2021-2022学年福建省莆田市荔城区新度初级中学九年级（上）期中数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年福建省莆田市荔城区新度初级中学九年级（上）

期中数学试卷

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

2.已知关于X的一元二次方程（巾一1）x2+X+1=0有实数根，则机的取值范围是（）

55

<

---

A.m<4rmn4

55

<

C.m<4-4-

3.用配方法解方程X2-2x-2=0时，原方程应变形为（）

A.（%+1）2=3B.（X+2）2=6C.（x-I）2=3D.（%-2）2=6

4.将抛物线y=2/一1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）

A.y=2（x—l）2+1B.y=2（x+l）2—3

C.y=2（x—l）2—3D.y=2（x+I）2+1

5.已知二次函数y=/-4x+m的图象经过点（4,丫2），则力和的大小关系为（）

A.>y2B.<y2C.=y2D.无法确定

6.在同一坐标系中，函数y=kx+k和函数y=-k/+3x+2（/c是常数，且k。0）的图象可

7.如图，在半径为3百的。。中，AB是直径，AC是弦，£>是诧的口

中点，AC与BO交于点E.若BE=ED,贝U弦AC的长是（）

A.4V2

B.4V3o

C.46

D.6

8.如图,MN是。。的直径,MN=2,点A在。。上，乙4MN=

40°,B为弧4V的中点，P是直径MN上一动点，则P4+PB的

最小值为()

A.V5

B.V3

C.5

D.3

9.如图，在△力BC中，AB=AC=班,4BAC=90。.点£＞、E都在边

8c上，NZX4E=45。.若BD=2CE,则。E的长是（）

A.1

3-府

BR-2

r3V5-5

D.3—V5

10.二次函数y=ax2+bx+c(aK0)的部分图象如图所示，图象

过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0；②9a+

c>3b；③8a+7b+2c>0；④若点/(-3,丫1)、点8(-/月)、

点C(1,丫3)在该函数图象上，则为〈、3〈先；⑤若方程Q(%+

1)(%—5)=—3的两根为和％2,且<%2,则<—1<5<%2»

⑥¥+：=一4.其中正确的结论有个.()

A.3B.4C.5D.6

11.若点M(5,m-1)与点N(2-n,3)关于原点成中心对称，则m+n=.

12.抛物线y=-(x-m)2-1,当x21时，y随x的增大而减小，则根的范围是.

13.如图：。/是RtA4BC的内切圆，ZC=90°,AC=6,BC=8,则A

o/的半径是.

Dx

CB

14.如图，在RtaABC中，Z.ACB=90°,44BC=30°,48=3,将

RtAABC绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点4落在AB边

上时，停止转动，则点B经过的路径长为.

15.如图所示，已知△4BC内接于。0,8C是。。的直径，OD1

4C于点。，连接8£),半径。E1BC,连接£4,E41BD于点

F.若BC=5,则OD=.

16.如图，在平面直角坐标系中，将△4B0绕点A顺时针旋转到AABiG的位置，点8,。分

别落在点勺，G处，点当在x轴上，再将△4当口绕点位顺时针旋转到△为&。2的位置，点

在x轴上，再将△4aC2绕点。2顺时针旋转到A4B2c2的位置，点&在x轴上，依次进行下

去，……，若点4©,0),8(0,2),则点殳()21的坐标为.

(l)(x-3)2-4=0；

(2)/-4x-8=0.

18.已知：关于x的方程久2-kx+卜一2=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根.

(2)设方程的两个根为与，x2,如果2(%+&)>X62，求k的取值范围.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为4(—4,1),8(-1,-1),

C(-3,2).

(1)A4BIG与△4BC关于原点。成中心对称，画出AABiG；

(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90。得到A&BCZ，画出△/BC2；

(3)求AABC的面积.

20.如图所示，已知抛物线y=/+6:+(:经过4(一1,0)、8(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)当0<x<3时，求)，的取值范围；

(3)点尸为抛物线上一点，若SAP.=10,求出此时点P的坐标.

