2024年吉林省长春市经开区洋浦学校中考数学一模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年吉林省长春市经开区洋浦学校中考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−3的绝对值是(

)A.3 B.13 C.−132.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约59000000000千克，这个数据用科学记数法表示为(

)A.0.59×1011千克 B.59×109千克 C.5.9×103.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为(

)A.

B.

C.

D.4.不等式6−3x≤0的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是(

)A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D.两点之间线段最短6.如图，用三角支架固定空调外机，已知OA⊥AB，∠AOB=α，BO=0.4米，则点O到墙面距离OA为(

)A.0.4sinα米 B.0.4cosα米 C.0.4sinα米 D.7.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是(

)A.AF=BF

B.AE=12AC

C.∠DBF+∠DFB=90°8.如图，▱AOBC的顶点B在x轴正半轴上，点A与BC的中点D都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，若▱AOBC的面积为12，则k的值为(

)A.4

B.6

C.8

D.12二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.分解因式：a2−2a=

．10.若关于x的一元二次方程x2+2x−c=0有两个相等的实数根，则c的值为______．11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为

．12.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，S△ABC=9，则△DEF的面积为______．13.如图，在正五边形ABCDE中，AC为对角线，以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，连接EF，则∠1的度数为______．

14.如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为______米．(结果保留根号)

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题6分)

先化简，再求值：(a+2)(a−2)+a(1−a)，其中a=2024．16.(本小题6分)

某运动俱乐部推出活动，到俱乐部消费的顾客都有一次抽奖机会，商家在一个不透明的纸箱中放入三个小球，分别标记字母A、B、C，每个小球除字母不同外其余均相同，每次搅匀后顾客从纸箱中随机摸出一个小球记下字母后放回，按照字母兑换运动体验券即可(A：乒乓球；B：羽毛球；C：游泳)，小明和小亮均抽奖一次，用画树状图(或列表)的方法，求小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率．17.(本小题6分)

某校英语考试采取网上阅卷的形式，已知该校甲、乙两名教师各阅卷400张，甲教师的阅卷速度是乙教师的2倍，结果甲教师比乙教师提前2个小时完成阅卷工作.求甲、乙两名教师每小时批阅学生试卷的张数．18.(本小题7分)

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF=DE，连结AE、AF、CF．

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若BEEC=14，则19.(本小题7分)

“逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段.某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试，对成绩(百分制)进行整理、描述和分析，成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并制作出不完整的统计图如下．

已知：B等级数据(单位：分)：

80 80 81 82 85

86 86 88 89 89

根据以上信息，回答下列问题：

(1)补全条形统计图，并填空：m=______，n=______．

(2)抽取的m名学生中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______．

(3)这所学校共有2105名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩能达到A等级的学生人数．20.(本小题7分)

图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：

(1)如图①，在AB上画一点E，连结DE，使∠ADE=∠C；

(2)如图②，在AB上画一点F，连结DF，使∠AFD=∠C；

(3)如图③，在AB上画一点M，连结CM，DM，使∠AMD=∠BMC．

21.(本小题8分)

现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点.行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以60km/ℎ的速度匀速驶向景点.两辆车的行驶路程y(km)与时间x(ℎ)之间的函数关系如图所示．

(1)甲车停留前行驶时的速度是______km/ℎ，m=______ℎ；

(2)求甲车停留后继续行驶时的行驶路程y与时间x之间的函数关系式；

(3)求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？22.(本小题9分)

【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的内接四边形对角互补.”如图①，小明给出了如下证明方法：

证明：连结OB、OD．

∵∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD．

又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角．

∴∠A+∠C=360°2=180°．

同理∠ABC+∠ADC=180°．

这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补．

【应用】如图②，四边形ABCD内接于⊙O，E为CB延长线上一点.若∠D=110°，则∠ABE=______．

【探究】如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB=DC，延长BA、CD相交于点E．

(1)求证：∠EAD=∠CAD；

(2)若BC=12,sin∠BAC=121323.(本小题10分)

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，动点P从点A出发，沿折线AC−CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．D是AB的中点，以PA、AD为邻边作▱APED.设点P的运动时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示线段PC的长．

(2)当点E落在边BC上时，求t的值．

(3)当点P在线段AC上运动时，连结PD，若△PDE为钝角三角形，求t的取值范围．

(4)当点E到△ABC的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出t的值．24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,3)和点B(1,0)，顶点为D，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m．

