2021届安徽省江淮十校高考数学第三次质检试卷(理科)(含答案解析)

2021届安徽省江淮十校高考数学第三次质检试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知全集为R,集合4=｛引/+5x—620｝,3=｛%|“<；或%>8｝,则4n（CRB）等于（）

A.[6,8)B.[3,8]C.[3,8)D.[1,8]

复数z=3-4i,则|z|=(

双曲线条一，=l（a>0,b>0）的离心率为百，则它的渐近线为（

A.y=±xB.y=±>j2xC.y=±2xD.y=±A/3X

a=1"是"直线力ax—y+1=0与直线m:x+y=a垂直”的(

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有4个白球,2个红球.从袋中不放回地逐个取球，

取完红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X,贝l]P（X=3）=（）

A.2B.|C.白D.

1551020

6.已知等差数列｛“J和等比数列砂工的各项都是正数，且〃1=%，贝N）

N.a6=b6B.flg>bC.a6>b6D.<b6

7.在平面直角坐标系中，若P,Q满足条件：（1）P,。都在函数f（x）的图象上；（2）P,。两点关于

直线y=x对称，则称点对｛P,Q｝是函数f（x）的一对“可交换点对”.（｛匕（?｝与｛（2/｝看作同一“可

交换点”.试问函数真磷」婢"乐*岭川’的“可交换点对有（）

、.胸出啜搞瞬

A.0对B.1对C.2对D.3对

8.己知即为（1+乃"2的展开式中含产项的系数，则数歹的前〃项和为（）

an

9.己知|肉=3,=5，五与至不共线，若向量上五+石与k五一E互相垂直，则实数%的值为（）

A.|B.|C.±|D.±|

10.图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面•••••

积为()

■T.(t)MfflM(^

A.+2V2)7r

B.(g+40兀

MMffi

C.(4+2V2)n-

D.(8+4夜)兀

11.已知直线x+y+mn=。与圆/+y2+2x-3=0相交所得的弦长为4,m>n>0,则艰+二的

最大值等于()

A.立B.更C.2-V3D.四

456

12.如图是导函数群=我能磔的图象，则下列命题错误的是()八，广巡

A.导函数窜=望治磁在益=%处有极小值J1K/

B.导函数聚=,旌：;磔在•鼠=/处有极大值17

C.函数解=黄:磷在需=%处有极小值

D.函数解=£©原在£=%处有极小值

二、单空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9

个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为一.

877

94010x9I

14.设点P(x,y)是图中直角三角形区域(含边界)上任意一点，则x4-y的

取值范围为.

15.己知向量£=(6,2)与吉=(-3,幻的夹角是钝角，则k的取值范围是

16.已知各项都是正数的等比数列｛册｝满足@7=。6+2。5，若存在不同的两项Qm和Qn，使得Qmt

an=16遥，则工+士的最小值是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.己知数列｛0｝中，。3=5,a2+a6=14,且2。”，2限1,2。”+?成等比数列,

(I)求数列｛即｝的通项公式；

(11)若数列｛b｝满足力=斯-(—1)与，数列｛%｝的前项和为〃，求

18.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与匕且X,y的分布列为

X123

Pa0.10.6

Y123

P0.3b0.3

(1)求m6的值；

(2)计算X,y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况.

19.如图，四边形PDCE为矩形，四边形A8CD为梯形，平面PDCE_L平

面ABCD,乙BAD=4ADC=90°,AB=AD=^CD=1,PD=V21

若M为PA的中点，PC与DE交于点N.

(1)求证：AC〃面MOE；

(2)求证：PE1MD；

(3)求点N到平面的距离.

20.已知点C的坐标为(1,0),4,B是抛物线y2=x上不同于原点。的相异的两个动点，且a-05=0.

(1)求证：点A,C,B共线；

(2)若祈=4证QeR)，当丽・南=0时，求动点。的轨迹方程.

21.已知meR,函数/'(x)=炉+巾/+(TH++6在(-8,+8)上有极值，求机的取值范围.

