集合的概念及表示方法

关于集合的概念及表示方法集合的含义与表示了解康托尔德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。第2页,共32页，星期六，2024年，5月学习目标1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性.2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示.3.掌握常用数集及其专用符号，学会使用集合语言叙述数学问题.第3页,共32页，星期六，2024年，5月数集自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3的解的集合…初中学习了哪些集合的实例点集圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合)线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.第4页,共32页，星期六，2024年，5月“请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的女生是不是确定的对象？“请我们班身高在1.70米的男生起立！”，他们是不是确定的？其实，生活中有很多东西都是确定的都能构成集合。比如：中国的直辖市（北京，上海，天津，重庆）中国古代的四大发明（火药，印刷术，指南针，造纸术）新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等大家能不能再举一些生活中的实际例子呢？第5页,共32页，星期六，2024年，5月

由某些确定的对象组成的整体叫集合，简称集。其中，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。并规定：用花括号“{

}”表示集合且常用大写拉丁字母A,B,C….表示。集合的元素常用小写拉丁字母a，b，c….表示。集合的概念（1）世界上最高的山能不能构成集合？（2）世界上的高山能不能构成集合？思考：（3）由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？（4）由实数1、2、3、1组成的集合记为A,

由实数3、1、2、组成的集合记为B,

这两个集合相等吗？第6页,共32页，星期六，2024年，5月集合元素具有以下三个特征

确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了

互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。

无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.第7页,共32页，星期六，2024年，5月判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:大于3小于11的偶数我国的小河流(3)我们班上的高个子男生(4)我们班上的最高三位同学(5)1,2,2,3这四个数字与1,2,3这三个数字(6)著名的科学家(7)全体英文字母(8)直角坐标平面内的一些点第8页,共32页，星期六，2024年，5月数的扩充整数分数有理数无理数实数自然数分数第9页,共32页，星期六，2024年，5月常用的数集判断0与N,N*,Z的关系?解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于弄清这个集合由哪些元素组成的.数集符号自然数集(非负整数集)N正整数集

N*

或N+整数集Z有理数集Q实数集R空集：不含任何元素的集合第10页,共32页，星期六，2024年，5月问题

如果用A表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学,那么A里面有没有a,有没有b？a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？第11页,共32页，星期六，2024年，5月由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用小写字母a,b,c等表示集合中的元素.

元素与集合的关系有两种:如果一个元素a在集合A中，记作:如果a不是集合A的元素，记作：元素与集合的关系属于或不属于读作“元素m属于集合A”第12页,共32页，星期六，2024年，5月例如：用A表示“1~20以内所有的”质数组成的集合，则有3∊A，4∉A。2、集合与元素的关系（属于∈或不属于∈）例如：1N，-5Z,1.5N,1.5Q,1.5R,1.5Z

Q∈∈∈∈

质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，不能被其他正整数整除，那么这样的正整数叫做质数第13页,共32页，星期六，2024年，5月问题(1)如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?(2)如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?

｛1,-2｝把集合中的元素一一列举出来,并用花括号｛｝括起来表示集合的方法叫做列举法.集合的表示方法｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝注意：1、元素间要用逗号隔开；

2、不管次序放在大括号内。例如：book中的字母的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝(×)1.确定性2.互异性3.无序性第14页,共32页，星期六，2024年，5月集合的表示方法例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.(2)B={0，1}.(3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序(集合中元素的无序性).1.确定性2.互异性3.无序性第15页,共32页，星期六，2024年，5月(1)您能用自然语言描述集合｛2,4,6,8｝吗?(2)您能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?小于10的正偶数的集合不能一一列举(请阅读课本的内容)集合的表示方法即：{x|p(x)}p(x)表示该集合中的元素x所具有的性质X为该集合的代表元素例如：book中的字母的集合表示为：｛x|x是book中的字母｝第16页,共32页，星期六，2024年，5月﹨集合的表示方法第17页,共32页，星期六，2024年，5月(2)用描述法表示下列集合①{1,-1}②大于3的全体偶数构成的集合.练习

(1)用列举法表示下列集合①②自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述.列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况.集合的表示方法练习P5

练习第2题第18页,共32页，星期六，2024年，5月根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：1.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为

2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集

六、数集的分类注意：不能表示为{}。第19页,共32页，星期六，2024年，5月例3、求方程x2+1=0的所有实数解的集合。解：方程x2+1=0没有实数解，所以

{x|x2+1=0，x∈R}=

。思考：直线y=x上的点集如何表示？解：A={(x,y)|y=x}练习：P.7.第3题。第20页,共32页，星期六，2024年，5月基础练习1.填空题⑵设集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}，Ｂ＝{时代数式的值}．则Ｂ中的元素是＿＿＿＿＿⑴现有:①不大于的正有理数.②我校高一年级所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组成集合的＿＿＿．②{3,0,-1}第21页,共32页，星期六，2024年，5月2．选择题⑴以下说法正确的()(A)“实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定⑵已知2是集合M={}中的元素，则实数为()(A)2(B)0或3(C)3(D)0,2,3均可Cc第22页,共32页，星期六，2024年，5月（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：﹛y︱y=2﹜B.﹛x︱x=2﹜C.﹛2﹜D.﹛x︱x2-4x+4=0﹜(4)由实数x,-x,,｜x｜,所组成的集合中，最多含有的元素的个数为:A.2B.3C.4D.5（C）（A）第23页,共32页，星期六，2024年，5月（1）方程组的解集用列举法表示为_______；用描述法表示为

.（2）集合

用列举法表示为

.3.填空第24页,共32页，星期六，2024年，5月1.用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13}②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.①{x|x=3n-2,n∈N*且n≤5}解：②

{x|x=,n∈N*且n≤5}能力提高题2.用列举法表示下列集合：（1）A=﹛x∈N︱∈Z﹜(2)B=﹛∈N︱x∈Z﹜第25页,共32页，星期六，2024年，5月4.

若-3∈{a-3,2a+1,a2+1},求实数a的值.3.求集合{3，x,x2-2x}中，元素x应满足的条件。第26页,共32页，星期六，2024年，5月回顾交流今天我们学习了哪些内容？集合元素的性质：确定性，互异性，无序性2集合的含义14常用数集及其表示5集合的表示法：列举法、描述法元素与集合的关系：

∊，∉3第27页,共32页，星期六，2024年，5月

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习题1.1A组第1、2、3、4题课堂作业第28页,共32页，星期六，2024年，5月

大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。

1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。

格奥尔格·康托尔康托尔（GeorgCantor，1845-1918，德）

德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。

第29页,共32页，星期六，2024年，5月康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。

康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。

在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。

在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877

说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应