soastoachievebetterde-noisingeffect.FollowingtheFouriertransformaftermomentaryfrequencyanalysistool,hasthecharacteristicsofthelocalnatureandmulti-resolutionanalysisinthefrequencydomainatthesametime,notonlytomeetavarietyofde-noisingrequirements,suchaslow-pass,Qualcomm,randomnoiseremoval,andcomparedwiththetraditionalde-noisingmethodhasunparalleledadvantagestobecomeapowerfultoolinsignalanalysis,knownastheanalyticalsignalmathematicalmicroscope.ThisarticleprovidesanoverviewofthebasicprinciplesoftheFouriertransformandwavelettransformde-noising.Severalcommonlyusedde-noisingmethodareanalyzed.Finally,thetheoreticalanalysisandexperimentalresults,discussedthefactorsthataffectthede-noisingperformanceinacompletede-noisingalgorithm.Inpracticalimageprocessing,theprocessingofthewavelettransformde-noisingmethod.KEYWORDS:wavelettransform,imagede-noising,Matlab目录TOC\o"1-3"\h\u摘要IABSTRACTII第一章绪论11.1课题研究背景和意义11.2图像与噪声21.2.1图像噪声描述及分类21.2.2图像去噪21.2.3图像去噪的评价标准31.3小波分析在图像处理中的应用41.4本论文主要工作和结构安排4第二章傅里叶变换52.1傅里叶变换的开展52.1.1傅里叶变换的提出52.1.2傅里叶变换意义52.1.3傅里叶变换定义52.2傅里叶变换62.3傅里叶变换的应用7第三章小波变换理论根底83.1小波的产生83.1.1小波变换的背景及意义83.1.2小波开展简史[7]83.2小波图像去噪技术的国内外研究现状和研究热点93.3小波变换理论103.3.1从傅里叶变换到小波变换103.3.2小波变换12第四章图像去噪法分析144.1传统去噪法分析144.1.1空域去噪法144.1.2频域低通滤波法[14]154.2基于小波变换的图像去噪技术164.2.1小波图像去噪174.2.2小波去噪几种方法17第五章基于Matlab的图像去噪及仿真205.1小波阈值去噪概述205.1.1阈值去噪简述205.1.2小波阈值去噪方法205.2基于MATLAB的小波去噪函数简介225.3小波去噪与常用去噪方法的比照试验235.3.1图像系统中的常见噪声235.3.2几种去噪常用方法比照245.3.3结果比照与分析26第六章设计总结及展望28参考文献29致谢31附录32第1章绪论随着计算机、通信和科学技术的迅猛开展，人们现在己经步入信息生活时代，小到家庭生活中的数字电视、电视，大到生产、医疗、艺术、军事、航天等离不开图像信息，图像与人类生活的关系越来越密切图像信息以其信息量大、传输速度快、作用距离远等一系列优点成为人类获取信息的重要来源和利用信息的重要手段。然而，图像在生成和传输的过程中会受到各种噪声的干扰，图像的质量会受到损害，这对图像后续更高层次的处理是十分不利的。因此，图像去噪处理技术的广泛研究和应用是必然的趋势。所谓图像处理就是对图像息进行加工处理，以满足人的视觉心理和实际应用的要求。人们根据实际图像的特点、噪声频谱分布的规律和统计特征，开发了多种多样的去噪方法，其中最为直观的方法是：根据噪声能量一般集中于高频，而信号频谱那么分布于一个有限区间的特点，用傅里叶变换将含噪信号变换到频域，然后采用低通滤波的方法进行滤波去噪。然而，由于图像的细节也分布在高频区域，所以这种方法在去除图像噪声的同时，也会将图像的边缘平滑，失去图像的一些细节信息。因此，基于传统傅里叶变换的去噪方法，图像去噪的一个两难的问题，就是如何在降低噪声和保存图像细节上保持平衡。小波变换具有良好的时频局部化性质，为解决这一问题提供了良好的工具。1.1课题研究背景和意义图像在工程技术领域中已经成为最为重要的数据类型之一，并且与人们的关系越来越密切。通过传感器获得的图像包含的信息量丰富，然而在实际的应用中，系统获取的原始图像一般不是完美的，因为图像都有可能经常受到环境、设备和人自身等客观因素的影响，在摄取、传输、接收和处理的过程中不可防止地受到外部和内部的干扰，特别是成像拍摄过程中由于成像设备自身或后期处理传输过程误差的因素，各种随机噪声或是混合噪声都会影响到图像质量，甚至有时候，这种随机噪声会对图像的质量产生较大的影响。如果图像的噪声强度比较大的话，一方面会影响人们欣赏图像时的视觉效果；另一方面，用计算机对图像进行处理时，噪声还会影响图像信号的后续处理结果。因此，为了满足实际应用的需要，有必要在图像处理应用前对图像进行去噪处理，这也是图像处理技术所要研究的根本问题之一。在利用图像之前尽可能多地去除图像噪声、滤除干扰来恢复原始图像是具有重要意义的。长期以来，人们根据实际图像的特点、噪声的统计特性和频谱分布的规律，开展了各种各样的图像去噪方法。傅里叶变换是将图像从空间域变换到频率域，然后在频率域中利用有关低通频率滤波器和高通滤波器等对图像进行需要的处理。傅里叶变换能够利用其时域和频域方法解决许多图像处理要求，但它也有一定局限性，图像中的许多重要特征如边缘纹理都是局部性的，傅里叶变换的积分有可能平滑掉这些特征。另外，在信号或图像的分析、处理中有时需要将信号在时域和频域的特性或图像在空域和频域的特性结合起来分析，傅里叶变换都有着严重的缺乏。而在傅里叶变换的根底上开展起来的小波变换在图像去噪方面具有显著的优越性，它具有时频局部性，在频率和位置上都是可变的，非常适合分析瞬态信号，当它分析低频信号时，可以降低时间分辨率来提高频率分辨率，而在高频局部时，可以在较高的时间分辨率下关注信号的瞬态特征，而降低频率分辨率，这正好与自然界中低频信号持续时间较长，而高频信号持续时间较短相吻合，非常适合于图像处理。小波变换作为信号分析处理的一种数学方法，为用户提供了更为灵活的处理方法，它所具有独有的特点和在信号分析方面具有的优势使得它逐渐被越来越多领域的研究者所关注和重视。目前，它已被广泛地用于图像处理、数字水印、模式识别、机器视觉等方面，并在各领域取得了显著的成效和重大的突破这些都证明了小波变换作为一种有利的时频分析工具具有极大的开展潜力和广阔的应用前景。1.2图像与噪声图像噪声描述及分类噪声[1]可以理解成“阻碍人们感觉器官对所接收的信源信息理解的因素”。比方一张黑白图片，其平面亮度分布假设为f(x,y)，那么对其接收起干扰作用的亮度分布R(x,y)即可称为图像噪声。在理论上，噪声可以定义为：不可预测的只能用概率统计方法来认识的随机误差，所以将图像噪声看成是多维随机过程是比较适宜的，完全可以借用随机过程的方法来描述噪声，即用其概率分布函数和概率密度分布函数。