龙岩市重点中学2025届数学九上期末统考试题含解析

龙岩市重点中学2025届数学九上期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（）A． B．C． D．2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB3．反比例函数的图象分布的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限4．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为xy353A．5 B． C． D．5．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是；④四边形ACEB的面积是1．则以上结论正确的是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④7．二次函数的顶点坐标是（）A．（-2,3） B．（-2，-3） C．（2,3） D．（2，-3）8．如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，,则的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.29．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定10．如图，在边长为1的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，则的余弦值是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．12．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为_____．13．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形ABCD的面积为34，小正方形EFGH的面积为4，则tan∠DCG的值为_____．14．如图，在某一时刻，太阳光线与地面成的角，一只皮球在太阳光的照射下的投影长为，则皮球的直径是______.15．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝4，CD＝3，则⊙O的半径的长是______．16．如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行于轴，直线交轴于点，，连接，反比例函数的图象经过点．已知，则的值是________．17．如图所示，已知中，，边上的高，为上一点，，交于点，交于点，设点到边的距离为.则的面积关于的函数图象大致为__________.18．分式方程＝1的解为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B测得仰角为60°，已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度.（结果精确到0.1米）20．（6分）如图，海上有A、B、C三座小岛，小岛B在岛A的正北方向，距离为121海里，小岛C分别位于岛B的南偏东53°方向，位于岛A的北偏东27°方向，求小岛B和小岛C之间的距离.（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）21．（6分）已知:如图，正方形为边上一点，绕点逆时针旋转后得到．如果，求的度数；与的位置关系如何?说明理由．22．（8分）如图，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，为直线下方抛物线上一点，连接，．（1）求抛物线的解析式．（2）的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时点的坐标；如果没有，请说明理由．（3）为轴右侧抛物线上一点，为对称轴上一点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数（x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y2=k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（温馨提示：平面上有任意两点M（x1，y1）、N（x2，y2），它们连线的中点P的坐标为（））（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x-b﹣＞0的解集．24．（8分）春节前，某超市从厂家购进某商品，已知该商品每个的成本价为30元，经市场调查发现，该商品每天的销售量(个)与销售单价(元)之间满足一次函数关系，当该商晶每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个．（1）与之间的函数关系式为__________________(不要求写出的取值范围)；（2）若超市老板想达到每天不低于220个的销售量，则该商品每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?25．（10分）某学校从360名九年级学生中抽取了部分学生进行体育测试，并就他们的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题：分组频数频率C100.10B0.50A40合计1.00（1）补全频数分布表与频数分布直方图；（2）如果成绩为A层次的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？26．（10分）如图，点，在反比例函数的图象上，作轴于点．⑴求反比例函数的表达式；⑵若的面积为，求点的坐标.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.2、C【解析】试题分析：∵∠A=∠A，∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB时，△ABE和△ACD相似．故选C．考点：相似三角形的判定．3、A【解析】先根据反比例函数的解析式判断出k的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y=中，k=2＞0，

∴反比例函数y=的图象分布在一、三象限．

故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．4、D【分析】由表可知，抛物线的对称轴为，顶点为，再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把代入即可求得y的值．【详解】设二次函数的解析式为，当或时，，由抛物线的对称性可知，，，把代入得，，二次函数的解析式为，当时，．故选D．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为，顶点为，是本题的关键．5、D【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：A．∵△=b2-4ac=1-4×1×1=-3＜0，

∴此方程没有实数根，故本选项错误；

B．变形为

∴此方程有没有实数根，故本选项错误；C．∵△=b2-4ac=22-4×1×1=0，

∴此方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

D．∵△=b2-4ac=42-4×1×1=12，

∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项正确．

故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．6、A【分析】①证明AC∥DE，再由条件CE∥AD，可证明四边形ACED是平行四边形；②根据线段的垂直平分线证明AE=EB，可得△BCE是等腰三角形；③首先利用含30°角的直角三角形计算出AD=4，CD=2，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2；④利用△ACB和△CBE的面积之和，可得四边形ACEB的面积．【详解】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴∠ACD=∠CDE=90°，

∴AC∥DE，

∵CE∥AD，

∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；

②∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴EC=EB，

∴△BCE是等腰三角形，故②正确；

③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=∵四边形ACED是平行四边形，

∴CE=AD=4，

∵CE=EB，

∴EB=4，DB=∴CB=∴AB=∴四边形ACEB的周长是10+，故③错误；④四边形ACEB的面积：，故④错误，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．7、B【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【详解】解：∵二次函数的顶点式为y＝-2（x＋2）2−3，

