2022全国乙卷高考文科数学答案及解析

2022全国乙卷高考文科数学答案及解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为M={2,4,6,8,10},N={x［—l<x<6},所以Mp)N={2,4}.

故选：A.

2.【答案】A

【解析】

［分析］根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】因为R,(a+0)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=\,b=-\.

故选：A.

3.【答案】D

【解析】

【分析】先求得ad，然后求得口」.

【详解】因为Z—五=(2,1)-(一2,4)=(4,—3),所以,―石卜,2+(—3)2=5.

故选：D

4.【答案】C

【解析】

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

73+75

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为二一-=7.4,A选项

2

结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------O

16

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值9=0.375<0.4,

C选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值三=0.8125>0.6,

16

D选项结论正确.

故选：C

5.【答案】C

【解析】

【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，

所以Zmax=2x4-0=8・

故选：C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得

点A坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得,"(1,0),则|AF|=|3可=2,

即点A到准线％=—1的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2),

所以|AB|=J(3—l『+(()-2)2=20.

故选：B

7.【答案】B

【解析】

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，b=b+2a=l+2=3,

a=b—。=3—1=2,〃=〃+1=2,

->0.01；

4

执行第二次循环，〃=〃+2a=3+4=7,

。=〃-1=7—2=5,力=〃+1=3,

执行第三次循环，〃=〃+2a=7+10=17,

。=6—。=17—5=12,〃=〃+1=4,

面此时输出〃=4.

故选：B

8.【答案】A

【解析】

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设=则/⑴=0,故排除B;

设/?(x)=,当xe(0,9时，0<cosx<l,

所以〃(x)=2等於<-^<1,故排除C;

7X+1X+\

、■/、2sinx…/c、2sin3八,,

设g(x)=—;~则g(3)=，八.>(),故排除D.

x-+]10

故选：A.

9.【答案】A

【解析】

【分析】证明所_L平面8。，，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

设A6=2,分别求出平面々Eb,\BD,4G。的法向量，根据法向量的位置关系，即

可判断BCD.

【详解】解：在正方体A8CO-ANGR中，

力C_L3。且DR±平面ABCD,

又EFu平面ABCD,所以EFLDR,

因为E,F分别为的中点，

所以所||AC,所以EEA.BD，

又Bon。。=。，

所以£F_L平面B。。一

又EFu平面B]EF,

所以平面4EF_L平面B。。，故A正确；

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A6=2，

则4（2,2,2）,E（2,1,0）,广（1,2,0）1（2,2,0）,4（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

C,（0,2,2）,

则EF=（-1,1,0）,瓯=（0,1,2）,DB=（2,2,0）,西=（2,0,2）,

羽=（0,0,2）,/=（-2,2,0）,而=（-2,2,0）,

设平面B'EF的法向量为〃?=（X］，X，Z|）,

m-EF=-%+x=0

则有＜，可取而=（2,2,-1）,

tn•EB]=y+2Z[=0

同理可得平面43。的法向量为）=（1,—1,—1）,

平面4AC的法向量为屐=（1,1,0）,

平面4G。的法向量为&=（1,1,一1）,

则"2・4=2—2+l=lw0,

所以平面用石尸与平面A3。不垂直，故B错误;

LSI

因为言与〃2不平行，

所以平面用EF与平面4AC不平行，故C错误;

因为而与鼠不平行，

所以平面用EF与平面ACQ不平行，故D错误,

10.【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列｛2｝的公比为4国力0,易得。#1，根据题意求出首项与公比，再根

据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为4，4工0,

若4=1,则%-%=0,与题意矛盾，

所以乡,

弓(1一4)168I=96

q+4+%=

则《i.q,解得《1

q=一

2

a2-a5=%q-42

所以4=*=3.

故选：D.

11.【答案】D

【解析】

【分析】利用导数求得“X)的单调区间，从而判断出“X)在区间［0,2可上的最小值和最

大值.

【详解】/r(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

(0目和作,2兀［上r(x)>0,即/(x)单调递增；

所以/(x)在区间

在区间C/'(x)<0,即/(x)单调递减,

又/⑼="2兀)=2

所以“X)在区间［0,2可上的最小值为一手，最大值为^+2.

故选：D

12.【答案】C

【解析】

【分析】先证明当四棱锥顶点O到底面A8CD所在小圆距离一定时，底面A3C。面积最

大值为2/，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而

得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形48C。，四边形ABC。所在小圆半径为r,

设四边形ABC。对角线夹角为。，

1119

则SABCD=2.4。BDsina<—•AC-BD<--2r-2r=2厂

(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)

即当四棱锥的顶点。到底面A8CO所在小圆距离一定时，底面A8co面积最大值为2r2

又产+/-]

则%=--2r2./?=—J，./.2*＜也伍+，士还^=迪

°-ABBCCDD333W3J27

当且仅当户=2於即〃邛时等号成立，

故选：C

13.【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为2（q+"）=2q+d+6,即可得解.

