上海市青浦高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷【含答案】

上海市青浦高级中学2023学年第二学期期末考试高一数学试卷考试时间：90分钟满分：100分一､填空题（本大题满分36分）本大题共有12题.1．若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为.2．等比数列中，且，则公比为．3．已知向量，，若，则实数4．已知等差数列的前项和为，若则5．函数的最小正周期为π，则ω的值为．6．已知A(2，0)，B(0，2)，若＝，则点C的坐标是.7．已知角的终边经过点，则的值为.8．若是关于的实系数方程的一个复数根，则=9．已知向量，，且，则．10．如图，已知函数（）的图像与轴的交点为，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则．

11．已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为．12．在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为.二､选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.13．用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（

）A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立14．若复数为纯虚数，则实数m的值为（

）A． B． C． D．15．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（

）A． B． C． D．16．已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（

）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题三､解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．已知复数，，.(1)若复数在复平面内的对应点落在第四象限，求实数的取值范围；(2)若复数，求.18．在中，角的对边分别为.(1)若，求角的大小；(2)若边上的高等于，求的最大值.19．已知向量，，．(1)若，求值；(2)若向量在方向上的投影向量为，求的值．20．甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．21．若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；(2)记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；(3)记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.1．【分析】由扇形弧长公式直接计算即可.【详解】由扇形弧长公式得扇形的弧长为.故答案为：.2．【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求出，再求出公比作答.【详解】在等比数列中，因为，则，所以公比．故答案为：3．【分析】利用平面向量的数量积与向量垂直的关系，结合坐标运算求解即可.【详解】因为向量，，，所以，解得.故答案为：1.4．【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案.【详解】由等差数列的性质可得：，所以，故答案为：8.5．1【分析】根据给定条件，利用余弦型函数的周期公式计算即得.【详解】函数的最小正周期，所以.故答案为：16．【分析】设，根据向量的坐标表示列出方程组解出即可得结果.【详解】设，则，，所以，得，解得，即点C的坐标是，故答案为：.7．【分析】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果．【详解】因为角的终边过点，所以，所以，则，故答案为：.8．【分析】由方程复数根为共轭复数可得方程两根，由根与系数关系可求得结果.【详解】若是方程的一个复数根，则另一个复数根为故答案为【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，需明确两根为共轭复数，属于基础题.9．##【分析】首先利用向量平行得到，然后利用齐次化法将所求式子化成含有的式子即可运算求解.【详解】因为，，且，所以，所以，从而.故答案为：.10．【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解.【详解】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，则，且，得，又，所以，所以，又函数图象过点，所以，由解得，故，所以.故答案为：11．【分析】利用无穷等比数列的前项和公式及性质即可得解.【详解】因为为无穷等比数列，，所以，则，则，因为，所以是以为公比的等比数列，且，此时，所以，当时，；当时，，因为，所以，故，则；综上：，即，故的取值范围为.故答案为：.12．【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值.【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知：当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大.所以由正六边形结构特征可知的最大值为，连接正六边形交于点，则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线，且由正六边形结构特征，，，所以由题意以及余弦定理得：，即，所以，，，所以，故由向量加法法则；所以当时，最大，同理时，最大，与此时方向相反，故此时达到最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为.13．D【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，即当（为正整数）时，能被整除，再证时，能被整除.故选：D14．A【分析】根据复数的除法运算化简，根据是纯虚数求得.【详解】由题意，，因为是纯虚数，所以，解得.故选：A15．D【分析】利用三角形中线的向量表示计算即可.【详解】设的中点为A，则，所以.故选：D16．C【分析】对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解.【详解】对于①：因为，若该数列为“弱减数列”，因为，则，可得，即，同理可得，所以；当时，，所以该数列为“弱减数列”；综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题；对于②：因为，显然，若存在使得数列为“2阶弱减数列”，则，即，整理得，所以对一切正整数恒成立，若，当时，当，则；当为奇数，；可知不合题意，所以，则，当时，则，可得，不合题意；若，取，则，符合题意；若，则，则，取，则，符合题意；综上所述：存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．故②是真命题.故选：C.【点睛】方法点睛：对于新定义问题时，可以通过举例或转化法理解新定义，进而根据新定义分析求解.17．(1)(2)答案见解析【分析】（1）由已知可得，计算即可；（2）由，可得，可求，进而可求的值.【详解】（1）因为在复平面内的对应点落在第四象限，所以，解得，因此实数的取值范围是.（2）因为，所以，解得或.当时，，此时；当时，，此时.综上所述：或.18．(1)或(2)【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合特殊角的三角函数值即可得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到，从而将转化为关于角的表达式，进而得解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，则，所以，因为，所以或.（2）由三角形面积公式得，即，又由余弦定理，得，从而有，所以.当，即时，有最大值，即的最大值为.19．(1)(2)或【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，得到方程，解方程即可求出结果；（2）通过投影向量的计算方法，得到方程，解方程即可求出结果.【详解】（1）由已知则，，则有，又，由，解得．（2）由已知，设向量与得夹角为，则在方向上的投影向量为从而有，解得或.20．(1)甲的基础工资收入总量元；乙的基础工资收入总量元(2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析【分析】（1）易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可（2）根据题意可得，再求解分析的单调性，并计算时的取值范围即可【详解】（1）甲的基础工资收入总量元乙的基础工资收入总量元（2），，，设，即，解得所以当时，递增，当时，递减又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．

．21．(1)7(2)3469(3)证明见详解【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离；（2）由题意分析可知A中数列项的周期性，可得结合周期性求得m的最大值；（3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出，最终求得和中必有一个成立，与已知矛盾即可得解.【详解】（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为.（2）设，其中，且，因为，则，，，，则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，在数列中，；在数列中，；因为，可知，即项数m越大，数列和的距离越大，由得：，可知：若时，；又因为，可知：若时，；综上所述：所以m的最大值为3469.（3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，，则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个：，那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的，设这个数列分别为；；，其中，因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立，不