2024版高考数学微专题小练习专练39空间几何体的结构及其三视图和直观图理含解析

Page8专练39空间几何体的结构及其三视图和直观图命题范围：柱体、锥体、台体、球体的结构及其简洁几何体的三视图和直观图．[基础强化]一、选择题1．以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．32．用随意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体确定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体3．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),4)a2B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2D．eq\f(\r(6),16)a24．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A－BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()A.eq\f(\r(2),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),4)D．eq\f(1,4)5．[2024·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()6．[2024·全国卷Ⅲ]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A．6＋4eq\r(2)B．4＋4eq\r(2)C．6＋2eq\r(3)D．4＋2eq\r(3)7．[2024·全国卷Ⅱ]如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．EB．FC．GD．H8．如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为()A.6B．4eq\r(2)C．2eq\r(5)＋2D．2eq\r(6)＋29.[2024·江西省南昌市高三模拟]如图1，正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在矩形A1B1C1D1内(包含边界)，若三棱锥P­ABC的左视图如图2所示，则此三棱锥的俯视图不行能是()二、填空题10．一个圆台上、下底面的半径分别为3和8，若两底面圆心的连线长为12，则这个圆台的母线长为________．11．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为________.12．[2024·上海二模]如图1，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q­BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为________．[实力提升]13．[2024·陕西宝鸡二模]如图，在正三棱锥P­ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，PA＝PB＝PC＝4，一只虫子从A点动身，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是________．14．[2024·江西省临川中学模拟]如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的全部侧棱中，最长的侧棱长为()A．2B．eq\r(5)C．2eq\r(2)D．315．[2024·江西省景德镇高三质检]如图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的全部侧面中，面积的最大值为________．16．[2024·重庆一中高三月考]传闻古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发觉．如图，在底面半径为2的圆柱O1O2内有球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，设A，B分别为圆柱O1O2的上、下底面圆周上一点，且O1A与O2B所成的角为90°，直线AB与球O的球面交于两点M，N，则线段MN的长度为________．专练39空间几何体的结构及其三视图和直观图1．B由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．2．C截面是随意的且都是圆面，则该几何体为球体．3．D如图所示的①②分别为△ABC的实际图与直观图由斜二测画法可知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)a，∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′×O′C′×sin45°＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(3),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),16)a2.4．D由正视图与俯视图可得三棱锥A－BCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为eq\f(\r(2),2)，故其侧视图的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).5．D依据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.6．C在正方体中还原几何体如图．几何体为正方体的一部分：三棱锥P－ABC，S表面积＝S△PAC＋S△PAB＋S△PBC＋S△BAC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＝2eq\r(3)＋6.故选C.7．A依据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以该端点在侧视图中对应的点为E.故选A.8．D由三视图知，该几何体是底面为腰长为2的等腰直角三角形、长为4的侧棱垂直于底面(垂足为腰与底边交点)的三棱锥，所以该三棱锥的最长棱的棱长为eq\r(42＋（2\r(2)）2)＝2eq\r(6)，最短棱的棱长为2，所以该几何体中最长的棱与最短的棱的长度之和为2eq\r(6)＋2，故选D.9．D如图(1)所示，若点P为A1D1的中点时，此时三棱锥P­ABC的俯视图为选项C；如图(2)所示，若点P为B1C1的中点时，此时三棱锥P­ABC的俯视图为选项B；如图(3)所示，取A1D1和B1C1的中点E和F，连接EF，若点P为EF的中点时，此时三棱锥P­ABC的俯视图为选项A；所以此三棱锥P­ABC的俯视图不行能是选项D.10．13解析：如图，过A作AC⊥BO，交BO于点C，则BC＝OB－O′A＝8－3＝5，又AC＝12，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(52＋122)＝13.11．2eq\r(2)解析：∵该四棱锥底面的直观图是一个边长为1的正方形，故其直观图的面积为1，故原四棱锥的底面面积为2eq\r(2)，故其体积为V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×3＝2eq\r(2).12.eq\f(3,2)解析：由题意得，点M为AD1的中点，点Q为C1D1中点，点N与B1重合，∴其俯视图为三角形BM′N′，如图所示，∴S＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3,2).13．4eq\r(2)解析：如图所示，将三棱锥的侧面绽开，因为∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝30°，所以∠APA1＝90°，当虫子沿AA1爬行时，距离最短，又AA1＝eq\r(16＋16)＝4eq\r(2)，所以虫子爬行的最短距离是4eq\r(2).14．C依据三视图还原原几何体的直观图如图所示：由三视图可知△PAD为等腰三角形，AD＝2，PA＝PD＝eq\r(3＋（\f(AD,2)）2)＝2，AB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，则AB⊥PA，AB＝1，CD＝2，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5)，同理可得PC＝eq\r(CD2＋PD2)＝2eq\r(2)，由正视图可知，四边形ABCD为直角梯形，且AB、CD为腰，BC＝eq\r(AD2＋（CD－AB）2)＝eq\r(5)，因此，该四棱锥的全部侧棱中，最长的侧棱长为2eq\r(2).15.eq\r(6)解析：由三视图可知，该几何体是如图所示四棱锥P­ABCD，S△PCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△PAB＝eq\f(1,2)×2×1＝1，S△PAD＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，PB＝BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，PC＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(（\r(5)）2－（\r(2)）2)＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，所以侧面积的最大值为eq\r(6).16．2eq\r(2)解析：∵△OAO1≌△OBO2，∴OA＝OB，取AB中点G，连接OG，OA，OM，ON，OB，O2A，∵OA＝OB，G为AB中点，∴OG⊥AB；∵O2B⊥O1A，O2B⊥O1O2，O1A∩O1O2＝O1，O1A，O1O2⊂平面AO1O2，∴O2B⊥平面AO1O2，又O2A