21.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售,

其成本为每千克2元.公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满

足如图所示的函数关系(其中2<xW10).

(1)求)，与x之间的函数关系式；

(2)销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

22.如图，圆。是△ABC的外接圆，乙4BC=45。，OC//AD,AO交BC的延长线于。，AB交

OC于E.

(1)求证：A。是圆。的切线；

(2)若4E=2强，CE=2,求圆0的半径和线段8E的长.

23.如图，已知二次函数、=一。+1)。一3沅)与》轴交于点4,点3(点8在点4的右边)，交

y轴于点C,其中m>0.

(1)直接写出点8,点C的坐标，及抛物线的对称轴.(用〃，的代数式表示)

(2)过。8的中点M做x轴垂线交抛物线于点。，交BC于点M若需=|,求，"的值.

24.若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”.如图1,

四边形ABC。中，若AC=BD,AC1BD,则称四边形ABC。为奇妙四边形.根据“奇妙四

边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积

等于两条对角线乘积的一半.根据以上信息回答：

(1)矩形“奇妙四边形”(填“是”或“不是”)；

(2)如图2,已知00的内接四边形A2CZ)是“奇妙四边形”，若。。的半径为6,NBC。=60。.

求“奇妙四边形"ABCQ的面积；

(3)如图3,已知。0的内接四边形A8CD是"奇妙四边形"作。M1"于M.请猜测与

的数量关系，并证明你的结论.

25.如图：已知4(见0)、B(O,b),且a、6满足(a—2>+|2b-4|=0.

(1)如图1,求^AOB的面积；

(2)如图2,点C在线段AB上(不与A、8重合)移动，AB1BD,S.ACOD=45°,猜想线段

AC.BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；

(3)如图3,若P为x轴上异于原点。和点A的一个动点，连接尸8,将线段P8绕点尸顺时针

旋转90。至PE,直线AE交y轴Q,点。，当尸点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，

请判断哪条线段长为定值，并求出该定值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：选项A、B、。都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形

重合，所以不是中心对称图形.

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图

形，

故选：C.

根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.【答案】B

【解析】解：•••关于x的一元二次方程(加一1)/+%+1=0有实数根，

•••△=I2-4(m—1)-1>。且m-1*0,

解得：m<:且m中1,

故选：B.

根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可.

本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义等知识点，能根据题意得出不等式组是解此题的关

键.

3.【答案】C

【解析】解：x2-2x-2=0

移项，得：X2—2%=2,

配方：x2-2x+1=3,

即(x-l)2=3.

故选C.

配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二

次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

4.【答案】B

【解析】解：按照函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线y=2/-1向左平移

1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为y=2(x+1)2—1-2,即y=2(%+1)2-3,

故选：B.

按照函数图象平移“左加右减，上加下减”的规律求解则可.

本题考查了函数图象平移的规律：左加右减，上加下减.

5.【答案】A

2

【解析】解：当x=-l时，y1=x-4x+m=l+4+m=m+5；

当x=4时，丫2=%2-4x+m=16-16+m=zn,

所以%>y2-

故选：A.

分别把x=-1和工=3代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.

6.【答案】。

【解析】解：当k>0时，函数y=for+上的图象经过一、二、三象限；函数y=-k/+3x+2的

开口向下，对称轴在y轴的右侧；

当k<0时，函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限；函数丫=-k/+3x+2的开口向上，对

称轴在y轴的左侧，故。正确.

故选：D.

分两种情况进行讨论：k>0与k<0进行讨论即可.

本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握.

7.【答案】C

【解析】解：连接。。交AC于点M,

・・・D是定的中点，

・・.M为AC的中点，

:.0D1AC,

:.乙DME=90°,

又・・,48是直径，

・・・乙ACB=90°,

即AC1BC,

在△BCE和中，

Z-ACB=乙DME=90°

乙BEC=Z.DEM

BE=ED

•••△BCEgZiOEMOL4S),

:.BC=DM,

vOD1AC,AC1BC,

・•・OD//BC,

vOA=OB,

0M是△ABC的中位线，

•••OM=^BC,

OD=DM+OM=1BC=3V3,

BC—2V5,

AC=y/AB2-BC2=J(6V3)2-(2V3)2=4病，

故选：C.