(x=1+^t

5

22.在直角坐标系my中，直线/的参数方程为《3(t为参数)，若以。为极点，x轴正半

[y=-1~st

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=V2cos(e+5，

(1)求直线/被曲线C所截得的弦长；

(2)若M(x,y)是曲线C上的动点，求x+y的最大值.

23.(1)求证：2V3>V54-1;

(2)设a,b均为正实数，求证：±+±+«6>2V2.

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：A=[x\x2+5%-6>0]={x\x>1或不<-6},

•・,B={x\x<[或x>8],

•••CRB={x|I<x<8},

则4n(CRB)={X|1WYW8},

故选：D

求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可.

本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础.

2.答案：D

解析：解：复数z=3-4i,

则|z|=Q+(-4)2=5.

故选：D.

直接利用复数的求模公式求解即可.

本题考查复数的模的求法，考查计算能力.

3.答案：B

解析：

运用离心率公式，再由双曲线的a,b,c的关系，可得6的关系，再由渐近线方程即可得到.

本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法.

解：由双曲线的离心率为V5,

则e=2=V5,即c=V5a，

b—Vc2—a2=V3a2—a2=V7a，

由双曲线的渐近线方程为y=+^x,

即有y=±V2x,

故选：B.

4.答案：A

解析：

本题考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念.

根据必要条件、充分条件与充要条件的定义结合两条直线垂直的判定判断即可.

(l)a=l时，直线x-y+1=0的斜率为1,刀+丫=1的斜率为一1；

二这两直线垂直；

(2)直线/：ax—y+1=0与直线机：x+y=a垂直，

则：ax(―1)=-1；

二解得a=1；

"直线/：ax—y+1=0与直线〃〃x+y=a垂直"可得到"a=1”；

•••综上得"a=1”是""直线/：ax-y+l=0与直线，*：x+y=a垂直”充要条件.

故选A.

5.答案：A

解析：

解：由题意得X=3时，共取三次球，

且前两次取到的一红一白，最后一次取到的一定是红球，

基本事件总数n=43

X=3包含的基本事件个数m=盘«掰，

•・P(X-3)-鹿-15.

故选:A.

最后一次取到的一定是红球，利用古典概型、排列组合能求出P(X=3).

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.答案：C

解析：4>0,，>。，4=i,

勺+/_瓦+瓦\

—,4%=%'

~2-2

等号成立时=如,即此时也J均为常数列，故选C.

7.答案：C

解析:试题分析:设p(x,y)是满足条件的“可交换点”，则对应的关于直线y=x的对称点。是(y,x),

所以请外警科11色=管'，由于函数y=请升警就开翦和y=爵的图象由两个交点，因此满足条件的“可

交换点对”有两个，故选c.

考点：函数的性质

8.答案：D

解析：解：•••7r+l=墨+2"，

•.«n=*=*2=号担，

,,±?—=2(-_______

an(n+2)(n+l)，n+ln+2，'

•・.数列塌的前n项和为2©V+»；+…++-+)=2g-专)=],

故选：D

利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于小求出即，利用裂项求和求出数列的前“

项和.

本题考查二项展开式的通项公式，利用裂项求数列的前n项和.

9.答案：D

解析：解：|五|=3,|方|=5，五与方不共线，向量kZ+E与k五一方互相垂直，

可得(卜五十石=0，

得的初2一年产=o,

Y，

解得k=±|.

故选：D.

利用向量的数量积为0,列出方程即可推出结果.

本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力.

10.答案：D

解析：解：如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，

即S=1•4兀八+nri=8兀+4或兀=(8+4>/2)7r.

故选：D.

根据已知中的三视图可得：该几何体是一个半球挖去一个圆锥，其表面积由半球面和圆锥的侧面积

组成，由三视图求出球和圆锥底面的半径及圆锥的高，进而求出圆锥的母线长，代入面积公式，可

得答案.

本题考查学生的空间想象能力，分析出几何体是形状是解答的关键，难度不大，是基础题.

11.答案：A

解析：解：由刀2+y2+2x—3=0得：（x+l）2+y2=4,

故圆心是（一1,0）,半径r=2,

而弦长是4,故直线过圆心，

将（—1,0）代入直线方程得：mn=1,

故-TZ（jn>n>O'）

m—n

（m—n）2+2

1

=~~~~

⑺-九）+存工

1

<—

21（加一"）,高

=乌

4

当且仅当加一71=&时“=”成立，

故选：A.