一般使用均值方差、相关函数等数值特征来描述，因为数值特征可以从某些方面反映出噪声的特征。噪声对图像信号相位和幅度的影响十分复杂，因为噪声和图像信号之间的联系十分紧密，噪声本身也可能不独立。数字图像在数字化和传输的过程中，经常受到成像设备或外部环境噪声干扰等的影响成为含噪图像。所以说，图像去噪就是去除或减轻在获取数字图像中的噪声。人们对影响图像质量的噪声的生成原因及相应的模型作了大量研究，经常影响图像质量的噪声，按噪声来源可分为三类：(1)电子噪声。在阻性器件中由于电子随机热运动而造成的电子噪声是三种模型中最简单的，一般常用零均值高斯白噪声做为其模型，它可用其标准差来完全表征。(2)光电子噪声。这类噪声由于光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起，在强光情况下,影响更为严重。在弱光照的情况下常用具有泊松分布的随机变量作为光电噪声的模型，在光照较强时，泊松分布趋向于更易描述的高斯分布。(3)感光片颗粒噪声。由于曝光过程中感光颗粒只有局部被曝光，而其余局部那么未曝光，底片的密度变化就由曝光后的颗粒密集程度变化所决定，而其曝光颗粒的分布呈现一种随机性，在大多数情况下，颗粒噪声可用高斯白噪声作为有效模型。通过以上分析可以看出，绝大多数的常见图像噪声都可用均值为零，方差不同的高斯白噪声作为模型。因此，为了简便和一般化，采用零均值的高斯白噪声作为噪声信号源。一幅图像在实际应用中可能存在各种各样的噪声,这些噪声可能在传输中产生,也可能再量化等处理中产生。噪声产生的原因决定了它的分布特性及它和图像信号的关系。使成像系统获取的图像(即原始图像)受到种种条件限制和随机干扰,不能在视觉系统中直接使用,因此必须在视觉信息处理的早期阶段对原始图像进行灰度校正﹑噪声过滤等图像预处理。图像去噪图像去噪〔ImageDe-noising〕即减少减少数字图像中噪声的过程。从对图像信号进行滤波过程中所采用的滤波方法来分,图像噪声过滤技术主要有两种方法:空间域法和频率域法。空间域方法主要是在空间域内对图像像素直接运算处理。主要有邻域平均法和中值滤波。频率域方法就是在图像的某种变换域,对图像的变换值进行运算。如快速傅里叶算法(FFT)分析，先对图像进行傅里叶变换,再对图像的频谱进行某种计算(如滤波等),最后将计算后的图像逆变换到空间域。这是一种间接处理方法。从滤波器类型来分,图像噪声滤除技术可以分为线性滤波器和非线性滤波器。线性滤波器以其完善的理论根底,数学处理方便,易于采用FFT和硬件实现等优点,一直在图像滤波领域占有重要地位,其中以维纳滤波器理论和卡尔曼滤波理论为代表，但也有一定的缺点如会损伤图像的边缘信息。近年来,非线性滤波理论在机器视觉﹑医学成像﹑语音处理等领域有了广泛的应用,同时,也反过来促使该理论的研究向纵深方向开展。非线性滤波器能够在很好地保持信号细节的同时,去除信号中噪声。现在有很多种非线性滤波器,主要包括中值滤波器﹑形态学滤波器﹑小波滤波器等。而且小波变换在图像去噪方法显示出很多优势，去噪的同时可以保存图像的边缘信息。图像去噪的评价标准如何评价一个图像经过去噪处理后所复原图像的质量，对于我们判断去噪方法的优劣有很重要的意义。现有的评价方法一般分为主观和客观两种。(1)主观评价主观评价通常有两种[2]:一种是作为观察者的主观评价，这是由选定的一组人对图像直接用肉眼进行观察，然后分别给出其对所观察的图像的质量作好或坏的评价，再综合全组人的意见给出一个综合结论。它只是一种定性的方法，没有定量的标准，而且受到观察者的主观因素的影响，评价结果有一定的不确定性。另一种是随着模糊数学的开展，可以用模糊综合评判方法来尽量减少主观因素的影响，实现对图像质量近似定量的评价，不过它仍然没有完全消除主观不确定性的影响，其定量计算公式中的参数往往要依赖专家经验确定。(2)客观评价尽管主观对去噪后图像质量的评价是比较权威的方式，但是在一些研究场合，或者由于试验条件的限制，也希望对去噪图像质量有一个定量的客观描述。图像质量的客观评价由于着眼点不同而有多种方法，这里介绍的是一种经常使用的所谓的逼真度测量。对于彩色图像逼真度的定量表示是一个十分复杂的问题[3]。目前应用得较多的是对黑白图像逼真度的定量表示。合理的测量方法应和主观实验结果一致，而且要求简单易行。峰值信噪比：〔1.1〕式中表示处理后的图像的灰度，表示原始图像的灰度，表示图像像素的个数。单位为dB。在实际应用中，峰值信噪比是图像处理中最常用的图像质量评价的客观标准。主观评价和客观评价这两种图像质量评价标准有各自的优缺点。由于人眼视觉特性的准确模型还没有完全建立起来，因此主观评价标准还只是一个定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的视觉特性。峰值信噪比能够对图像质量给出定量的描述。它是一种数学上统计的处理方法，其缺点是它并不是总能反映人眼的真实感觉。一般我们在衡量图像“去噪”算法的优劣时，会将主观与客观两种标准结合起来综合考虑。1.3小波分析在图像处理中的应用随着图像处理技术的开展,小波变换作为信号处理的一种手段,逐渐引起了各个领域研究人员的关注和重视,成为一个新的数学分支。传统的傅里叶变换属于一种纯频域的分析方法,其反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征,而不能提供任何局部时间段上的频率信息,即无时域分辨能力。而小波变换在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,基于小波变换的小波分析利用一个可以伸缩和平移的可变视窗能够聚焦到信号的任意细节进行时频域处理,既可看到信号的全貌,又可分析信号的细节,并且可以保存数据的瞬时特性。因此,小波分析在信号与图像处理、模式语音识别、地震勘测、机器视觉、医学成像、流体力学、分形、机械故障诊断、土木结构损伤检测等领域取得了很有意义的研究成果。小波分析在图像处理中应用的主要思想就是首先将图像信号进行小波变换，从而可以得到不同尺度下的一系列小波系数，对这些小波系数进行分析，针对不同目的和需要，用传统的图像处理方法或者更符合小波分析的新方法对小波系数进行处理，最后再对处理后的小波系数进行小波逆变换，就得到了所需要的目标图像。由于小波具有低墒性、多分辨率、去相关性、选基灵活性等特点，小波理论在去噪领域受到了许多学者的重视，并获得了良好的效果。但如何采取一定的技术消除图像噪声的同时保存图像细节仍是图像预处理中的重要课题。目前，基于小波分析的图像去噪技术已成为图像去噪的一个重要方法。1.4本论文主要工作和结构安排本文以图像去噪方法为研究对象，以小波图像去噪为研究方向，比照了傅里叶去噪与小波去噪方法，比较深入地研究了基于小波阈值的图像去噪，验证了相对于其他去噪方式，小波变换对高斯噪声有比较好的抑制作用,而且,在去除噪声的同时可以较好地保持图像的细节，并对其在图像去噪中的应用做了进一步的探讨。本文为了分析不同去噪方法的应用范围，将原图像分别参加高斯噪声及椒盐噪声，运用Matalab编程实现均值滤波、中值滤波、小波变换等方法的去噪结果，并据此进行比较得出相应结论。本文的组织结构如下：第一章为绪论，介绍了图像去噪的研究意义，对图像噪声来源，分类及如何去噪进行了简要介绍。第二章，第三章分别介绍傅里叶变换﹑小波分析的开展历史及前景。详细分析其原理并比较。为后续章节奠定了理论根底。第四章主要介绍小波去噪理论，详细介绍了去噪原理与算法，并与集中对当传统去噪方法进行了较为深入的研究分析。