连接0。交AC于点M,先证明△BCEgADEM,可得BC=DM,再由DM+OM==3遍,

可得BC=2V3,最后利用勾股定理可得解.

此题考查了全等三角形的判定与性质，利用44s证明△BCE芸DEM是解题的关键.

8.【答案】B

［解析］解：作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则P

点就是所求作的点.

此时PA+PB最小，且等于AC的长.

连接。4,0C,

•••乙AMN=40°,

•••LAON=80",

・・・B为弧AN的中点,

二乙40B=N80N=40°,

根据垂径定理得介=介，

・・・乙CON=乙BON=40°,

・・・Z.AOC=120°,

•・・MN=2,

:.OA=OC=1,

.・・乙OAC=40cA=30°,

•••AC=V3.

故选：B.

首先利用在直线工上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、8的距离之和最短的点存在，可

以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的

交点就是所要找的点尸的位置，然后根据垂径定理得到4CON=eBON=40。，进而得到圆心角的

度数，进而即可求得4c的长度.

此题主要考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质等，确定点尸

的位置是本题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：•••△ABC中，AB=AC=近,ABAC=90",

/.ABC=4C=45°,

BC=y/AB2+AC2=VT+2=2,

把△4EC绕A点旋转到AyiFB,使AB和AC重合，连接。F.

则AF=AE,NFB4=Z.C=45。，4BAF=“AE,

•••/.DAE=45",

•••乙FAD=/.FAB+/.BAD=/.CAE+ABAD=NBAC-4DAE=90°-45°=45°,

4FAD=/.DAE=45°,

在小FAD^JAE4O中，

(AD=AD

\z.FAD=LEAD,

(AF=AE

•••△FADg2k£;4D(SAS),

：・DF=DE,BF=EC,

设£C=x,则BF=，BD=2%,

・•・DF=y/BF2+BD2=V5,

■:BC=2,

:.2x+y/5x4-x=2,

3-V5

•••X=2'

DE=V5x=I'；一：,

故选：C.

由等腰直角三角形性质和勾股定理求出乙4BC=4C=45。，BC=2,根据旋转的性质得出4F=AE,

/FBA=4C=45°,NBAF=NC4E,求出4F4D=4/ME=45°,证△FAD丝△EAD,由全等三角

形的性质可得。尸=0E,设EC=x,则=BD=2x,DF=DE=V5x,根据8c=2,列方

程，求出x即可.

本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的应用，添加恰当辅助线构

造全等三角形是本题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：①正确.••・-3=2,

2a

・•.4Q+b=0.①故正确.

②错误.:久=-3时，y<0,

・•・9a—3b+c<0,

・・.9a+c<3b,故②错误.

③正确.由图象可知抛物线经过(一1,0)和(5,0),

.(Q—匕+C=0

125a+5b+c=0

解得『=-4af

ic=—5a

•**8Q+7b+2c—8Q—28Q—10Q=-30a.

va<0,

8a+7b+2c>0,故③正确.

④错误，•••点4（一341）、点B（—12/2）、点。（72,乃），

•・•点C离对称轴的距离远，8其次，A最近，

•••力>丫2>乃，故④错误.

⑤正确.ra<0,

3

:.(x+l)(x-5)=一；>0,

即(％+1)(%—5)>0,

故％<-1或%>5,故⑤正确.

⑥错误.由①知4a+b=0

4ab一

'.万+Z=T+(—5)=—5

•••正确的有三个，

故选：A.

①正确.根据对称轴公式计算即可.

②错误，利用％=-3时，y<0,即可判断.

③正确.由图象可知抛物线经过(-1,0)和(5,0),列出方程组求出心匕即可判断.

④错误.利用函数图象即可判断.

⑤正确.利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题.

⑥错误.利用4a+b=。即可判断.

