湖南长沙麓山国际实验学校2025届九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

湖南长沙麓山国际实验学校2025届九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（）A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥62．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣13．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是()A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形5．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134…y…242﹣2…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（）A．30° B．40° C．45° D．50°7．如图，在中，，，于点．则与的周长之比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:58．（11·大连）某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则()A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定C．甲、乙的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定9．反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）A． B．C． D．10．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（）A． B． C． D．11．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（）A．130° B．135° C．140° D．145°12．对于二次函数，下列说法不正确的是（）A．其图象的对称轴为过且平行于轴的直线.B．其最小值为1.C．其图象与轴没有交点.D．当时，随的增大而增大.二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____．14．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于_____cm．15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC的长为_____．16．如图，BA是⊙C的切线，A为切点，AC=1，AB=2，点D是⊙C上的一个动点，连结BD并延长，交AC的延长线于E，则EC的最大值为_______．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线EF是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠ADB＝54°，则∠CBF＝____°．18．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为，直线与抛物线相交于、两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）为抛物线上一动点，且位于的下方，求出面积的最大值及此时点的坐标；（3）设点在轴上，且满足，求的长.20．（8分）如图，在中，，的中点．（1）求证：三点在以为圆心的圆上；（2）若，求证：四点在以为圆心的圆上．21．（8分）游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）.滑道可以看作反比例函数图象的一部分，滑道可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y轴的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道上（包括B、D两点），直接写出p的取值范围.22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（10分）某学校举行冬季“趣味体育运动会”，在一个箱内装入只有标号不同的三颗实心球，标号分别为1，2，3.每次随机取出一颗实心球，记下标号作为得分，再将实心球放回箱内。小明从箱内取球两次，若两次得分的总分不小于5分，请用画树状图或列表的方法，求发生“两次取球得分的总分不小于5分”情况的概率.24．（10分）已知二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，求出△ABC的面积．25．（12分）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为．（1）求的取值范围；（2）若，求方程的两个根．26．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】利用函数图象，当m≥﹣1时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，从而可判断方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件．【详解】∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣1），即x＝6时，二次函数有最小值为﹣1，∴当m≥﹣1时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣1．故选：A．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；2、D【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，△，解得a=﹣1．故选D．3、B【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.4、C【解析】A选项，∵在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形；即A正确；B选项，∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形；即B正确；C选项，因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明四边形AEDF是矩形；所以C错误；D选项，因为由添加的条件“AB=AC，AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC，从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA证得AE=DE，结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.故选C.5、D【分析】根据表中的对应值，求出二次函数的表达式即可求解．【详解】解：选取，，三点分别代入得解得：∴二次函数表达式为∵，抛物线开口向下；∴选项A错误；∵函数图象与的正半轴相交；∴选项B错误；当x=－1时，；∴选项C错误；令，得，解得：，∵，方程的负根在0与－1之间；故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．6、A【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB＝120°，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7、A【详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，∴△BCD∽△BAC；①∴∠BCD=∠A=30°；Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故选A8、A【解析】方差是刻画波动大小的一个重要的数字.与平均数一样，仍采用样本的波动大小去估计总体的波动大小的方法，方差越小则波动越小，稳定性也越好.【详解】因为s＝0.002<s＝0.03，所以，甲比乙的产量稳定.故选A【点睛】本题考核知识点：方差.解题关键点：理解方差意义.9、A【分析】分a>0和a<0两种情况，根据反比例函数与正比例函数的图象的性质判断即可．【详解】解：当a>0时，反比例函数图象在一、三象限，正比例函数图象经过一、二、三象限；当a<0，反比例函数图象在二、四象限，正比例函数图象经过二、三、四象限．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数与正比例函数图象的性质，熟记性质内容是解此题的关键．10、C【分析】过点作于点，于，连接，由垂径定理得出，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．【详解】解：过点作于点，于，连接，如图所示：则，∴，在中，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴；故选C．【点睛】考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.11、C【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，由∠D可以求得∠B，再由圆周角定理可以求得∠AOC的度数．【详解】解：∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，故选C．【点睛】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握有关定理和性质的应用是解题关键．12、D【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A、B、D三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C项，进而可得答案.【详解】解：，所以抛物线的对称轴是直线：x=3，顶点坐标是（3，1）；A、其图象的对称轴为过且平行于轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；B、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；C、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；D、当时，随的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、或【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得到答案.【详解】解：∵，∴对称轴为，且开口向下，∵当时，函数有最大值，①当时，抛物线在处取到最大值，∴，解得：或（舍去）；②当时，函数有最大值为1；不符合题意；③当时，抛物线在处取到最大值，∴，解得：或（舍去）；∴m的值为：或；故答案为：或.【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论.14、2.【解析】能组合成圆锥体,那么扇形的弧长等于圆形纸片的周长.应先利用扇形的面积=圆锥的弧长母线长,得到圆锥的弧长=2扇形的面积母线长,进而根据圆锥的底面半径=圆锥的弧长求解.【详解】圆锥的弧长,