求出直线过圆心，得到mn=l,根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可.

本题考查了直线和圆的关系，考查基本不等式的性质的应用，是一道中档题.

12.答案:C

解析：试题分析：由导函数图像可知导函数理=/《•磷在需=%处有极小值，在£=里处有极大值,

由图像在叫左侧附近导数值为正，右侧附近导数值为负，所以原函数在:吗左侧递增，右侧递减，在

需=%处有极大值，同理在算=%处有极小值

考点：函数导数与单调性

点评：在函数的增区间内，函数导数楚於蝴逆或，在减区间内/笛斓士做，在单调区间内可以出现有

限个点处导数值为零

13.答案：.二

解析:试题分析:根据茎叶图知道：去掉一个最高分和最低分后这组数为麟限耽嬲喝口.颤I蝌剧期丑富,

解''#嫩项不壤期外哪工斗贼［善躺器喇哪41窗

所以这组数据的平均数是学带,哪"乐=魁,所以需=4.所以这组数据的方

空日《一哪日普强丑宗朴崛1®书铲书铲霁

本7E--------------------------------------------------------------=

考点：1.茎叶图的应用；2.平均数和方差的求解.

14.答案：［-1,8］

解析：解：设z=x+y,由图可知，直角三角形的斜边所在直线

方程为y=2x-4.

.•・斜边端点的坐标分别为(1,一2),(4,4).

化z=x+y为y=-x+z,当直线y=-x+z经过点(1,-2)时，

直线在)，轴上的截距最小，z取最小值-1；

当直线y=-x+z经过点(4,4)时，直线在y轴上的截距最大，z取

最大值8.z=x-y

•・・x+y的取值范围为［-1,8］.

故答案为：［-4,8］.

设z=X+y,化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

15.答案：(—00,—1)u(―1,9)

解析：

本题考查了向量夹角的求解问题，考查向量的数量积运算以及向量共线的条件，解题时将向量夹角

为钝角转化为数量积小于0,注意排除反向的情形，是基础题.

由题意得Hr：小,求出”的取值范围，并排除反向情况.

解：彳与新夹角是钝角，

则;懿TI也且彳与而不共线，

即一18+2k<。且6k+6承()，解得k<9且上学—L

即方的取值范围是(一8,—1)kJ(-1,9).

故答案为(一00,-1)u(-1,9).

16.答案：|

解析：解：由各项均为正数的等比数列｛an｝满足a;=。6+2。5,可得q2—q—2=0,；.q=2.

m+n2m+n24

vam-an=16ai,q-=16,/.2~=2,Am+n=6,

•'•3+：=；(m+n)e+3=:(5+q+F)\(5+4)=《,

当且仅当巴=%时，等号成立.

mn

故三+士的最小值等于3，

mn2

故答案为：|.

由％=。6+2劭求得9=2，代入Qm•Qn=16讲求得小+n=6,利用基本不等式求出它的最小值.

本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题.

17.答案:解:(1)・.・2%,2。"】,2、*2成等比数歹|」,

A(2fln+1)2=20n-20n+2,

=1

*,*2a九+icin+CLfi+2***｛。九｝成等差数列，

由的=5,g+%=14，得的=l,d=2,

an=2n—1.

n

(n).•.6n=2n—1—(—l)n,

当〃为奇数时，

Tn=b1+b2+b3^------Fbn

=+a?+…+。九)+(1-2+3-4+…+TI)

_(ai+aQn+.n+(-tl、)x7—1—1=nO2+.九—+1.

2

当〃为偶数时,

”=瓦+⑦+b3H-------卜bn

=(a]+a?+…+an)+(1—2)+(3—4)+…[(71—1)—n]

=(a11an)n+(_1)xn=n2_n

2v722

小+二2,为奇数

综上所述数列｛%｝的前几项和为MJ(fc€JV).

“2—K，”为偶数

解析：本题考查了等比数列，等差中项，等差数列通项，求和公式及数列分组求和和并项求和的方

法，属于一般题.