第五章提出一种基于小波阈值的去噪算法，对该算法进行Matiab仿真，并和经典的阈值去噪方法比较，给出了相应的实验结果。第六章是对全文的总结和展望。第2章傅里叶变换2.1傅里叶变换的开展傅里叶变换的提出傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),由于Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日和拉普拉斯，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为Fourier的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了Fourier的工作。幸运的是，到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。但为什么要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才用正弦曲线来表示。由此傅里叶变换正式走向世界舞台。傅里叶变换意义傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数〔正弦和/或余弦函数〕或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。(1)傅里叶变换的意义傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。傅立叶原理说明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号〔信号的频谱〕，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。(2)图像傅立叶的意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在图像应用中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，那么其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶变换定义f(t〕是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。那么有以下图2-1-1式成立，称为积分运算f(t〕的傅立叶变换，将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f〔t〕的积分形式。〔2.1〕〔2.2〕一般可称函数f〔t〕为原函数[4]，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对〔transformpair〕。除此之外，还有其它型式的变换对。此外，傅里叶变换属于谐波分析。傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂鼓励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速地算出〔其算法称为快速傅里叶变换算法〔FFT〕〕。2.2傅里叶变换此外在公式〔2.1〕和〔2.2〕中容易发现，函数在时〔频〕域的离散对应于其像函数在频〔时〕域的周期性.反之连续那么意味着在对应域的信号的非周期性.由傅氏变换的定义可知，时间信号f〔t〕，在经过傅氏变换后就失去了时间特性，F〔jω〕只具有频率特性，并且其值由f〔t〕在整个时间段上的特性所决定，利用傅氏变换的这个特性可获取信号的所有频率。窗口傅氏变换〔又称短时傅里叶变换〕可以克服傅氏分析不能同时作时频分析的缺点，其主要思想是选取光滑函数g〔t〕与信号f〔t〕相乘后再进行傅氏变换，通常选用能量集中在低频处的实偶函数作窗函数，从而保证窗口傅氏变换在时域和频域均有局域化功能，窗口傅氏变换的时域、频域窗口的大小一旦选定就不会再改变，与频率无关。由于窗口傅氏变换的窗口大小固定不变的特性，决定了它只能用于处理平稳信号。用傅里叶变换对信号去噪的根本思想是对含噪信号进行傅里叶变换后使用低通或带通滤波器滤除噪声频率，然后用逆傅里叶变换恢复信号，但是傅里叶变换很难将有用信号的高频局部和由噪声引起的高频干扰有效地区分开。所以在信号去噪的实际应用中，对于噪声频率的含噪信号通常采用傅里叶变换去噪，有针对性地选取滤波器即可很好地实现去噪效果。对于高频噪声和高频信号相互混叠的含噪信号或者非平稳信号的消噪，采用小波变换去噪会有很好的效果。2.3傅里叶变换的应用傅里叶变换是大家所熟悉的一种变换，又是一种令人感到陌生的变换。随着信号从模拟信号到数字信号，信号处理从模拟信号处理到数字信号处理，18世纪末和19世纪初诞生的傅里叶变换发生了巨大的变化。傅里叶变换的丰富和开展，极大地促进了信息科学的丰富和开展。现代的信息科学和技术离不开傅里叶变换的理论和方法。傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。傅立叶变换在图像处理中非常的有用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改良算法，比方离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用[5]：图像增强与图像去噪﹑图像分割之边缘检测﹑图像特征提取﹑图像压缩。第3章小波变换理论根底3.1小波的产生小波变换的背景及意义小波分析[6]是近年来在应用数学及工程科学中迅速开展的数学方法。小波分析在Fourier分析的根底上开展起来的，并给许多领域提供了强有力的工具，带来了新的思想，在科技界引起了高度的重视。小波分析既孕育着丰富的数学理论，又是工程应用中强有力的工具。小波变换作为一种有效的时间(空间)/尺度分析方法,近年来受到广泛的关注。其应用己普及信号和图像分析处理的多个研究领域。它的开展极大地推动了许多领域的开展，促进了多学科相互渗透、相互结合。探讨小波的新理论、新方法以及新应用已经成为当前数学界和工程界的一个富有挑战性的研究领域。小波变换是时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法,对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的,这种自适应性正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点,所以小波变换被誉为“数学显微镜”。小波变换时域和频域同时具有良好的局部化性质,并且具有边缘检测的能力,因此利用小波变换去除图像噪声的同时,可提取并保存对视觉起主要作用的边缘信息。目前小波分析已经被运用到图像处理的几乎所有分支，如：图像去噪、边缘检测、图像压缩、图像分割等，同时，在模式识别、语音合成、计算机视觉、数据压缩等方面的研究也都取得了具有科学意义和应用价值的成果。现实中的图像，在获取和传输的过程中，不可防止会有不同程度地噪声污染，为了提高图像的信噪比，突出图像的期望特征，以便于对其进行更高层次的处理，图像的降噪预处理是很必要的。随着科技的开展，人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布规律，开展了各式各样的去噪方法，但这些方法普遍存在一个问题：因为它在消除图像噪声的同时，也会消除图像中有用的高频信息。