圆锥的底面半径,

故答案为2.【点睛】解决本题的难点是得到圆锥的弧长与扇形面积之间的关系,注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点.15、【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴＝，即＝，解得，AD＝，∴矩形ABCD的面积＝AB•AD＝，故答案为：．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16、【分析】连接BC，过C作于点F，由图易知，当，即BD与圆相切时，CE最大，设EC最大值为x，根据相似三角形的性质得到，代入求值即可；【详解】连接BC，过C作于点F，由图易知，当，即BD与圆相切时，CE最大，设EC最大值为x，∵，∴，∴，∴，即，解得；故答案是．【点睛】本题主要考查了相似三角形对应线段成比例和圆的切线性质，准确计算是解题的关键．17、46°【分析】连接OB，OC，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，从而使问题得解.【详解】解：连接OB，OC，∵直线EF是⊙O的切线，B是切点∴∠OBF=90°∵AD∥BC∴∠DBC=∠ADB＝54°又∵∠DCB＝80°∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=46°∴∠BOC=2∠BDC=92°又∵OB=OC∴∠OBC=∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°故答案为：46°【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.18、（﹣2，3）．【解析】根据坐标轴的对称性即可写出.【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点睛】此题主要考查直角坐标系内的坐标变换，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）当时，取最大值，此时点坐标为.（3）或17.【分析】（1）根据对称轴与点A代入即可求解；（2）先求出，过点作轴的平行线，交直线于点，设，得到，，表示出，根据二次函数的性质即可求解；（3）根据题意分①当在轴正半轴上时，②当在轴负半轴上时利用相似三角形的性质即可求解.【详解】（1）∵对称轴为x＝−1，∴−＝−1，∴b＝2a，∴y＝ax2＋2ax−5，∵y＝−x＋3与x轴交于点A（3，0），将点A代入y＝ax2＋2ax−5可得a＝∴.（2）令，解得：，，∴，过点作轴的平行线，交直线于点，设，则，∴，，则，∵，∴当时，取最大值，此时点坐标为.（3）存在，理由：①当在轴正半轴上时，如图，过点作于，根据三角形的外角的性质得，，又∵，∴，∴，∵，，∴，设，则，又∵，，∴，∴，∴，∴，②当在轴负半轴上时，记作，由①知，，取，如图，则由对称知：，∴，因此点也满足题目条件，∴，综合以上得：或17.【点睛】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次与一次函数的图象及性质，掌握三角形相似、直角三角形的性质是解题的关键．20、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连结OC，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA=OB=OC，所以A，B，C三点在以O为圆心，OA长为半径的圆上；（2）连结OD，可得OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上.【详解】（1）连结OC，在中，，的中点，∴OC=OA=OB，∴三点在以为圆心的圆上；（2）连结OD，∵，∴OA=OB=OC=OD，∴四点在以为圆心的圆上.【点睛】此题考查了圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，所以证明几个点共圆，只需要证明这几个点到某个定点的距离相等即可.21、（1），；（2）7m；（3）.【分析】（1）在题中，BE=2，B到y轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k；（2）根据B，C的坐标求出二次函数解析式，得到点D坐标，即OD长度再减去AP长度，可得滑道ABCD的水平距离；（3）由题意可知点N为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为，通过计算水流分别落到点B和点D可以得出p的取值范围.【详解】解：（1）∵，点B到y轴的距离是5，∴点B的坐标为.设反比例函数的关系式为，则，解得.∴反比例函数的关系式为.∵当时，，即点A的坐标为，∴自变量x的取值范围为；（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为，点C坐标为.设二次函数的关系式为，则，解得.∴二次函数的关系式为.当时，解得（舍去），∴点D的坐标为，则.∴整条滑道的水平距离为：；（3）p的取值范围为.由题意可知，点N坐标为（，即，为抛物线的顶点.设水流所成抛物线的表达式为.当水流落在点时，由，解得；当水流落在点时，由，解得.∴p的取值范围为.【点睛】此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．错因分析较难题.失分原因是（1）没有掌握利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）没有掌握二次函数的基本性质，利用二次函数的性质求得点D的坐标；（3）没有掌握利用顶点式求二次函数的解析式，根据B，D两点的坐标进而求得p的取值范围.22、（1）点，的最小值；（2）存在，点的坐标可以为，，或【分析】（1）设，根据正切函数的定义求出点C，将其代入二次函数的表达式中，求出a，过点E作EH⊥OB，垂足为H，根据四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出取最大值时点E的坐标，过点M作MF⊥OB，垂足为F，要使最小，则使最小，进而求解；（2）分两种情况考虑，①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，分别利用中点坐标公式进行求解．【详解】解：（1）设，∵，，∴，即点，将点C代入中，解得，，∴，设点，过点E作EH⊥OB，垂足为H，∴四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积，∴当时，四边形面积最大，∴点，过点M作MF⊥OB，垂足为F，∵，∴要使最小，即使最小，∴过点E作EH⊥OB交BC于点M，垂足为H，此时取得最小值，∴的最小值；（2）存在；由题意知，，线段所在的直线方程为，分两种情况讨论：①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，∵，解得，点K，H的横坐标分别为，，∵四边形BCPN为平行四边形，设点，当N取点K时，由中点坐标公式知，，解得，，∴，即点，同理可知，当点N取点K时，点；②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，∴点，∴由中点坐标公式得，，∵，∴解得，或，∴点或，综上所述，点的坐标可以为，，或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大．23、【分析】根据题意先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次得分的总分不小于5分的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：树状图如下：共有9种等可能的结果数，两次得分的总分不小于5分的结果数为3种，所以P=．【点睛】本题考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．24、1．【分析】如图，把（0，6）代入y＝2x2+bx﹣6可得b值，根据二次函数解析式可得点C坐标，令y=0，解方程可求出x的值，即可得点A、B的坐标，利用△ABC的面积＝×AB×OC，即可得答案．【详解】如图，∵二次函数y＝2x2+b