本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问

题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型.

11.【答案】5

【解析】解：•••点与点N(2-n,3)关于原点成中心对称，

2—n=-5,m—1=-3，

解得：n=7,m=-2,

则m+几=5,

故答案为：5.

利用关于原点对称的点的坐标特点可得加、〃的值，然后计算即可.

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标、

纵坐标符号都相反.

12.【答案】m<1

【解析】解：1二次函数y=—。一M)2—1中，a=-1<0,

••・抛物线开口向下，

・•・在对称轴的右侧y随x的增大而减小，

•・・抛物线的对称轴为％=m,

.•・当时，y随x的增大而减小，

•・,当xNl时，y随工的增大而减小，

・•・m<1.

故答案为：m<l.

根据二次函数表达式可得其对称轴为x=小及抛物线开口向下，从而得到在对称轴的右侧y随x

的增大而减小，再根据已知条件当x>1时，y随x的增大而减小，确定机的取值范围.

本题考查了二次函数的图象与性质，掌握当抛物线开口向下时，在对称轴的右侧y随x的增大而

减小是解题的关键.

13.【答案】2

【解析】解：如图：连接/E,/凡

在Rt△ABC,

•••Z-C=90°,AC=6,BC=8；

AB=>JAC2+BC2=10；

四边形/ECF中，

IE=IF,/EC=乙IFC=AC=90°,

•••四边形/ECF是正方形；

由切线长定理，得，AD=AE,BD=BF,CE=CF-.

CE=CF=^(AC+BC-AB)；

即：r=i(6+8-10)=2.

故答案为：2.

设AB、BC、AC与的切点分别为D、E、F；易证得四边形/EC尸是正方形；那么根据切线长

定理可得：CE=CF=^AC+BC-AB),由此可求出r的长.

本题考查的是三角形的内切圆与内心及切线长定理，根据题意作出辅助线，利用切线长定理及勾

股定理求解是解答此题的关键.

14.【答案】三兀

【解析】解：••・NB=30°,AB=3,

375

ABC=AB-cos30°=号，乙4=60°,

vAC=A'C,

A4AAC是等边三角形，

Z.ACA'=60°,

乙BCB'=60°,

・聊长:喑=机

故答案为：y7T.

首先根据勾股定理计算出8c长，再根据等边三角形的判定和性质计算出乙4c4=60。，进而可得

乙BCB'=60。，然后再根据弧长公式可得答案.

此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计算公式.

15.【答案】y

【解析】解：「BC是。。的直径，

・・・ABAC=90°,

,:OE1BC,

・・・乙BOE=乙COE=90°,

・・.BE=CE9

4BAE=^CAE=^BAC=Ix90°=45°,

•・,EA1.BD,

・・・乙ABD=/.ADB=45°,

:.AD—AB,

vOD1AC,

DC=AD,

设则AC=2%,

vBC=5,AB2+AC2=8c2,

・・・/+(2%)2=52,

解得x=V5.

■■.AB=V5.

vOD1AC,AB1AC,

•••OD//AB,

•••BO=CO,

OD==亭

故答案为：-y.

根据垂径定理得到4。=OC,得到NB4E=NC4E=g/BAC=；x90。=45°,求得乙4BO=

AADB=45°,求得4D=4B,根据勾股定理求出48的长，即可得到结论.

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题

的关键.

16.【答案】(6064,0)

【解析】解：由图象可知点B202I在％轴上，

3

vOA=OB=2,Z-AOB=90°,

・・•AB=7。联+。。2=J(|)2+22=|,

・•・当(4,0),83(10,0),85(16,0),…，

B1B3=-B3B^=6,

•••2021+2=1010…1,

1010X6=6060,6060+4=6064,

,1,^2021(6064,0).

故答案为(6064,0).

首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B］、&…，由图象可知点殳。21在x

轴上，BIB3=6,根据这个规律可以求得B2021的坐标.

本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现

规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型.