(I)先2所,2a«+1,2"+2成等比数列,证出｛%｝成等差数列,进而求出7和d,从而得出结果;

(11)先垢=2n-1-(一1)，，再分组求和，分〃为奇数和”为偶数分别求和即可.

18.答案：解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质，得：

fa+0.1+0.6=1

10.3+b+0.3=1'

解得a=0.3,b=0.4.

(2)E(X)=1X0.3+2X0.1+3X0.6=2.3,

D(X)=(1—2.3)2X0.3+(2-2.3/x0.1+(3-2.3)2X0.6=0.81,

E(Y)=1x0.34-2x0.4+3x0.3=2,

D(K)=(1-2)2X0.3+(2-2)2X0.4+(3-2)2x0.3=0.6,

E(X)>E(Y),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，

但O(X)>。(丫)，说明甲的得分的稳定性不如乙

甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.

解析：(1)由离散型随机变量的分布列的性质，能求出”和江

（2）利用离散型随机变量的分布列的性质，求出E（X）,D（X）,E（y）,D（y）,由此能得分析甲、乙技

术状况.

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，是中档题，

解题时要注意离散型随机变量的分布列的性质的合理运用.

19.答案：（1）证明：连接MN,•.,四边形POCE为矩形，PC与QE交于点N,二N为PC的中点,

又"为PA的中点，

而MNu平面MDE,AC平面MDE,

"〃面MDE；

(2)证明：•••平面PDCE1平面ABCD,平面PDCEn平面ZBCD=CD,

AADC=90°,

AD_L平面PDCE,则401PE,又PE1PD,PDdAD=D,

：.PE，平面PAD,

则PE1MDs

(3)解：AB=AD=^CD=1,PD=V2,

=x

•••PA=A/3»则SAPAB=：xlxV5=",SA48c1(l+2)x2—1xlx2=1,

224N4

设C到平面PAB的距离为h,则由/_A8C=Vc-PAB，

律是X四=院四八,解得h=理,

32323

N为PC的中点，.•.点N到平面ABM的距离为渔.

6

解析：（1）连接MM由已知可得N为PC的中点，又用为PA的中点，得MN〃AC,再由线面平行

的判定可得AC〃面MDE；

（2）由已知结合平面与平面垂直的性质可得ZDJLPE,又PEJLPD,由线面垂直的判定可得PE1平面

PAD,则PE_LMD；

⑶由已知利用等积法求C到平面ABM的距离，再由N为PC的中点，可得点N到平面ABM的距离.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了

利用等积法求多面体的体积，是中档题.

20.答案：（1）证明:设A（优,幻,］（4也），作1丰t2,tr7（J上工0）,则工？=（d,J）,方（抬/2），

因为方•丽=0，+tTt2=0,又t2¥0，ti*0,­•-=-1,

因为标==（1

且ti（l一片）-t2（l-考）=（ti-t2）-tit?+t2tl=（ti-t2）（l+»也）=0,

所以前〃就，

又AC,C8都过点C,所以三点A,B,C共线.

（2）解：由题意知，点。是直角三角形A08斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，/.CQO=90°,

所以设动点Q（x,y）,则的=（x,y）,CQ=（x-l,y）.

又丽•而=0，所以X（X_1）+y2=0,即（x-52+y2=］（x40）,

动点Q的轨迹方程为（X2+y2=（（X工0）.

解析：（1）利用向量方法，证明前〃就，即可证明点A,C,B共线；

（2）若祈=49（AeR），当丽・荏=0时，OQCQ=0,即可求动点Q的轨迹方程.

本题考查轨迹方程，考查三点共线的证明，考查向量知识的运用，属于中档题.

21.答案：解:对函数"X）求导得,

f（x）=3x2+2mx+m+p

令1（x）=0,B|J3x2+2mx+m+g=0,

此一元二次不等式的判别式

△=4m2—12（m+}=4m2-12m—16,

若△=（）,则r（x）=o有两个相等的实根&,且尸。）的符号如下：

X(一(&,+co)

8,a)XO

f(x)+0+

故/'（通）不是函数fO）的极值

当且仅当2\>0时，函数f（%）在（一