(1)求该抛物线函数关系式．

(2)当点P在抛物线对称轴左侧时，过点P作PC⊥y轴交抛物线对称轴于点C，若tan∠PDC=13，求m的值．

(3)记抛物线在点P、B两点之间的部分为图象G(包含P、B两点)，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当1≤d≤4时，求m的取值范围．

(4)点Q(2m−1,4−2m)是平面内一点，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形PMQN内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随答案解析1.【答案】A

【解析】【解答】

解：根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求出−3的绝对值是3．

故选：A．

2.【答案】D【解析】解：59000000000=5.9×1010．

故选：D．

3.【答案】【解析】解：从上面看，看到的图形分为上下两行，上面一行有2个小正方形，下面一行左边有1个小正方形，即看到的图形为：

故选：D．4.【答案】D

【解析】解：∵6−3x≤0，

∴−3x≤−6，

则x≥2，

故选：D．

5.【答案】A

【解析】解：∵点O为AA′、BB′的中点，

∴OA=OA′，OB=OB′，

由对顶角相等得∠AOB=∠A′OB′，

在△AOB和△A′OB′中，

OA=OA′∠AOB=∠A′OB′OB=OB′，

∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，

∴AB=A′B′，

即只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，

故选：A．

6.【答案】【解析】解：∵OA⊥AB，

∴∠OAB=90°．

在Rt△AOB中，

∵cos∠AOB=OABO，

∴OA=cos∠AOB⋅BO

=cosα×0.4

=0.4cosa(米)．

【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，

BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．

由垂直平分线的性质可得AF=BF，

故A选项不符合题意；

∵DF为线段AB的垂直平分线，

∴∠BDF=90°，

∴∠DBF+∠DFB=90°，

故C选项不符合题意；

∵BE为∠ABC的平分线，

∴∠ABF=∠EBC，

∵AF=BF，

∴∠ABF=∠BAF，

∴∠BAF=∠EBC，

故D选项不符合题意；

根据已知条件不能得出AE=12AC，

故B选项符合题意．

故选：B．

8.【解析】解：如图，延长CD交y轴于E，

过D作MN平行于y轴，交AC于M，交x轴于点N，

连接OD，

∵点D是BC中点，

∴易证△CDM≌△BDN，

∴S△CDM=S△BDN，

∵▱AOBC的面积为12，

∴四边形OAMN的面积为12，

∴矩形OEMN的面积为12+k2，

设点A(m,km)，

∵S△OAE=S△ODN，

∴点A为EC中点，

∴点D(2m,k2m)，

∴矩形9.【答案】a(a−2)

【解析】解：a2−2a=a(a−2)．

故答案为：10.【答案】−1

【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−c=0有两个相等的实数根，

∴Δ=22+4c=0，

解得c=−1，

故答案为：−1．【解析】解：依题意得：

7x+7=9(x−1)，

解得：x=8，

故答案为：8．12.【答案】49

【解析】解：∵OA：AD=3：4，

∴OA：OD=3：7，

∵△ABC与△DEF是位似图形，

∴AB//DE，

∴△OAB∽△ODE，

∴ABDE=OAOD=37，

∴S△ABCS△DEF=(37)2=【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠EAB=∠ABC=(5−2)×180°5=108°，

∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA=180°−108°2=36°，

∴∠EAF=108°−36°=72°，

∵以点A为圆心，AE为半径画圆弧交AC于点F，

∴AE=AF，

∴∠1=180°−72°2=54°．【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示：

则抛物线顶点的坐标为(0,3)，

设抛物线的解析式为y=ax2+3，

将A点坐标(−3,0)代入，

可得：0=9a+3，

解得：a=−13，

故抛物线的解析式为y=−13x2+3，

将y=−3代入抛物线解析式得出：−3=−13x2+3，15.【答案】解：原式=a2−4+a−a2

=a−4，

当a=2024时，

原式=2024−4【解析】根据整式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．

16.【答案】解：列表得：

ABCA(A,A)(B,A)(C,A)B(A,B)(B,B)(C,B)C(A,C)(B,C)(C,C)由列表可知可能出现的结果共9种，其中小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的情况有4种，

所以小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率为49．【解析】列表得出所有等可能的情况数，再找出小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的情况数，即可求出其概率．

17.【答案】解：设乙教师每小时批阅x张学生试卷，则甲教师每小时批阅2x张学生试卷，

根据题意得：400x−4002x=2，

解得：x=100，

经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意，

∴2x=2×100=200．

答：甲教师每小时批阅【解析】设乙教师每小时批阅x张学生试卷，则甲教师每小时批阅2x张学生试卷，根据“该校甲、乙两名教师各阅卷400张，甲教师比乙教师提前2个小时完成阅卷工作”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙教师的阅卷速度，再将其代入2x中，即可求出甲教师的阅卷速度．