所以传统的低通滤波方法在对保存图像细节的要求方面没有得到满意的效果。由于小波变换的特点非常符合图像去噪中保存图像细节方面的要求，现在小波分析己经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等领域。在图像去噪领域中，应用小波理论进行图像去噪受到许多专家学者的重视，并取得了非常好的效果。小波开展简史[7]近几年来，小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起了一场轩然大波。小波分析方法的起源可以追溯到上个世纪初——1910年Haar的工作。Haar提出了标准正交基的思想，并在此根底上构造了一种紧支结构的小波标准正交基——即Haar基。由于Haar基的不连续性，因而未能得到广泛的应用。Littlewood和Paley于1936年对Fourier级数建立了二进制的频率分量分组理论，并构造了Littlewood-Paley基，为小波的开展奠定了一定的理论根底。1975年，Calderon用他在早年发现的再生公式给出了抛物型空间上H的原子分解，它的离散形式已接近小波展开，但是如何由此来组成正交系的结论还是无法得到。1981年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现了传统的Fourier变换难以分析地震波的局部性质，于是引入了“小波”的概念对信号进行分解。随后，理论物理学家Grossman对Morlet给出的小波进行了研究，并验证了小波按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性，为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于1986年，Mallat和Meryer提出了多分辨分析的理论框架，而且Meyer创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数ψ，其二进制伸缩与平移构成L2(R)的标准正交基，为小波基的构造提出了有效的途径，并打破了人们长期以来所认为的此类函数不可能存在的设想，因此激起了科学家们研究小波的极大热情。在Meyer提出了小波变换之后，Lemarie和Battle又分别的给出了具有指数衰减的小波函数。Mallat于1987年巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函数的构造及信号按小波变换的分解及重构，成功地统一了由Meyer、Lemarie和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化形式，并将相应的算法——Mallat算法有效应用于信号的分解与重构。与此同时，Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基，并把信号处理的概念与泛函分析理论联系起来了，成为小波研究领域中的经典文献之一。这时，小波分析的系统理论就得到了初步的建立。Ameodo及Grasseau等人于1988年将小波变换应用于混沌动力学以及分形理论来研究湍流及分形生长现象。1990年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的单正交小波函数，并讨论了具有局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。同时，Beylkin、Coifman等将小波变换应用于算子理论。1991年，Jaffard及Laurencot将小波变换应用于求解偏微分方程数值解的问题中，而Wickerhanser等进一步深化了Mallat算法，从而得到了小波包算法。1992年，Donoho给出了插值小波和小波变换等。1993年，SteffenP.和HellerP.N.等人构造了M-带小波。1994年，基于r元的多分辨分析由Goodman等人提出，并建立小波的根本理论框架，给出样条多小波的例子。1996年，UnserM.，ThérenazP.和AldroubiA.在样条函数的根底上构造了一组平移正交小波基，使小波理论更加完善。小波分析经过许多学科领域十多年的共同探讨研究，已经建立了重要的数学形式。理论根底的坚实使得应用更为广泛和深入；相反，这些应用研究也大大的推动了小波理论的不断丰富和完善。3.2小波图像去噪技术的国内外研究现状和研究热点20世纪80年代中后期开展起来的新的数学工具——小波变换具有低嫡性、多分辨率、去相关性、选基灵活性等特点，利用它对含噪图像进行处理可以保存信号的高频信息，能够有效地滤除噪声，另外，利用它的良好的时频局部化性质不仅可以将图像的结构和纹理分别表现在不同分辨率层次上，而且具有检测边缘或是局域突变的能力，因此，利用小波变换在去除噪声时，还可提取并保存对视觉起主要作用的边缘信息，能够得到对原图像的最正确恢复，其中对高斯噪声的去除效果更好。基于小波变换的图像去噪技术己成为图像去噪的一个重要方法，并具有实际的意义。经过多年的开展，小波变换应用于图像去噪的研究已相对成熟，而探索小波去噪的新理论和新方法也已经成为一个非常活泼并富有挑战性的研究领域。目前，小波图像去噪方法的热点主要有以下几个方面：(1)长期以来，基于小波阈值的图像去噪方法始终都是小波图像去噪领域的研究热点。从小波去噪多年的开展中可以看出，人们的研究方向已经转为如何最大限度地获得信号的先验信息，并根据实际问题的要求和获得的先验数据对图像小波系数进行统计建模来选择适宜的算法到达最优的去噪效果。(2)不同的图像去噪方法有各自不同的适用范围，它们可以解决不同类型的噪声滤除问题。在实际应用中，人们对同时含有几类噪声的图像往往是通过结合几类去噪方法来有效滤除混合噪声的。其中，将小波变换与均值滤波、中值滤波的结合去噪，能充分利用各自的优点，较好的改善滤波性能，既能去除图像中的噪声又能很好的保持边缘信息。(3)阈值处理函数和收缩阈值的选取是小波阈值图像去噪方法中两个很关键的问题，也一直是个很重要的研究方向。人们对阈值的选择进行了研究，并提出了多种不同的阈值确定方法，同时，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值函数，这些都丰富了小波去噪的内容。(4)在小波图像去噪的研究中，小波基的最优选取方法问题是一个很重要的研究方向，近几年来国内外出现了一些较好的选取方法，在图像去噪领域也得到了较好的去噪效果，可以针对不同的研究对象选取适宜的小波基来实现较好的应用效果，所以，如何选择优化小波基有待于进一步的研究。(5)在利用小波变换进行图像去噪前对图像数据的前期和后期处理都是不可忽略，除此之外，对去噪图像效果的质量评价问题也是小波去噪领域中的一个很重要的研究方向。(6)描述图像奇异性的问题。在分析曲线奇异性时可别离的小波变换存在着一定的局限性，张量积小波一般只侧重原始图像在水平、垂直和对角方向的特征，对其它方向上的特征却很难得到准确描述，尽管不可别离的小波能有效地解决该问题，但仍不能很好地描述曲线奇异性，所以有必要在高维中寻求更加有效的分析方法。(7)目前，人们在小波分析的根底上开展了各种各样的新方法，如：基于非正交小波的去噪算法、基于多小波的去噪算法和基于小波包分解的去噪算法等，它们也都在图像去噪领域获得了广泛的应用。目前，小波图像去噪方法取得的成功在拓展小波去噪方法的应用领域的同时将大大拓展其它研究领域的开展，而且必将从更多的应用领域中反应出新的问题，进而会丰富小波去噪的内容，并进一步推动小波去噪技术的开展。