17.【答案】解：(l)(x-3>-4=0,

(X-37=4,

•,­%—3=+2,

X1—5,%2=1;

(2)x2-4x-8=0,

x2-4x=8,

%2—4x+4=8+4,即(x—2)2=12,

•••x-2=+2V3>

Xi=2+2A/3,x2=2-2V3.

【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；

(2)利用配方法求解即可.

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键

18.【答案】(1)证明：由方程/一卜工+卜一2=0得：

a=1,b=-k,c=k—2,

:.A=b2—4ac

=(-k)2-4x1x(k-2)

=k2-4fc+8

=(/c-2)2+4>0,

无论％为何值时，方程有两个不相等的实数根；

-

(2)解：设方程的两根为与，%2»则％1+%2=匕Xi-%2=^2,

代入不等式2(%1+x2)>%1%2得，

2k>k-2f

k>—2.

答：%的取值范围是k>—2.

【解析】(1)根据根的判别式4=—4ac来确定方程的根的情况；

(2)根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出两根之和与两根之积，根据2(XI+X2)>X62,

代入即可得到关于k的不等式，从而求得女的范围.

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系.一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与

系数的关系：

(1)21>0Q方程有两个不相等的实数根；

(2)4=0=方程有两个相等的实数根；

(3)4<0=方程没有实数根；

(4)若一元二次方程有实数根，则与+丫2=-，xlx2=

19.【答案】解:(1)如图所示，A&B1G即为所求作；点为(4,一1),Ci(3,-2)；

(2)如图所示，△々BC?即为所求作；

(3)△ABC的面积=3x3-ix2x3-ixlxl-ix3x2=2.5.

【解析】(1)分别作出A，B,C的对应点为,Bi，G即可.

(2)分别作出A,B,C的对应点/，B2,C2即可.

(3)利用分割法求解即可.

本题考查作图-旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

20.【答案】解：⑴把做一1,0)、8(3,0)分别代入丫=/+以+(:中，

得：已;防：=1，解得：尸2

(9+3b+c=01c=-3

.•・抛物线的解析式为y=x2-2%-3.

vy=x2-2%—3=(%—l)2—4,

顶点坐标为(L-4).

(2)y=x2-2x-3=(x-I)2-4的对称轴为x=1,

由图可得当0<x<3时，函数在x=1处取得最小值一4,

在x=3处取得最大值0,

-4<y<0.

⑶ML1,0)、B(3,0),

•••AB=4.

设P(x,y),则SAPAB=^AB-\y\=2|y|=10,

•1•lyl=5-

y-±5.

2

①当y=5时，x—2x—3=5,解得：xr=-2,x2—4,

此时尸点坐标为(一2,5)或(4,5)；

②当y=-5时，x2-2%-3=-5,方程无解；

综上所述，P点坐标为(-2,5)或(4,5).

【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标

特征，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出函数解析式；(2)根据函数图象求解最大值和最小

值；(3)找出关于y的方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用

待定系数法求出函数解析式是关键.

(1)由点A、8的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶

点坐标；

(2)结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论；

(3)设P(x,y),根据三角形的面积公式以及SAP.=10,即可算出y的值，代入抛物线解析式即可

得出点尸的坐标.

21.【答案】解：(1)当2<xW5时，y=600；

当5<x410时，设、=kx+b(k*0),

把(5,600),(10,400)代入得:

(5k.+b=600

tlO/c+b=400'

解嘱瑞

y=-40%+800,

・•.y与x之间的函数关系式为：

_[600(2<x<5)

y=1-40%+800(5<x<10);

(2)设每天的销售利润为w元，

当2<xW5时，

w=600(%-2)=600%-1200,

当x=5时，w及士=600x5-1200=1800(元)；

当5<xW10时，

w=(—40%+800)(x—2)

=-40(x-II)2+3240,

当x=10时，

/-=-40x1+3240=3200(兀).

综上所述，销售单价x为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元.

