新教材2024版高中数学第七章统计案例3独立性检验问题学生用书北师大版选择性必修第一册

§3独立性检验问题3.1独立性检验3.2独立性检验的基本思想3.3独立性检验的应用最新课标(1)通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(2)通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．[教材要点]要点一2×2列联表设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A1变量B：B1，B2＝B1则下表称为列联表：ABB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d状元随笔(1)列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表，现阶段我们仅探讨两个分类变量的列联表，并且每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2×2列联表．(2)列联表有助于直观地观测数据之间的关系，如a表示既满意x1，又满意y1的样本量，aa+b表示在x1状况下，又满意y1要点二独立性检验的基本思想1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立性的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．2．公式：χ2＝(n3．推断方法(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据推断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握推断变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握推断变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握推断变量A，B有关联．状元随笔列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，须要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体，即独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全确定一个结论，在分析问题时确定要留意这点，不行对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的说明，比如：χ2≥6.635，就认为有99%的把握认为“两个分类变量有关系”．通常认为χ2≤2.706时，样本数据中没有充分的证据支持结论“两个分类变量有关系”．[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)列联表中的数据是两个变量的频数．()(2)2×2列联表只有4个格子．()(3)χ2的大小是推断变量A与B是否相关的统计量．()2．对两个变量A与B的χ2的值说法正确的是()A.χ2越大，“A与B有关”的把握性越小B.χ2越小，“A与B有关”的把握性越小C.χ2越接近于0，“A与B无关”的把握性越小D.χ2越大，“A与B无关”的把握性越大3．如表是一个2×2列联表：则表中a，b的值分别为()y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120A．94，72B．52，50C．52，74D．74，524．在对人们休闲方式的一次调查中，依据数据建立如下的2×2列联表：看书运动合计男82028女161228合计243256依据表中数据，得到χ2＝56×题型一对独立性检验思想的理解例1在探讨吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得：有99%的把握推断“吸烟与患肺癌有关”的结论，下列说法中正确的是()A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中确定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有方法归纳独立性检验的留意事项(1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，求出“合计”栏，然后正确求出χ2值．(2)独立性检验中，假如两个分类变量之间有关系，则独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的推断．跟踪训练1为考察某动物疫苗预防某种疾病的效果，现对200只动物进行调研，并得到如下数据：未发病发病合计未接种疫苗206080接种疫苗8040120合计100100200则下列说法正确的是()A.至少有99%的把握认为“发病与未接种疫苗有关”B.至多有99%的把握认为“发病与未接种疫苗有关”C.至多有99%的把握认为“发病与未接种疫苗无关”D.“发病与未接种疫苗有关”的错误率至少有0.01%题型二独立性检验的应用例2我校随机抽取100名学生，对其学习主动性和对待班级工作的看法进行了调查，统计数据如下表所示：主动参与班级工作不太主动参加班级工作合计学习主动性高40学习主动性一般30合计100已知随机抽查这100名学生中的一名学生，抽到主动参与班级工作的学生的概率是0.6.(1)请将上表补充完整(不用写计算过程)．(2)试问：学生的学习主动性是否与对待班级工作的看法有关？方法归纳用独立性检验求解实际问题的基本步骤(1)细致读题，依据相关数据列出2×2列联表；(2)计算：将2×2列联表中的数据代入公式求出χ2的值．(3)推断：依据统计中的数据推断，得出结论．跟踪训练2某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．是否有99%的把握认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？题型三独立性检验的综合应用例3某校激励即将毕业的高校生到西部偏远地区去支教，校学生就业部针对即将毕业的男、女生是否情愿到西部支教进行问卷调查，得到的状况如下表所示：性别支教合计情愿去支教不情愿去支教女生20男生40合计70100(1)完成上述2×2列联表．(2)依据表中的数据，试问情愿去西部支教是否与性别有关？(3)若在接受调查的全部男生中依据“是否情愿去支教”进行分层抽样，随机抽取10人，再在10人中抽取3人进行面谈，记面谈的男生中，不情愿去支教的人数为ξ，求ξ的分布列以及数学期望．方法归纳独立性检验常常与其他学问综合考查，如分布列、分层抽样、频率分布直方图、计数原理、线性回来方程、正态分布等．