18.【答案】15【解析】(1)证明：∵点D是AC的中点，

∴AD=CD，

∵DF=DE，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵DE⊥AC，

∴平行四边形AECF是菱形；

(2)解：∵BEEC=14，

∴CE=4BE，

设BE=a，则CE=4a，

由(1)可知，四边形AECF是菱形，

∴AE=CE=4a，AE/​/CF，

∴∠BEA=∠BCF，

∵∠ABC=90°，

∴AB=AE2−BE2=(4a)2−a【解析】解：(1)由图得：D等级有5人，占10%，

∴m=510%=50，

∴n%=1050×100%=20%，

∴n=20．

故答案为：50，20．

等级C的人数：50−20−10−5=15，

补全条形统计图如图：

(2)把数据按从小到大排列后，中间两个数是85、86，

∴中位数是85+862=85.5；20+1050×100%=60%．

故答案为：85.5，60%．

(3)2105×2050=842(名)，

答：成绩能达到A等级的学生人数约为842名．

20.【答案】解：如图：

(1)点E即为所求；【解析】(1)根据网格线的特点作图；

(2)过D作AC的垂线与AB的交点即为所求；

(3)根据相似三角形的性质作图．

21.【答案】80

1.5

【解析】解：(1)根据函数图象可得当x=0.5时，y=40，

∴甲车停留前行驶时的速度是400.5=80km/ℎ，

∵乙车的速度为60km/ℎ，

∴m=9060=1.5ℎ，

故答案为：80，1.5．

(2)设y=kx+b，把(1,40)，(1.5,90)代入，

k+b=401.5k+b=90

解得k=100b=−60

所以y=100x−60.(1≤x≤135)；

(3)当y=200时，200=100x−60，

甲用的时间：x=135．

乙用的时间：20060=103，【解析】【应用】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ABC+∠D=180°，

∵∠ABE+∠ABC=180°，

∴∠ABE=∠D=110°．

故答案为：110°；

【探究】(1)证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠EAD+∠BAD=180°，

∴∠EAD=∠BCD，

∵DB=DC，

∴DB=DC，

∴∠DAC=∠DCB，

∴∠EAD=∠CAD；

(2)解：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∴sin∠BAC=BCAB=1213，

∵BC=12，

∴AC=13．

∴AB=AC2−BC2=132−122=5．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=∠ADE=90°，

在△ADC和△ADE中，

∠CAD=∠EADAD=AD∠ADC=∠ADE，

∴△ADC≌△ADE(ASA)，

∴AC=AE=13，ED=CD，

∴BE=BA+AE=18，

23.【答案】解：(1)∵∠C=90°，

∴AC=AB2−BC2=102−62=8，

当点P在线段AC上时，PC=AC−AP=8−2t，

当点P在线段BC上时，PC=2t−8，

综上所述：PC=2t−8(0<t<4)8−2t(4<t≤7)；

(2)如图1，

∵四边形ADEP是平行四边形，

∴DE=AP，DE/​/AP，

∴△BDE∽△BCA，

∴DEAC=BDAB，

∵点D是AB的中点，

∴AB=2AD，

∴DE8=12，

∴DE=4，

∴AP=4，

∴t=42=2；

(3)如图2，

当∠DP1A=90°时，

同理(2)得：AP1=12AC=4，

∴t=2，

∴当0<t<2时，△APD时钝角三角形，

当∠ADP2=90°，

∵∠A=∠A，

∴△ADP2∽△ACB，

∴AP2AB=ADAC，

∴AP210=58，

∴AP2=254，

∴t=258，

当258<t≤4时，△APD是钝角三角形，

综上所述：0<t<2或258<t≤4；

(4)如图3，

当点E到AC和AB距离相等时，点E在∠CAB的平分线上，

∴∠CAE=∠DAE，

∵DE/​/AP，

∴∠CAE=∠AED，

∴∠AED=∠DAE【解析】(1)当点P在线段AC上时，PC=AC−AP=8−2t，当点P在线段BC上时，PC=2t−8，从而得出结果；

(2)证明△BDE∽△BCA，从而得出AP=DE=12AC，进一步得出结论；

(3)求出临界：∠APD=90°和∠ADP=90°时的t的值，进而求得结果；

(4)分为点E到AC和AB距离相等和E