【解析】(1)当2<x<5时，y=600；当5<xW10时，设丫=kx+b(k力0),用待定系数法求

解即可；

(2)设每天的销售利润为w元，分别列出当2<xW5时和当5<%<10时的函数关系式并求得相应

的最大值，然后取其中较大者即可.

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练学

握二次函数的性质是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：连接。4

D

■■■AD//0C,

・•・^AOC4-Z-OAD=180°,

vZ-AOC=2Z,ABC=2x45°=90°,

・・・^OAD=90°,

:.OA1.AD.

V04是半径，

•••4。是。。的切线.

(2)解：设0。的半径为R,则。4=R,0E=R-2.

在RtZkCME中，AO2+OE2=AE2,

•••R2+(R-2/=(2通7，

解得R=4或R=-2(舍去)，

延长C。交。。于F,连接AF,

vZ.AEF=Z.CEB,Z.B=Z.AFE,

公

・•.△CEBsAEF9

.••丝=竺，

CEBE

■：EF=2R-2=6,

2V56

BE=竽.

【解析】(1)连接。4想办法证明0AJ.4C即可解决问题.

(2)设。。的半径为R,则。4=R,。岳=/?-2.在/?£2\。4后中，根据4。2+。52=4岳2,构建方

程求出R；延长C。交。。于F,连接AF,证明△CEBSAAEF,由相似三角形的性质得出绊=第，

可求出BE的长.

本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是

正确作出辅助线，证明ACEBs△力EF.

23.【答案】解：(1)当y=0时，-(x+l)(x-3m)=0,解得匕=-1,x2=3m,

B点坐标为(3m,0),

当％=0时，y=—(x+1)(%—3m)=-1x(—3m)=3m,

，C点坐标为(0,3m),

•・・/(T0),B(3mz0),

.•・抛物线的对称轴为直线X=亨_1=竽；

(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,

把B(3M,0),C(0,3m)代入得1呼3普=°，解得

八直线BC的解析式为y=-%+3m；

・・・”点为。8的中点，

3

•・,DM1%轴,

3、”392]3、

A/V(-m,-7n),叱m,严已+")，

....3292,339

.・・MN=-m,DN=-m£+-m—-m=2

24224

..DN_3

v丽=5'

9?-

.£^=3

"紧2,

整理得m2-m=0,解得mi=0(舍去)，rn2=1,

m的值为1.

【解析】(1)解方程一。+1)(%-3m)=0得B点坐标为(3m,0),求x=0时对应的函数值得到C

点坐标为(0,3巾),利用对称性确定抛物线的对称轴：

(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-%+3m,利用M(|m,0)得到2(|小弓小)，

92

D(|m,^m2+|m),所以MN=DN=1m2,然后利用黑=耨到F=I从而求出m的值.

、242/24MN2浙2

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数旷=。/+以+，((1/1是常数，。*0)与犬轴的

交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的

坐标特征.

24.【答案】不是

【解析】解：(1)矩形的对角线相等但不垂直，

所以矩形不是“奇妙四边形”；

故答案为不是；

(2)连结。8、OD,作。“18。于H,如图2,则8H=0H,

v乙BOD=24BCD=2x60°=120°,

图2

•••乙OBD=30°,

在RtAOBH中，「NOB"30°,

i

•••OH=^OB=3,

•••BH=V3OH=3V3,

vBD=2BH=6次,

AC=BD=6V3,

•••“奇妙四边形"4BCO的面积=jx6V3x6V3=54；

(3)OM=理由如下：

连结。2、OC、OA、OD,作OEJ.AD于E,如图3,

vOE1AD,

:.AE=DE,

■:Z-BOC=2/-BAC,

而乙BOC=2乙BOM,

・••(BOM=Z.BACf

图

同理可得乙4。£=乙48。，3

vBD1AC,

・・・乙84。+448。=90°,

，4BOM+乙4OE=90°,

vz_BOM4-Z.OBM=90°,

・•・Z-OBM=Z-AOE,

在^BOM^\LOZE中

ZBMO=Z.OEA

(OBM=乙4OE,

OB=AO

BOMQAOAE,

.・.OM=AE,

1