3.3小波变换理论从傅里叶变换到小波变换所谓小波分析，它是在窗口傅里叶变换的根底上开展起来的一种新的时频分析方法，与傅里叶分析相比，有着本质的区别及进步。傅里叶变换是一种频域分析方法，适合处理平稳信号的去噪问题,一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的(即频域分辨率最高)，而在时域无任何定位性(或分辨能力)，也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频域信息。相反，当一个函数用函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性(或分辨能力)。也即其所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。对于一些常见时变信号的分析，通常需要提取某一时间段或瞬间的频域信息或某一频率段所对应的时间信息，因此寻求一种介于傅里叶分析和分析之间的具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。为了研究信号在局部时间范围内的频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换之后，又进一步开展为短时傅里叶变换简记为STFT，又称为加窗傅里叶变换，短时傅里叶变换是对传统的傅里叶变换的拓展，它的根本思路是给信号加一个小窗，也就是乘上一个限制时间段的函数g(t)，信号的傅里叶变换主要集中在对小窗内的信号进行变换，而屏蔽了该小窗外的信号，因此可以反映出信号的局部特征。这在一定程度上解决了对信号非平稳信号分析的问题。但由于STFT的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关，而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短而低频信号持续时间较长，因此我们希望对高频信号采用小时窗分析，对低频信号采用大时窗分析，这种变时窗的要求同STFT的固定时窗,窗不随频率而变化的特性是矛盾的.小波变换不仅继承和开展了STFT的局部化思想而且克服了窗口大小不随频率变化缺乏离散正交基的缺点，是一种比较理想的进行信号处理的数学工具。1987年Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念，统一了在此之前的所有具体正交小波基的构造并且提出相应的分解与重建快速算法.此后小波变换作为信号处理的一种手段逐渐被越来越多领域所重视和应用，并在许多应用中取得了非常显著地效果，证明了小波分析作为一种调和分析方法具有十分巨大的生命力和广阔的应用前景。与傅里叶变换相比较主要有以下不同[8]：〔1〕傅里叶变换的实质是把能量有限信号分解到以为正交基的空间上去；而小波变换的实质是把能量有限的信号分解到由小波函数所构成的空间上去。两者的离散化形式都可以实现正交变换，都满足时频域的能量守恒定律。〔2〕傅里叶变换用到的根本函数只有，或，具有唯一性；小波分析用到的小波函数那么不是唯一的，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析时有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题也是小波分析研究的一个热点问题，目前往往是通过经验或不断的实验，将不同的分析结果进行对照分析来选择小波函数。〔3〕在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单确实定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，但在时域中，傅里叶变换没有局部化能力，即无法从信号的傅里叶变换中看出的在任一时间点附近的性态。因此，小波变换在对瞬态信号分析中拥有更大的优势。〔4〕在小波分析中，尺度的值越大相当于傅里叶变换中的值越小。〔5〕在短时傅里叶变换中，变换系数主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗函数确定，那么分辨率也就确定了。而在小波变换中，变换系数虽然也是依赖于信号在时间窗内的情况，但时间宽度是随尺度的变化而变化的，所以小波变换具有时间局局部析的能力。因此，小波变换也可以看成是信号局部奇异性分析的有效工具。〔6〕假设用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽那么正比于中心频率，即:(为常数)(3.1)也就是滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构〔Q为滤波器的品质因数，且.有Q=中心频率/带宽〕。我们希望在对低频信号分析时，频域用高分辨率，在对高频信号分析时，频域用低分辨率，该等Q结构恰好符合该要求。〔7〕从框架角度来说傅里叶变换是一种非冗余的正交紧框架，而小波变换却可以实现冗余的非正交非紧框架。小波变换小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。小波ψ(t)是一个时间函数，“小”是指它的衰减性，“波”是指它的波动性。它的傅里叶变换呈现为带通滤波器的频率特性，即小波在时域和频域上的分析都是局部化的。分析小波是将ψ(t)进行伸缩和平移而得到的一族函数Ψ(a,b)(t)，它在时域和频域上是局部化的。以Ψ(a,b)(t),为核函数的积分变换就是积分小波变换或称连续小波变换。与窗口傅里叶变换不同的是，小波变换的时间-频率窗不是固定不变的，而是可以根据信号的特点来自适应调整的。它是小波变换和窗口傅里叶变换的根本区别。也正是由于小波变换的这种局部化特点，决定了小波分析在实际应用中的独特地位。〔1〕连续小波变换[9，10]任意的函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换为：〔3.2〕可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数。平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近。如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的〔3.3〕〔2〕离散小波变换DWT[11]定义：对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取值〔要求采样率满足尼奎斯特采样定理〕。〔3.4〕小波变换的核心是多分辨率分析(MRA),在时域和频域都能够表征信号局部特征的能力,使其在信号处理,特别是二维信号一维图像处理中表现出以下优点:①小波变换的完善重建能力,保证了信号在分解过程中没有任何信息损失﹑不产生冗余信息,即小波变换作为一组表示信号分解的基函数是唯一的;②小波变换把图像分解成平滑图像和细节图像之和,它们分别代表了图像的不同结构,因此原始图像的结构信息和细节信息很容易提取;③小波变换具有快速算法一Mallat算法,它在小波变换中的作用相当于FFT在Fourier变换中的作用,这就更加促进了小波变换的广泛应用;④二维小波分解,为图像的分析提供了方向性选择,这种方向性选择非常适合于人眼的视觉系统特性。