2024年高考理科数学新课标全国2卷-逐题解析

第6页共6页2024年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学本卷须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．eq\f(1+2i,1-2i)=()A．-eq\f(4,5)-eq\f(3,5)i B．-eq\f(4,5)+eq\f(3,5)i C．-eq\f(3,5)-eq\f(4,5)i D．-eq\f(3,5)+eq\f(4,5)i解析：选D2．集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，那么A中元素的个数为()A．9 B．8 C．5 D．4解析：选A问题为确定圆面内整点个数3．函数f(x)=eq\f(ex-e-x,x2)的图像大致为()解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)=eq\f(e2-e-2,4)>1,应选B4．向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，那么a·(2a-b)=()A．4 B．3 C．2 D．0解析：选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(3)，那么其渐近线方程为()A．y=±eq\r(2)x B．y=±eq\r(3)x C．y=±eq\f(\r(2),2)x D．y=±eq\f(\r(3),2)x解析：选Ae=eq\r(3)c2=3a2b=eq\r(2)a6．在ΔABC中，coseq\f(C,2)=eq\f(\r(5),5)，BC=1，AC=5，那么AB=()A．4eq\r(2) B．eq\r(30) C．eq\r(29) D．2eq\r(5)解析：选AcosC=2cos2eq\f(C,2)-1=-eq\f(3,5)AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4eq\r(2)7．为计算S=1-eq\f(1,2)+eq\f(1,3)-eq\f(1,4)+……+eq\f(1,99)-eq\f(1,100)，设计了右侧的程序框图，那么在空白框中应填入()A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：选B8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,14) C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)解析：选C不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=eq\f(3,C102)=eq\f(1,15)9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=eq\r(3)，那么异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),6) C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(2),2)解析：选C建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。10．假设f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，那么a的最大值是()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2) C．eq\f(3π,4) D．π解析：选Af(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4)),依据f(x)=cosx与f(x)=eq\r(2)cos(x+eq\f(π,4))的图象关系知a的最大值为eq\f(π,4)。11．f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．假设f(1)=2，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50 B．0 C．2 D．50解析：选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=212．F1，F2是椭圆C:eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1〔a>b>0〕的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，ΔPF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，那么C的离心率为()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：选DAP的方程为y=eq\f(\r(3),6)(x+a),∵ΔPF1F2为等腰三角形∴|F2P|=|F1F2|=2c,过P作PH⊥x轴，那么∠PF2H=600,∴|F2H|=c,|PH|=eq\r(3)c,∴P(2c,eq\r(3)c),代入AP方程得4c=a二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．解析：y=2x14．假设x,y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\al\co2(x+2y-5≥0,,x-2y+3≥0,,x-5≤0,)),那么z=x+y的最大值为__________．解析：915．sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，那么sin(α+β)=__________．解析：-eq\f(1,2)两式平方相加可得16．圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°，假设ΔSAB的面积为5eq\r(15)，那么该圆锥的侧面积为__________．解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=eq\r(2)r,又SA，SB所成角的正弦值为eq\f(\r(15),8),那么eq\f(1,2)×2r2×eq\f(\r(15),8)=5eq\r(15)∴r2=40,S=π×r×eq\r(2)r=40eq\r(2)三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=-7，S3=-15．〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕求Sn，并求Sn的最小值．解：〔1〕设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.〔2〕由〔1〕得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.18．〔12分〕以以下图是某地区2000年至2024年环境根底设施投资额y〔单位：亿元〕的折线图．为了预测该地区2024年的环境根底设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2024年的数据〔时间变量t的值依次为1,2,…,17〕建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5t；根据2024年至2024年的数据〔时间变量t的值依次为1,2,…,7〕建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5t．〔1〕分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境根底设施投资额的预测值；〔2〕你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：〔1〕利用模型①,该地区2024年的环境根底设施投资额的预测值为eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2024年的环境根底设施投资额的预测值为eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5×9=256.5(亿元).〔2〕利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：〔ⅰ〕从折线图可以看出,2000年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线eq\o(y,\s\up6(^))=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境根底设施投资额的变化趋势.2024年相对2024年的环境根底设施投资额有明显增加，2024年至2024年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2024年开始环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2024年至2024年的数据建立的线性模型eq\o(y,\s\up6(^))=99+17.5t可以较好地描述2024年以后的环境根底设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.〔ⅱ〕从计算结果看,相对于2024年的环境根底设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19．〔12分〕设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．〔1〕求l的方程；〔2〕求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：〔1〕由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k(x-1),y2=4x))得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0，故x1+x2=eq\f(2k2+4,k2).所以|AB|=x1+x2+2=eq\f(2k2+4,k2)+2=8，解得k=-1〔舍去〕，k=1.因此l的方程为y=x-1.〔2〕由〔1〕得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0=-x0+5,(x0+1)2=\f((y0-x0+1)2,2)+16))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=3,y0=2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=11,y0=-6))因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20．〔12分〕如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2eq\r(2)，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．〔1〕证明：PO⊥平面ABC；〔2〕假设点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为300，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解：〔1〕因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2eq\r(3).连结OB.因为AB=BC=eq\f(\r(2),2)AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=eq\f(1,2)AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.〔2〕如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.由得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2eq\r(3)),eq\o(AP,\s\up5(→))=(0,0,2eq\r(3))取平面PAC的法向量eq\o(OB,\s\up5(→))=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0<a≤2)，那么eq\o(AM,\s\up5(→))=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y+2eq\r(3)z=0,ax+(4-a)y=0))，可取n=(eq\r(3)(a-4),eq\r(3)a,-a)，所以cos<eq\o(OB,\s\up5(→)),n>=eq\f(2\r(3)(a-4),2\r(3(a-4)2+3a2+a2)).由得|cos<eq\o(OB,\s\up5(→)),n>|=eq\f(\r(3),2).∴eq\f(2\r(3)|(a-4)|,2\r(3(a-4)2+3a2+a2))==eq\f(\r(3),2)解得a=-4〔舍去〕，a=eq\f(4,3).所以n=(-eq\f(8\r(3),3),eq\f(4\r(3),3),-eq\f(4,3)).又eq\o(PC,\s\up5(→))=(0,2,-2eq\r(3))，所以cos<eq\o(PC,\s\up5(→)),n>=eq\f(\r(3),4).所以PC与平面PAN所成角的正弦值为eq\f(\r(3),4).21．〔12分〕函数f(x)=ex-ax2．〔1〕假设a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；〔2〕假设f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．【解析】〔1〕当a=1时，f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0．设函数g(x)(x2+1)e-x-1，那么g′(x)=-(x-1)2e-x．当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减．而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．〔2〕设函数h(x)=1-ax2e-x．f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点．〔i〕当a≤时，h(x)>0，h(x)没有零点；〔ii〕当a>0时，h′(x)=ax(x-2)e-x．当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h′(x)>0．所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．故h(2)=1-eq\f(4a,e2)是h(x)在[0,+∞)的最小值．①假设h(2)>0，即a<eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)没有零点；②假设h(2)=0，即a=eq\f(e2,4)，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；③假设h(2)<0，即a>eq\f(e2,4)，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由〔1〕知，当x>0时，ex=x2，所以h(4a)=1-eq\f(16a3,(e2a)2)>1-eq\f(16a3,(2a)4)=1-eq\f(1,a)>0故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点．综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=eq\f(e2,4)．〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\