解决此类问题的关键是正确应用各个学问点，留意参考公式和数据．另外，此类题目一般为实际应用问题，要细细阅读理解，明确题目信息．跟踪训练3某学校探讨性学习小组对该校高三学生视力状况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图所示的频率分布直方图．(1)若频率分布直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数．(2)学习小组成员发觉，学习成果突出的学生，近视的比较多，为了探讨学生的视力与学习成果是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到下列2×2列联表，试问能否认为视力与学习成果有关？视力学习成果合计名次在1～50名名次在951～1000名近视413273不近视91827合计5050100(3)在(2)中调查的100名学生中，依据分层抽样在不近视的学生中抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人年级名次在1～50名的概率．易错辨析因不理解独立性检验的含义致误例4调查者通过询问男、女高校生在购买食品时是否看生产日期和保质期得到的数据如下表所示，试分析看生产日期和保质期是否与性别有关．看生产日期和保质期不看生产日期和保质期合计男高校生233255女高校生92534合计325789解析：由题意，χ2＝89×所以没有发觉足够的证据说明看生产日期和保质期与性别有关．【易错警示】易错缘由纠错心得有些学生会通过列联表计算出2355比9事实上这只能说明二者有关成立的可能性比较大，即并不能确定地说二者有关，若要判定看生产日期和保质期与性别有关，则需进行独立性检验．列联表只能粗略地推断两个变量是否有关，独立性检验才能更精准地分析．但由独立性检验得出的结论也不是“确定”有关或无关．[课堂特殊钟]1．在一项中学生近视状况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有劝服力()A．平均数与方差B．回来分析C．独立性检验D．概率2．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法推断正确的是()y1y2合计x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，说明X和Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X和Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么有________把握认为两个变量有关．()A．95%B．97.5%C．99%D．99.9%4．下面2×2列联表的χ2的值为________．BB合计A8412A21618合计1020305.在探讨某种药物对“H7N9”病毒的治疗效果时，进行动物试验，得到以下数据，对150只动物服用药物，其中132只动物存活，18只动物死亡，比照组150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡．(1)依据以上数据建立一个2×2列联表．(2)试问该种药物对治疗“H7N9”病毒是否有效？§3独立性检验问题3.1独立性检验3．2独立性检验的基本思想3．3独立性检验的应用新知初探·课前预习[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：χ2越大，A与B越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小．故选B.答案：B3．解析：a＝73－21＝52，b＝a＋22＝52＋22＝74.故选C.答案：C4．解析：依据表中数据得到χ2≈4.667>3.841，所以至少有95%的把握判定休闲方式与性别有关系．答案：95%题型探究·课堂解透例1解析：A.独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，A错；B.χ2与概率的含义不同，有99%的把握认为结论正确不能说明有99%的可能患有肺癌，B错；C.独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，C错；D.独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，D正确．答案：D跟踪训练1解析：χ2＝200×20×所以至少有99%的把握认为“发病与未接种疫苗有关”，故选A.答案：A例2解析：(1)由题意，主动参与班级工作人数为100×0.6＝60，列联表如下：主动参与班级工作不太主动参与班级工作合计学习主动性高401050学习主动性一般203050合计6040100(2)由公式计算得χ2＝100×所以有99%的把握认为学习主动性与对待班级工作看法有关．跟踪训练2解析：依据题目所给数据得如下2×2列联表：合格品次品合计甲在生产现场9828990甲不在生产现场49317510合计1475251500依据列联表中的数据，经计算得到χ2＝1500×所以有99%的把握认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关．例3解析：(1)2×2列联表如下：性别支教合计情愿去支教不情愿去支教女生302050男生401050合计7030100(2)依据公式计算得χ2＝100×所以有95%的把握认为是否情愿去西部支教与性别有关．(3)由题意，抽取的10人中有8人情愿去西部支教，2人不情愿去西部支教，于是ξ＝0，1，2，∴P(ξ＝0)＝C83C103＝715，P(P(ξ＝2)＝C22C81ξ012P771∴E(ξ)＝0×715＋1×715＋2×115跟踪训练3解析：(1)由图可知第一组有3人，其次组有7人，第三组有27人．因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为90，公差小于0，所以后四组的频数依次为27，24，21，18.所以视力在5.0以下的人数为3＋7＋27＋24＋21＝82(或者100－18＝82)，故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×82100(2)由公式计算得χ2＝100×所以有95%的把握认为视力与学习成果有关．(3)依题意得，6人中年级名次在1～50名的有2人，年级名次在951～1000名的有4人，则从6人中任取2人的状况有C恰有1人年级名次在1[课堂特殊钟]1．解析：推断两个变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．答案：C2．解析：列联表可以较