本文主要在了解小波变换的知识，在理解小波变换在图像处理中的应用,对以小波为工具在数字图像处理方面进行了有益的探索，主要研究小波阈值对图像的去噪。第4章图像去噪法分析4.1传统去噪法分析由于噪声源众多(如光栅扫描、底片颗粒、机械元件、信道传输等)，噪声种类复杂(如量化噪声、乘性噪声、加性噪声、“椒盐”噪声等)，所以去噪的方法也很多。去噪既可以在空域进行也可以在频域〔变换域〕进行，前者即是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。变换域法是在图像的变换域上进行处理，对变换后的系数进行相应的处理，然后进行反变换到达图像去噪的目的。传统的图像去噪是在空域实现的。空域图像去噪算法可分为线性方法与非线性方法两大类。空域去噪法(1)均值滤波对一些图像进行线性滤波可以去除图像中某些类型的噪声，如采用邻域平均法的局部均值滤波器就非常适合用于去除扫描图像中的颗粒噪声。均值滤波的思想是：对于给定一幅的图像，图像中的每个像素点，去噪后的图像，去噪后图像中的每个像素的灰度级由包含邻域的几个像素的灰度级的平均值所决定。也就是说，用某一像素邻域内各像素的灰度平均值来代替该像素原来的灰度值。即用下式得到处理后的图像：〔4.1〕式中是以点为中心的邻域的集合，是内坐标的总数。图像邻域平均法的处理效果与所用的邻域半径有关。半径越大，那么图像的模糊程度也越大。此外，图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处，邻域越大，模糊越厉害。另外，从实现难易程度上看，线性平滑滤波器比较容易实现，在信号频谱和噪声频谱具有显著不同特征时，表现出较好的性能。然而，在实际的图像处理过程中，线性滤波器也不能完全去除脉冲噪声。因此在许多应用场合，选用中值滤波来克服这些问题。〔2〕中值滤波中值滤波是一种非线性滤波[12，13]，由于它在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，所以比较方便。中值滤波首先是被应用在一维信号处理技术中，后来被二维图像信号处理技术所引用。在一定的条件下，可以克服线性滤波器所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声最为有效。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波的方法。中值滤波的根本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替。对于给定的个数值，将它们按大小顺序排列。当为奇数时，位于中间位置的数值称为这个数值的中值。当为偶数时，那么将位于中间位置的两个数值的平均值称为这个数值的中值，记作。中值滤波就是图像滤波后某个像素的输出等于该像素邻域中各个像素灰度的中值。对于二维信号进行中值滤波时，滤波窗口也是二维的，但这种二维窗口可以有各种不同的形状，例如线状、方形、圆形、十字形、圆环形等。频域低通滤波法[14]对于一幅图像来说在分析其频率特性时，它的边缘，突变局部以及颗粒噪声往往代表图像信号的高频分量，而大面积的图像背景区那么代表图像信号的低频分量。根据此特点使用滤波的方法滤除其高频局部也就能够去除噪声，使图像得到一定的平滑。由卷积定理知识可知空间域的卷积就等于变换域里信号和滤波器的频域形式相乘，即有：〔4.2〕其中,是含噪声图像的傅里叶变换是平滑后图像的傅里叶变换，是低通滤波器传递函数。利用使的高频分量得到抑制，然后得到，后再经过反变换就得到降噪后的图像了。低通滤波平滑图像的系统框图4-1所示。下面简单介绍一下频域中常见的低通滤波器。线性低通滤波器傅里叶变换线性低通滤波器傅里叶变换傅里叶反变换傅里叶反变换图4-1频域空间滤波框图〔1〕理想低通滤波器〔ILPF〕一个2-D理想低通滤波器的转移函数满足以下条件：〔4.3〕式中是一个非整数，称为理想低通滤波器的截止频率。代表从点到频率平面的原点的距离，有：〔4.4〕理想低通滤波器在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象。这是因为在处由1突变到0，这种理想的的时域形式即对应的冲激响应在空域中表现为同心环的形式，并且此同心环半径与成反比。越小，同心环半径越大，模糊程度愈厉害。正是由于理想低通滤波器存在此“振铃”现象，致使其平滑效果不理想。〔2〕巴特沃思低通滤波器〔BLPF〕巴特沃思低通滤波器又称作最大平坦滤波器。与理想低通滤波器不同，它的通带与阻带之间没有明显的不连续性，因此它在空域中的响应“振铃”效应不明显，模糊程度减少。一个阶为，截止频率为的巴特沃思低通滤波器的转移函数为：〔4.5〕与理想低通滤波器相比，巴特沃思低通滤波器保存有较多的高频分量，所以对噪声的平滑效果不如理想低通滤波器。综上所述，图像的经典去噪方法主要有两大类，一类是基于空间域的处理方法，一类是基于频域的处理方法。基于空域的平均滤波法和非线性的中值滤波都是通过对图像像素的灰度值进行运算，到达平滑图像的效果。平均滤波是以点邻域像素灰度平均值来代替该点的灰度值，而中值滤波那么以点邻域像素灰度值中值来代替该点的灰度值。不过，他们在平滑图像的同时亦会使图像轮廓变得模糊，它们的噪音平滑效果与窗口的宽度有关。基于频域的处理方法主要是用滤波器，把有用的信号和干扰信号分开，它在有用信号和干扰信号的频谱没有重叠的前提下，才能把有用信号和干扰信号完全区别开来。但在实际的情况中，有用信号和干扰信号的频谱往往是重叠的，这两类消噪方法造成了顾此失彼的局面，虽然抑制了噪声，却损失了图像边缘细节信息，造成图像模糊。因此，提出了基于小波变换的去噪方法研究。小波分析由于在时域频域同时具有良好的局部化性质和多分辨率分析的特点，能有效地把信号和噪声区别开来，与传统的去噪方法相比较，有着无可比较的优点，成为信号分析的一个强有力的工具。4.2基于小波变换的图像去噪技术基于小波的信号去噪问题在数学上是一个函数逼近的问题。实际上，基于小波的信号去噪就是为了寻找从含噪信号空间到小波函数空间的最正确映射，以便得到真实信号的最正确恢复。小波变换在时频域具有很好的局部性，其变尺度的特性使得小波变换对确定的信号具有一种“集中”的能力。含有噪声的图像经过小变换后，图像信号和噪声信号表现出不同的特征：信号的能量主要集中在一些亮线上，而大局部系数的值逼近于0；噪声的分布和信号的分布相反，它的系数均匀分布于整个尺度空间，幅度相差不大(在大尺度下会对噪声起到一定的平滑作用)。这一特性为基于小波变换的图像去噪提供了依据。小波图像去噪小波去噪的实质是寻找从实际信号空间到小波函数空间的最正确映射，从而得到原信号的最正确恢复。从信号处理的角度看，小波图像去噪问题又是一个图像信号滤波的问题，因小波多尺度分析的特点，使得小波变换能够准确地区分出图像信号的高频局部和低频局部。与其它常见的滤波方法相比，小波变换能够方便、快捷地实现常见的几种滤波，小波图像去噪问题虽然在很大程度上可以等效于低通滤波，但由于应用小波变换的多分辨率的特性使得在去除图像噪声后还可以非常好地刻画图像信号的边缘、尖峰、断点等非平稳局部特征，所以在这一方面它比传统的低通滤波器更具有优越性。可以得出，小波图像去噪其实更为复杂，它实际上是特征提取和低通滤波器的结合[15]，其等效框图如图4-2所示。特征信息特征信息重建图像带噪图像特征值低通滤波图4-2小波去噪等效框图小波变换在图像去噪方面上的应用思路主要是采用将我们熟知的空间或时间域上的含噪图像信号(数据)经过小波变换变换到小波域上，成为多层的小波系数，根据小波基的特性，分析小波系数特点，再结合常规的图像去噪方法或提出更符合小波变换的新方法来处理小波系数，最后对处理后的小波系数进行反变换(逆变换)，得到去噪后的图像。