天津市河北区2023-2024学年高一下学期末质量检测 数学试题【含答案】

河北区2023—2024学年度第二学期期末高一年级质量检测数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，，则（

）A．-1 B．1 C．-5 D．52．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（

）A．与互为对立事件 B．C．与相等 D．与互斥3．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（

）A． B．C． D．4．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（

）A． B．C． D．5．用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（

）A．12 B．C．9 D．36．如图，已知，则（

）A． B．C． D．7．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则8．若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（

）A． B． C． D．9．某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（

）A．该市14天空气质量指数的中位数为78.5B．该市14天空气质量指数的第30百分位数为55C．该市14天空气质量指数的平均值大于100D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大10．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（

）A． B． C．2 D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上．11．i是虚数单位，复数．12．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家．13．某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为．14．已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为．15．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为．三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；(2)求下列事件的概率；①“两个点数之和是5”；②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．(1)求角的大小；(2)若，，求的值和的面积．18．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由．19．如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值．1．A【分析】由共轭复数的定义求出即可.【详解】复数，，由共轭复数的定义可知，，则有.故选：A2．B【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误.【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；B选项，，故B正确；C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误．故选：B．3．A【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意每个个体被抽到的概率均为，则某一个特定个体被抽到的概率为.故选：A4．C【分析】根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，进而可得出答案.【详解】因为，所以即为异面直线与所成角的平面角，而，所以异面直线与所成角的大小为.故选：C.5．D【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得、，再由勾股定理计算可得.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，，所以，则.故选：D6．B【分析】利用向量的加法和数乘运算法则，取为基底，通过运算，即可得答案；【详解】，，故选：B.7．C【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A：若，，则或，又，则或与相交，相交也不一定垂直，故A错误；对于B：若，，则或，若，则在平面内存在直线，使得，又，则，又，所以；若，又，所以；综上可得，由，，，可得，故B错误；对于C：若，，则，又，，是两个不同的平面，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误．故选：C．8．C【分析】由古典概型概率计算公式求解即可.【详解】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能，其中满足的数对有，共5种可能，所以点在直线上的概率是.故选：C.9．C【分析】由平均数、中位数、百分位数和方差的概念即可得出答案.【详解】对于A，将14天的空气质量指数由小到大排列为：，所以该市14天空气质量指数的中位数为：，故A正确.对于B：因为，所以该市14天空气质量指数的百分位数为，故B正确；对于C：，该市14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误；对于D：因为连续3天空气质量指数，6日到8日的波动最大，也即方差最大，故D正确.故选：C.10．B【分析】利用等体积法，由求解即可.【详解】由直三棱柱的体积为6，可得，设到平面的距离为，由，，，解得，即到平面的距离为.故选：B.11．【分析】根据复数的除法运算即可.【详解】.故答案为：12．20【详解】试题分析：根据所给的三种超市的数目，相加得到共有的超市数目，根据要抽取的超市数目，得到每个个体被抽到的概率，用中等超市的数目乘以被抽到的概率，得到结果．解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家，故答案为20．点评：本题考查分层抽样，这是一个每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．13．【分析】根据独立事件的概率公式计算．【详解】由题意，所求概率为.故答案为：.14．【分析】求出长方体的体对角线长即为外接球的直径，再由球的表面积公式计算可得.【详解】因为长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则长方体的体对角线长为，又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，设外接球的半径为，则，所以所以外接球的表面积.故答案为：15．##0.2【分析】利用古典概型概率计算公式，再结合计数的基本知识计算即可.【详解】所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件.目标事件为，，，，，共5个基本事件.所以.故答案为：.16．(1)，是古典概型；(2)；.【分析】（1）确定试验的每个样本点的构成，写出样本空间，再判断样本空间的样本点个数及是否等可能作答.（2）用列举法分别写出事件A，B所含样本点，再由古典概率公式计算作答.【详解】（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，一号骰子的每一个结果都与二号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果，用数字表示一号骰子出现的点数，用数字表示二号骰子出现的点数，则数组表示这个试验的一个样本点，所以这个试验的样本空间为：，样本空间共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，因此各个样本点出现的可能性相等，所以这个试验是古典概型.（2）由（1）知，事件A所含样本点为：，共4个，所以；事件B所含样本点为：，共15个，所以.17．(1)(2)，【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为向量，，且所以，由正弦定理得，又，则，显然，则，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，解得或（舍），所以的面积.18．(1)(2)(3)众数是，中位数为【分析】（1）根据频率之和为即可得解；（2）求出月均用水量不低于3吨的频率，进而可得出答案；（3）根据频率分布直方图中众数和中位数的求法计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得，所以直方图中的值为；（2）由图得月均用水量不低于3吨的频率为，所以估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为（人）；（3）由图可知，众数是；因为，，所以中位数在区间内，设为，则，解得，即中位数为.19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）依题意可得，即可证明；（2）依题意可得，再由平面，得到，即可得证；（3）取的中点，连接、、，首先证明，从而得到平面，则为直线与平面