∴其顶点坐标为：（−2，−3）．

故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标特征是解答此题的关键．8、B【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用，得出，从而求出DE的长，最后利用即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵为的直径∵弦平分即解得故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．9、A【解析】计算出方程的判别式为△＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．【详解】方程x2+mx﹣1＝0的判别式为△＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是求出方程根的判别式进行判断.10、D【分析】由题意可知AD=2，BD=3，利用勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义即可求出答案．【详解】解：如下图，根据题意可知，AD=2，BD=3，由勾股定理可得：，∴的余弦值是：．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是利用网格求角的三角函数值，解此题的关键是利用勾股定理求出AB的长．二、填空题(每小题3分,共24分)11、y=x1+x﹣1．【解析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，将抛物线y=x1+x向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x1+x﹣1．12、1【分析】直接利用切线长定理得出AD＝AF＝3，BD＝BE＝5，FC＝EC，再结合勾股定理得出FC的长，进而得出答案．【详解】解：∵Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD＝3，BD＝5，∴AD＝AF＝3，BD＝BE＝5，FC＝EC，设FC＝EC＝x，则（3+x）2+（5+x）2＝82，整理得，x2+8x﹣5＝0，解得：（不合题意舍去），则，故Rt△ABC的面积为故答案为1．【点睛】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系.13、【分析】根据大正方形的面积为，小正方形的面积为即可得到,，再根据勾股定理，即可得到，进而求得的值.【详解】由题意可知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形全等，设，则由勾股定理可得：在中，解之得：在中，故答案为【点睛】本题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用，明确锐角三角函数的边角对应关系，设未知数利用勾股定理是解题关键.14、15【分析】由图可得AC即为投影长，过点A作于点B，由光线平行这一性质可得，且AB即为圆的半径，利用三角函数可得AB长.【详解】解：如图，过点A作于点B，由光线平行这一性质可得，且AB即为圆的半径，AC即为投影长.在中，，所以皮球的直径是15cm.故答案为：15.【点睛】本题考查了三角函数的应用，由图确定圆的投影长及直径是解题的关键.15、2.5【分析】连接AC，根据∠ABC=90°可知AC是⊙O的直径，故可得出∠D=90°，再由AD=4，CD=3可求出AC的长，进而得出结论．【详解】解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∴∠D=90°，

∵AD=4，CD=3，

∴AC=5,∴⊙O的半径=2.5,故答案为：2.5.【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．16、1【分析】设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，由平行四边形的性质可得出∠BAC＝∠CEO，结合∠BCA＝∠COE＝90°，即可证出△ABC∽△ECO，根据相似三角形的性质可得出BC•EC＝AB•CO＝mn，再根据S△BCE＝3，即可求出k＝1，此题得解．【详解】解：设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，∵CD平行于x轴，AB∥CD，∴∠BAC＝∠CEO．∵BC⊥AC，∠COE＝90°，∴∠BCA＝∠COE＝90°，∴△ABC∽△ECO，∴AB:CE＝BC:CO，∴∴BC•EC＝AB•CO＝mn．∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点D，∴k＝mn＝BC•EC＝2S△BCE＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，由△ABC∽△ECO得出k＝mn＝BC•EC是解题的关键．17、抛物线y=-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，∵∴△AEF∽△ABC∴即，∴y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）∴该函数图象是抛物线y=-x2+6x．（0＜x＜6）的部分．故答案为：抛物线y=-x2+6x．（0＜x＜6）的部分.【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，根据几何图形的性质确定函数的图象能力．要能根据函数解析式及其自变量的取值范围分析得出所对应的函数图像的类型和所需要的条件，结合实际意义分析得解．18、x＝2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：2+x﹣1＝x2﹣1，即x2﹣x﹣2＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x＝2或x＝﹣1，经检验x＝﹣1是增根，分式方程的解为x＝2，故答案为：x＝2【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．三、解答题(共66分)19、47.3米【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设AD=x．本题涉及到两个直角三角形△ADC、△BDC，应利用其公共边CD构造等量关系，解三角形可得AD、BD与x的关系；借助AB=AD-BD构造方程关系式，进而可求出答案．试题解析：过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设CD=x，在Rt△ADC中，有AD==CD=x，在Rt△BDC中，有BD=x，又有AB=AD-BD=20；即x-x=20，解得：x=10（3+）≈47.3（米）.答：气球离地面的高度CD为47.3米．20、小岛B和小岛C之间的距离55海里.【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（121-x）海里，在Rt△BCD中，根据，求出CD，再根据，求出BD，在Rt△BCD中，根据，求出BC，从而得出答案．【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，AB=121海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，