其流程图如图4-3所示。小波分解小波图像原始图像小波分解小波图像原始图像小波系数处理小波系数处理小波逆变换去噪图像处理后小波图小波逆变换去噪图像处理后小波图像图4-3小波去噪过程小波去噪几种方法由图4-3可知，寻求基于小波变换的去除噪声最正确方法的过程，实际上也就是寻求最正确的小波系数处理方法的过程。根据对小波系数处理方式的不同，常见的去噪方法可分为三类：①模极大值检测法；②小波系数相关去噪法；③阈值去噪法。本文主要介绍阈值去噪。①模极大值检测法小波变换模极大值去噪方法[16]是基于小波变换模极大值原理的，主要根据信号与噪声的模极大值在小波变换下会呈现不同的变化趋势来滤波的。它实质上就是利用小波变换模极大值所携带的信息，也就是利用信号小波系数的模极大值的位置、幅值大小来完成对图像信号的表征和分析。利用信号与噪声的局部奇异性不一样，并且模极大值的传播特性也不一样这些特性对信号中的随机噪声进行去噪处理。对小波变换模极大值去噪方法而言，它主要根据信号和噪声小波系数随尺度增大具有不同的变化规律来滤波,它的滤波性比较稳定，对噪声的依赖性较小，无需知道噪声的方差，特别适合于低信噪比的信号滤波去噪。然而由于在应用时存在许多影响计算精度的因素，小尺度下信号受噪声影响较大；大尺度下会使信号丧失某些重要的局部奇异性，其实际滤波去噪的效果并不十分令人满意。实验证明当图像中含有白噪声并且图像中含有较多奇异点时，使用该方法除噪后的图像没有多余振荡，能获得较高的信噪比。另外，它在滤波过程中存在一个由模极大值重构小波系数的问题使得该方法的计算速度非常慢。②小波系数相关去噪法小波域滤波是根据信号和噪声在不同尺度上小波变换的不同形态表现，来构造出相应的去除规那么对信号和噪声的小波变换系数进行处理，处理的目的在于减小以至完全剔除噪声所对应的小波变换系数，同时最大限度地保存有效信号对应的小波系数。信号经小波变换之后，其小波系数在各尺度上有较强的相关性，尤其是在信号的边缘附近[17，18]，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。可以通过对图像进行多级小波变换，计算相邻尺度间小波变换系数的相关性，利用小波系数在不同尺度上的相关性来区分信号系数和噪声系数，进行信号和噪声的取舍，最终由取舍后的估计小波系数进行信号恢复[19，20]，该方法把低分辨率(大尺度)下的小波变换系数全部保存，高分辨率(小尺度)下的小波变换系数在被确认为边沿附近的各点时才给予保存，其余的都加以去除。这种方法的去噪效果比较稳定，实现原理比较简单，在抑制噪声的同时能够提高信号主要边缘的定位精度，所以在分析信号边缘方面有优势，能更好地刻画真实信号，而且比较适合高信噪比信号，缺乏之处是计算量较大，并且需要事先估算噪声方差。③阈值去噪法小波阈值去噪法主要理论依据是小波变换特别是正交小波变换具有很强的去数据相关性，它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中；而噪声的能量却分布于整个小波域内，因此，经小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值，可以认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声。于是采用阈值的方法可以把信号系数保存，而使大局部噪声系数减小至零。小波阈值图像去噪法是利用噪声的小波系数幅值较小的特点，选择一个适宜的阈值，对小波系数进行阈值处理，以此去除噪声信号而保存有用信号，噪声在很大程度上得到抑制，并且反映原始的特征尖峰点得到很好的保存。该方法是实现最简单，计算量最小的一种方法，速度快而且具有广泛的适用性等优点，因此取得了广泛的应用。然而在小波阈值去噪中阈值确实定和阈值函数得选取是两个根本问题，也是这种方法的难点和研究热点。总之，从①②③来看：三种方法都有各自的优缺点和适用范围，然而在实际的应用中，为到达更好的效果，往往将上述几种方法有机结合起来使用，并不断地对它们进行改良和完善。实际应用中将小波和经典的方法结合起来降噪效果优于单独的小波去噪或经典的方法，比方：小波变换与中值滤波或均值滤波相结合，小波变换与广义验证或是聚类分析相结合等等，在这些研究方向上同样取得了较好的去噪效果，并有待于更好的研究。第5章基于Matlab的图像去噪及仿真5.1小波阈值去噪概述小波去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法，它是一种实现简单而效果较好的去噪方法。这种非线性滤波方法之所以特别有效，就是由于它可以使一个信号的能量在小波变换域集中在少数系数上，因此这些系数的幅值必然大于在小波变换域内能量分散于大量小波系数上的信号或噪声的幅值。这就意味着对小波系数进行阈值处理可以在小波变换域中去除低幅值的噪声和不期望的信号，然后运用小波逆变换，得到去噪后的重建图像。该方法在取得较好的视觉效果的同时，也在最小均方误差意义下到达了近似最优，所以取得了最广泛的应用。阈值去噪简述Donoho和Johnstone教授于1992年提出了小波阈值收缩去噪法[21]〔WaveletShrinkage〕，这是一种统计优化特性良好的去噪方法[22]。小波变换特别是正交小波变换具有很强的去数据相关性，原始图像经过小波变换后，绝大局部能量在小波域中集中在少数低频系数上，而极小局部能量分散在高频小波系数上，分布于整个小波域内，白噪声在任何正交基上的交换仍然是白噪声，并且有着相同的幅度。相对而言，信号的小波系数值必然大于那些能量分散且幅值较小的噪声的小波系数值，所以选择一个适宜的阈值，对小波系数进行阈值处理，把幅值比较大的小波系数保存，而使代表噪声的幅值比较小的系数减少至零，就可以到达去除图像噪声而保存有用信号的目的。其主要思想是经小波变换后图像和噪声的统计特性不同，其中图像本身的小波系数具有较大幅值，主要集中在高频，噪声的小波系数幅值较小，并且存在于小波变换后的所有系数中。因此设置一个阈值门限，对占主要成分的大于该阈值的小波系数的有用信号进行收缩、保存；小于该阈值的小波系数中噪声为主要成分，应该剔除，于是实现了去噪。通常认为去噪时，一般不处理含有大量图像能量的低通系数，只是就单个高通局部进行处理。因此，要想完全去除噪声不能只进行一次阈值去噪，还需要对低频局部进行阈值去噪和小波分解，直到估计图像与实际图像的偏差值最小。但是，随着分解和去噪次数的增加，小波系数中的噪声能量越来越少，并且趋于分散，去噪的效果将逐渐降低。一般来说，进行3-4层小波分解和去噪就可以到达满意的去噪效果。小波阈值去噪方法阈值去噪法就是通过对图像进行小波变换，得到小波变换系数。因为信号对应的小波系数包含有重要的信息，其数据较少，幅值变化较大，而噪声对应的小波系数的分布那么恰好相反，通过设定特定的阈值对小波系数进行取舍，就可以得到小波系数估计值，最后通过估计小波系数进行小波重构，就得到去噪后的图像[23]。其算法的根本过程为：①对原始信号进行小波分解；②对变换后的小波系数进行阈值处理，得到估计小波系数；③根据估计小波系数进行小波重构。在小波阈值图像去噪中，选取的阈值函数表达了对超过和低于阈值的小波系数模的不同处理策略以及不同的阈值估计方法，其中，常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数两种[24,25]。