【详解】由2s3=3S2+6可得2（q+4+仆）=3（4+4）+6，化简得2%=4+4+6，

即2（q+2^）=2%+4+6,解得d=2.

故答案为：2.

3

14.【答案】一##0.3

10

【解析】

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C：=10

3

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率2=一

10

3

故答案为：—

15.【答案】（x_2j+（y_3）2=]3或（x-2）2+（y_l）2=5或=竺或

v3）\3J9

【解析】

【分析】设圆的方程为丁+丁+瓜+互y+F=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即

可;

【详解】解：依题意设圆的方程为/+丫2+m+a+F=0,

尸=0尸=0

若过（0,0）,（4,0）,（-1,1）,则（16+4。+尸=0

，解得，。=一4,

\+\-D+E+F=QE=-6

所以圆的方程为f+y2—4x-6y=0,即（x—2）?+（^—3）?=13；

了=0y=0

若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则＜16+40+尸=0,解得《。=—4,

16+4+4D+2E+F=0（E=-2

所以圆的方程为V+y—4x—2y=（）,即（x—2y+（y—l）2=5；

F=0

E=0

8

若过（0,0）,（4,2）,（-1,1）,则T+1-O+E+尸=0，解得Jo=一§，

16+4+4D+2E+F=0

14

E=—

3

所以圆的方程为x?+y?-4X---y=0,即+fy——1——；

33-＜3JV3J9

16

1+1-D+E+F^O5

若过（-1/），（4,0）,（4,2）,则＜16+4。+/=0,解得

5

16+4+4D+2E+F=0

£=-2

所以圆的方程为f+y?---x—2y----=0,即（x—?+（y—1）"—：

55I5J25

故答案为：（X—2）2+（y—3）2=13或（x—2）2+（y—l1=5或65

~9

169

或

25

16.【答案】①.一二；②.In2.

2

【解析】

【分析】根据奇函数的定义即可求出.

【详解】因为函数/(x)=lna+=+Z?为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

1X

由4+」一H0可得，(l-x)(a+l-ax)x(),所以％=土止=-1,解得：a=--,即函

1-xa2

数的定义域为(f,-l)u(-l,l)D(l,4w),再由/(O)=O可得，0=ln2.即

/(x)=ln-；+1一+ln2=ln产土，在定义域内满足/(-x)=-/(x),符合题意.

故答案为：一大；In2.

2

5兀

17.【答案】(1)?；

8

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(sinAcosB—cosAsinB)=sinJB(sinCcosA—cosCsinA),再根据正弦定理，余

弦定理化简即可证出.

【小问1详解】

由A=2B，sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),

而0<6<5，所以sinBe(O,l),即有sinC=sin(C-A)>0,而

0<C<兀,0<。一4<兀，显然CwC—A,所以，C+C—A=7t,而A=2B，A+B+C=n,

所以C=辿.

8

【小问2详解】

由sinCsin(A_3)=sin3sin(C—A)可得，

sinC(sinAcosB—cosAsinB)=sin5(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=hecosA-ahcosC,然后根据余弦定理可知,

L^+c2_b^L^+c2_^=^b2+c2_a2y^a2+h2_c2y化简得：

2/=〃+02,故原等式成立.

18.【答案】（1）证明详见解析

⑵B

4

【解析】

【分析】（1）通过证明ACJ•平面BED来证得平面平面ACO.

（2）首先判断出三角形AR7的面积最小时F点的位置，然后求得F到平面ABC的距离,

从而求得三棱锥F-ABC的体积.

【小问1详解】

由于45=8,E是AC的中点，所以AC_LE»E.

AD=CD

由于,BD=BD，所以AADB空ACDB,

NADB=ZCDB

所以AB=CB,故

由于DEcBD=。，DE,BD\平面3矶），

所以ACL平面BE。，

由于ACu平面ACZ）,所以平面BED_L平面ACO.

【小问2详解】

依题意A3=3O=BC=2,ZACB=6Q°,三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=1,BE=百，

由于A。=CD,A。_LCD,所以三角形AC。是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2-所以DELBE，

由于ACcBE=£,AC,5Eu平面ABC,所以。E_L平面A8c.

由于所以NER4=NFBC,

BF=BF

由于,NFBA=NFBC,所以△fBA=„FBC.

AB=CB

所以4?=。/,所以防_LAC,

由于SA"c=g-AC-EF，所以当所最短时，三角形AEC的面积最小值.