过点C作CD⊥AB，垂足为点D．

设BD=x海里，则AD=（121-x）海里，

在Rt△BCD中，则CD=x•tan53°≈在Rt△ACD中，则CD=AD•tan27°≈则解得，x=1，

即BD=1．在Rt△BCD中，则答：小岛B和小岛C之间的距离约为55海里.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．21、（1）20°，（2），详见解析【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFD≌△AEB，则有AE＝AF，∠DAF＝90°，∠AEB＝∠DFA＝65°，然后利用∠DFE＝∠DFA－∠EFA即可求出答案．（2）由旋转的性质得∠EBA＝∠FDA，通过等量代换即可得出∠DFA＋∠EBA＝90°，即BG⊥DF．【详解】解：（1）根据旋转的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE＝AF，∠DAF＝90°，∠AEB＝∠DFA＝65°，∴∠AFE＝45°，∴∠DFE＝∠DFA－∠EFA＝20°（2）延长BE与DF相交于点G．∵∠DAF＝90°，∴∠DFA＋∠ADF＝90°，∵∠EBA＝∠FDA，∴∠DFA＋∠EBA＝90°，∴BG⊥DF，即BE与DF互相垂直．【点睛】本题主要考查旋转的性质和全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．22、（1）；（2）最大值为，点的坐标为；（3）点的坐标为，．【分析】（1）先设顶点式，再代入顶点坐标得出，最后代入计算出二次项系数即得；（2）点的坐标为，先求出B、C两点，再用含m的式子表示出的面积，进而得出面积与m的二次函数关系，最后根据二次函数性质即得最值；（3）分成Q点在对称轴的左侧和右侧两种情况，再分别根据和列出方程求解即得．【详解】（1）设抛物线的解析式为．∵顶点坐标为∴．∵将点代入，解得∴抛物线的解析式为．（2）如图1，过点作轴，垂足为，交于点．∵将代入，解得，∴点的坐标为．∵将代入，解得∴点C的坐标为设直线的解析式为∵点的坐标为，点的坐标为∴，解得∴直线的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为∴过点作于点∵∴故当时，的面积有最大值，最大值为此时点的坐标为（3）点的坐标为，．分两种情况进行分析：①如图2，过点作轴的平行线，分别交轴、对称轴于点，设点的坐标为∵∴∴在和中∴∴∵，∴解得（舍去），∴点的坐标为．②如图3，过点，作轴的平行线，过点作轴的平行线，分别交，于点，．设点的坐标∵由①知∴∵，∴解得，（舍去)∴点的坐标为综上所述：点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数最值的应用、解一元二次方程、全等三角形的判定及性质，解题关键是熟知二次函数在实数范围的最值在顶点取到，一线三垂直的全等模型，二次函数顶点式：．23、（1）（2）（3）x＜-6或-1.5＜x＜1【分析】（1）根据点A是OC的中点，可得A（3，2），可得反比例函数解析式为y1=，根据E（，4），F（6，1），运用待定系数法即可得到直线EF的解析式为y=-x+5；（2）过点E作EG⊥OB于G，根据点E，F都在反比例函数y1=的图象上，可得S△EOG=S△OBF，再根据S△EOF=S梯形EFBG进行计算即可；（3）根据点E，F关于原点对称的点的坐标分别为（-1.5，-4），（-6，-1），可得不等式k2x-b-＞1的解集为：x＜-6或-1.5＜x＜1．【详解】（1）∵D（1，4），B（6，1），∴C（6，4），∵点A是OC的中点，∴A（3，2），把A（3，2）代入反比例函数y1=，可得k1=6，∴反比例函数解析式为y1=，把x=6代入y1=，可得y=1，则F（6，1），把y=4代入y1=，可得x=，则E（，4），把E（，4），F（6，1）代入y2=k2x+b，可得，解得，∴直线EF的解析式为y=-x+5；（2）如图，过点E作EG⊥OB于G，∵点E，F都在反比例函数y1=的图象上，∴S△EOG=S△OBF，∴S△EOF=S梯形EFBG=（1+4）×=；（3）由图象可得，点E，F关于原点对称的点的坐标分别为（-1.5，-4），（-6，-1），∴由图象可得，不等式k2x-b-＞1的解集为：x＜-6或-1.5＜x＜1．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及矩形性质的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把