硬阈值法，定义为〔5.1〕硬阈值法得到的小波系数的连续性较差，重构信号可能出现突变或振荡现象；如图5-1〔a〕所示。另一种方法是软阈值法，定义为：〔5.2〕软阈值法的到的小波系数的连续性好，但当小波系数较大时，得到的处理后的小波系数和实际的小波系数有一定的偏差，会导致重构结果的误差。如图5-2〔b〕所示。t-tt-tA-ttA〔b〕软阈值〔b〕软阈值〔a〕硬阈值图5-1两种阈值方法图5-1所示分别为硬阈值和软阈值处理函数示意图。在小波阈值去噪中，阈值的选取很关键[26]。阈值较小，去噪后的图像信号与输入信号比较接近，但是残留了较多噪声。假设阈值较大，那么得到较多为零的小波系数。在小波域阈值降噪中，阈值的选取直接影响滤波效果。目前有大量的文献提出了各种各样确定阈值的方法[27]。目前使用的阈值可以分成全局阈值和局部阈值两类[28]。其中，选用小波全局阈值图像去噪中的硬阈值函数可以很好地保存图像边缘信息等局部特征，但重构的图像信号会产生一些振铃、伪Gibbs效应等，都会引起图像视觉上的失真，而选用软阈值函数处理去噪图像所得的图像相对平滑得多，但在一定程度上会造成图像边缘模糊等失真现象。本文介绍全局阈值。全局阈值，其中，为噪声标准差，M、N为图像的尺度。这是斯坦福大学的Donoho和Johnstone教授提出的，在正态高斯噪声模型下，针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋向无穷时的研究得出的结论，即大于该阈值的系数含有噪声信号的概率趋于零。这个阈值由于和信号的尺寸对数的平方根成正比，所以当N较大时，阈值趋向于将所有的小波系数置零，此时小波滤波器退化为低通滤波器。这种阈值计算简单，因此得到了广泛的应用。5.2基于MATLAB的小波去噪函数简介Matlab中的小波工具包提供了全面的小波变化及其应用的各种功能，而且可以选择使用图形界面操作工具或者去噪函数集合两种形式，图形界面操作工具直观易用，而利用函数集合可以实现更灵活强大的功能。利用小波去噪函数集合在Matlab中作了一系列实验，充分体会到了小波去噪的强大功能[29]。Matlab中实现图像的降噪，主要工作是阈值选取和图像降噪两个方面。1阈值获取MATLAB中实现阈值获取的函数有ddencmp、select、wbmpen和wdcbm2。这里主要介绍函数ddencmp。函数ddencmp的功能是获取降噪或者压缩的默认值。该函数是降噪和压缩的导向函数，它会给一维或者二维信号使用小波或者小波包进行降噪和压缩一般过程的所有默认值。其语法格式为：[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp〔IN1，IN2，X〕[THR,SORH,KEEPAPP]=ddencmp〔IN1，‘wv’，X〕[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp〔IN1，‘wp’，X〕其中IN1取值为'den'或'cmp'，'den'表示进行去噪，'cmp'表示进行压缩；IN2取值为'wv'或'wp'，wv表示选择小波，wp表示选择小波包。返回值THR是返回的阈值；SORH是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP表示保存低频信号；CRIT是熵名〔只在选择小波包时使用〕。2阈值降噪MATLAB中实现阈值降噪的函数有wden、wdencmp、wpdencmp、wthresh、wpthcoef和wthcoef2。这里主要介绍函数wdencmp。其语法格式为：[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH)函数wdencmp用于一维或二维信号的消噪或压缩。wname是所用的小波函数，gbl(global的缩写)表示每一层都采用同一个阈值进行处理，lvd表示每层采用不同的阈值进行处理，N表示小波分解的层数，THR为阈值向量，对于格式〔2〕和〔3〕每层都要求有一个阈值，因此阈值向量THR的长度为N，SORH表示选择软阈值或硬阈值〔分别取值为's'和'h'〕，参数KEEPAPP取值为1时，那么低频系数不进行阈值量化，反之，低频系数要进行阈值量化。XC是要进行消噪或压缩的信号，[CXC,LXC]是XC的小波分解结构，PERF0和PERFL2是恢复或压缩L2的范数百分比。如果[C,L]是X的小波分解结构，那么PERFL2=100*(CXC向量的范数/C向量的范数)2；如果X是一维信号，小波wname是一个正交小波，那么PERFL2=100||XC||2/||X||2。5.3小波去噪与常用去噪方法的比照试验图像系统中的常见噪声一般在图像中常见的噪声有:1、按噪声幅度分布形状而分，成高斯分布的称为高斯噪声，主要由阻性元器件内部产生。2、按噪声和信号之间的关系分为加性噪声和乘性噪声。加性噪声与输入图像信号无关,含噪图像可表示为。乘性噪声往往随图像信号的变化而变化其含噪图像可表示为3、椒盐(Saltandpepper)噪声:主要是图像切割引起的黑图像上的白点噪声或光电转换过程中产生泊松噪声。4、量化噪声：此类噪声与输入图像信号无关,是量化过程存在量化误差，再反映到接收端而产生，其大小显示出数字图像和原始图像差异。本文为了分析不同去噪方法的应用范围，将原图像分别参加高斯噪声及椒盐噪声，运用Matalab编程实现两种不同滤波方法的去噪结果，并据此进行比较得出相应结论。采用名为8.jpg的图像进行仿真。下面几幅图为本文所选用的原图像、经过灰度变换后得到的图像、添加椒盐噪声和高斯噪声后的图像：图5-2图5-3图5-4图5-5几种去噪常用方法比照均值滤波均值滤波也称为线性滤波，其采用的主要方法为邻域平均法。线性滤波的根本原理是用均值代替原图像中的各个像素值，即对待处理的当前像素点〔x，y〕，选择一个模板，该模板由其近邻的假设干像素组成，求模板中所有像素的均值，再把该均值赋予当前像素点〔x，y〕，作为处理后图像在该点上的灰度个g〔x，y〕。均值滤波器非常适用于去除通过扫描得到的图象中的颗粒噪声。领域平均法有力地抑制了噪声,同时也由于平均而引起了模糊现象,模糊程度与邻域半径成正比。如下即分别为用均值滤波对加有高斯噪声、椒盐噪声的图像处理后的比照图:〔2〕中值滤波由第四章可知中值滤波是基于排序统计理论的一种能有效抑制噪声的非线性信号处理技术。其实现原理如下:将某个像素邻域中的像素按灰度值进行排序,然后选择该序列的中间值作为输出的像素值,让周围像素灰度值的差比较大的像素改取与周围的像素值接近的值,从而可以消除孤立的噪声点。其具体的操作是:首先确定一个以某个像素为中心点的领域,一般为方形领域(如3*3、5*5的矩形领域),然后将领域中的各个像素的灰度值进行排序。如下即分别为用中值滤波对加有高斯噪声、椒盐噪声的图像处理后的比照图:图5-6图5-7图5-8图5-9〔3〕小波阈值去噪小波变换是一种窗口大小固定但其形状可改变的时频局部化分析方法。小波变换利用非均匀的分辨率，即在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率〔宽的分析窗口〕；而在高频段利用低的频率分辨率和高的时间分辨率〔窄的分析窗口〕，这样就能有效地从信号〔如语言、图像等〕中提取信息，较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾。对于一副图像，我们关心的是它的低频分量，因为低频分量是保持信号特性的重要局部，高频分量那么仅仅起到提供信号细节的作