过E作EFLBD，垂足为尸，

11M

在RtZ\8ED中，—BEDE=—BDEF,解得七尸=32,

222

FHBF3

过尸作四，5E,垂足为H,则FH//DE,所以EH_L平面ABC,且一=——=-,

DEBD4

3

所以FH=一,

4

19.【答案】（1）0.06m2；0.39m3

（2）0.97

（3）1209m3

【解析】

【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林

区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

(3)依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的

总材积量的估计值.

小问1详解】

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值亍=瑞=006

样本中10棵这种树木的材积量的平均值9=需=039

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m，

平均一棵的材积量为0.3911?

小问2详解】

1010

£(玉-可(¥-9)回

r点(i)2M-/柩¥-1叫沙-1。"

=0247"10x0.06x0.39=0-34°0。34。。勿

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)V0.00018960.01377

则”0.97

【小问3详解】

设该林区这种树木的总材积量的估计值为Fm3，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得病="F，解之得丫=120911?.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

20.【答案】⑴-1

(2)(0,+oo)

【解析】

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

(2)求导得/(耳=色匚华二D,按照。40、0<"1及。>1结合导数讨论函数的单

调性，求得函数的极值，即可得解.

【小问1详解】

当a=0时，/(%)=---Inx,x>0,则/'(1)=』一，='!~^,

XXXA-

当xe((),l)时，制x)>0,〃x)单调递增；

当xe(l,M)时，/«勾<(),/(x)单调递减；

所以f(x)皿=f(l)=T；

【小问2详解】

/(x)=ox---(a+l)lnx,x>0，则/'(*)=4+二一=—,

xxxx-

当a40时，ax-l<0,所以当xe(O,l)时，/«x)>0,/(x)单调递增；

当X€(l,+8)时，/")<0,“X)单调递减；

所以/(力|皿=/(1)=4一1<0,此时函数无零点，不合题意；

当0<"1时，|>1,在(0,1),(：,+"上，/^x)>0,“X)单调递增；

在(1,：)上，f(x)单调递减；

又/⑴=。-1<0,当x趋近正无穷大时，/(x)趋近于正无穷大，

所以/(x)仅在[，+%)有唯一零点，符合题意；

当a=l时，/'(x)=(T)2所以〃x)单调递增，又〃l)=a-l=0,

所以有唯一零点，符合题意；

当”>1时，；<1,在](),[,(1,+8)上，/,")>(),/(x)单调递增；

在上，用x)<0,/(x)单调递减；此时〃l)=a-l>0,

又/[5]=£-a"+〃(a+l)lna,当〃趋近正无穷大时，/趋近负无穷,

所以“X）在（o,J有一个零点，在（5+8）无零点，

所以/（x）有唯一零点，符合题意；

综上，°的取值范围为（0,+8）.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问

题转化为函数的单调性与极值的问题.

22

21.【答案】（1）匕+土=1

43

(2)(0,-2)

【解析】

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【小问1详解】

解：设椭圆£的方程为mF+"y2=1,过A（0,-2）,《于-1）,

4n=1

则＜9，解得，〃〃=」•，

一"2+〃=134

14

22

所以椭圆E的方程为：匕v+土%=1.

43

【小问2详解】

37

4（0,—2）,8（/,—1）,所以A3:y+2=§x,

22

①若过点尸（1，-2）的直线斜率不存在，直线》=1.代入工+匕=1,

34

可得"（1,手），N（l,—半），代入AB方程y=|x-2,可得

T（庭+3,辿），由而=而得到HQ瓜+5,上西）.求得HN方程：

33

y=(2-半»-2,过点(0,-2).

②若过点P(l，-2)的直线斜率存在，设丘—y—依+2)=0,M(芯,y),N(/，必)・

kx-y—(k+2')=0

联立《x2y2,得(3攵2+4)%2-6攵(2+%)%+3-人+4)=0,

—+—=1

34

_6&(2+A)—8(2+Q

…=上屋2=获百

可得〈

34(4+4)4(4+4左一23)

中2二年工%>2

3炉+4

—24kz..

且%％+&x=Tp-(*)

jK十4

y=y3

联立《2c，可得T(T+3,y),”(3M+6_%,y).

尸尸-22

可求得此时HNiy-y2=--筑2---(x-x2),

3y+6-玉一x2

将(0,-2)，代入整理得2(%+/)-6(y+%)+%+々X-3y必一12=0,

将(*)代入,得2。+12左2+96+48左-24k-48-48%+24炉一36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点(0,-2).

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

22.【答案】(1)Gx+y+2m=0

195

(2)---<m<—

122

【解析】

【分析】(1)根据极坐标与直角坐标互化公式处理即可；

(2)联立/与C的方程，采用换元法处理，根据新设。的取值范围求解，"的范围即可.

【小问1详解】

因为/：psin[e+3>J+〃2=O,所以gp.sin6+-^■夕<056+m=0，

又因为夕・$m，=了,夕-05，=%，所以化简为J_y+走x+m=0,