2024年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−2的绝对值是(

)A.−2 B.2 C.±2 D.−2.如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是(

)A.B.C.D.3.下列说法错误的是(

)A.必然事件发生的概率是1

B.通过大量重复试验，可以用频率估计概率

C.概率很小的事件不可能发生

D.投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得4.下列运算正确的是(

)A.2m+3m=5m2 B.m2⋅m35.点P(2,−5)关于原点对称点的坐标是(

)A.(−5,−2) B.(2,5) C.(−2,5) D.(−5,2)6.一把直尺和一块三角板ABC(其中∠B=30°，∠C=90°)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为(

)A.20° B.40° C.45° D.50°7.费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面的数据是部分获奖者获奖时的年龄(单位：岁)：29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是(

)A.35，35 B.34，33 C.34，35 D.35，348.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD.若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为(

)

A.55° B.45° C.35° D.25°9.《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空；若两人共车，剩九人步.问人与车各几何？意思是：若三个人乘一辆车，则空余两辆车；若两个人乘一辆车，则剩余9人需要步行.试问人和车辆各有多少？设有x辆车，则根据题意可列出方程为(

)A.3(x+2)=2x−9 B.3(x+2)=2x+9

C.3(x−2)=2x−9 D.3(x−2)=2x+910.如图，在△ABC中，∠C=90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE=BD，分别以D，E为圆心，以大12DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G，若AC=9，AG=5，过点G作GP⊥AB交AB于点P，则GP的值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.二次根式x−3有意义，则x的取值范围是

．12.分式方程32x=2x+1的解是13.已知a，b是一元二次方程x2−4x+2=0的两根，则a+b=______．14.如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为______．

15.为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为______．16.高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，BB，CC，DD，EE，A通过小客车数量(量)260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是

．三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.计算：(13)四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

解不等式组：3x−4<2x+15x+32>x19.(本小题6分)

如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD=5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25米．

(1)求A与C之间的距离；

(2)求天线BE的高度．(参考数据：3≈1.73，结果保留整数20.(本小题6分)

为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(不合格)，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中所给信息解答下列问题：

(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m=______；

(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；

(3)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．21.(本小题9分)

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF，

(1)求证：AD平分∠BAC．

(2)若AB=5，AD=4，求△ABC的面积．22.(本小题9分)

我校九年级学生准备观看电影《长津湖》.由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选：

方案一：全体人员打8折；

方案二：打9折，有5人可以免票．

(1)若一班有50人，则方案一需付______元钱，方案二需付款______元钱；

(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？23.(本小题10分)

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，连接BE．

(1)求证：∠DAC=∠E；

(2)若tan∠ABC=43，BE=10，求线段AD24.(本小题10分)

如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点(且与点B、C不重合)，连接AE交BD于点G．

(1)若AE⊥BC，∠BAE=18°，求∠BGE的度数；

(2)若AG=BG，求证BE2−GE2=AG⋅GE；

(3)过点G作GM//BC交AB于点M，记.S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC=xBE，S1S225.(本小题10分)

对于抛物线y=14ax2(a≠0)，我们发现其图象上任意一点到点(0,a)的距离和到直线y=−a的距离总是相等，于是规定点(0,a)为抛物线的焦点，直线y=−a为抛物线的准线．

例如：如图1，y=14ax2(a>0)，其焦点为A(0,a)，准线为直线y=−a，抛物线上任意一点P(x,y)到准线的距离为PH，则PH=|y−(−a)|=|y+a|=|14ax2+a|，PA=(x−0)2+(y−a)2=x2+(14ax2−a)2=116a2x4+12x2+a2=(14ax2+a)2=|14ax2+a|，即PA=PH；同理可得a<0时，PA=PH也成立答案解析1.【答案】B

【解析】解：−2的绝对值是2．

故选：B．

根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．

本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】B

【解析】解：这个组合体的左视图为：

故选：B．

根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图即可．

本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握解答组合体三视图的画法和形状是正确判断的前提．3.【答案】C

【解析】解：A、必然事件发生的概率是1，正确；

B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；

C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；

D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，

故选：C．

不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．

本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)=1；不可能发生事件的概率P(A)=0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．4.【答案】D

【解析】解：A、2m+3m=5m，故A不符合题意；

B、m2⋅m3=m5，故B不符合题意；

C、(m+7)2=m2+14m+49，故C不符合题意；

D5.【答案】C

【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点P(2,−5)关于原点对称的点的坐标为：(−2,5)．

故选：C．

平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，据此可得结论．

本题考查关于原点对称的点坐标的关系，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．6.【答案】A

【解析】解：由图可得，∠CDE=50°，∠C=90°，

∴∠CED=40°，

又∵DE/​/AF，

∴∠CAF=40°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAF=60°−40°=20°，

故选：A．

先根据∠CDE=40°，得出∠CED=40°，再根据DE/​/AF，即可得到∠CAF=40°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．

本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7.【答案】D

【解析】解：∵35出现的次数最多，

∴这组数据的众数是35，

将这组数据按从小到大排列，排在中间的两个数分别为33，35，故这组数据的中位数为33+352=34．

故选：D．

8.【答案】【解析】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=55°，

∴∠B=35°，

∴∠ADC=∠B=35°．

故选C．9.【答案】D

【解析】解：设有x辆车，则可列方程：3(x−2)=2x+9．

故选：D．

根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．10.【答案】C

【解析】解：由作法得BG平分∠ABC，

∵GP⊥BA，∠C=90°，

∴GP=GC=AC−AG=9−5=4，

故选：C．

根据角平分线的性质即可得到结论．

本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．11.【答案】x≥3

【解析】解：根据题意，得x−3≥0，

解得，x≥3；

故答案为：x≥3．12.【答案】x=3

【解析】解：32x=2x+1，

3(x+1)=4x，

解得：x=3，

检验：当x=3时，2x(x+1)≠0，

∴x=3是原方程的解，

故答案为：13.【答案】4

【解析】解：根据根与系数的关系得a+b=4．

故答案为：4．

直接利用根与系数的关系求解．

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)14.【答案】5

【解析】解：∵ON⊥AB，

∴AN=BN=12AB，

∵AB=24，

∴AN=BN=12，

在Rt△OAN中，ON2+AN2=OA2，

∴ON=15.【答案】2400人

【解析】解：估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为3200×150200=2400(人)，

故答案为：2400人．

16.【答案】B

【解析】解：∵330−260=70，330−300=30，360−300=60，360−240=120，260−240=20，

∴C>A，B>D，E>C，D>A，B>E，

由B>D和D>A得B>A，

由E>C和B>E得B>C，

∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，

故答案为：B．

根据表中数据两两相比较即可得到结论，

本题考查了不等式的性质，正确的理解题意是解题的关键．17.【答案】解：(13)−1−2sin60°+|−3|+(−2022)0【解析】先计算(13)−1、(−2022)18.【答案】解：3x−4<2x+1①5x+32>x②，

解不等式①得：x<5，

解不等式②得：x>−1，

∴原不等式组的解集为：【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．

本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19.【答案】解：(1)由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，

∴AD=AB=25米，

∵CD=5米，

∴AC=AD+CD=25+5=30(米)，

即A与C之间的距离是30米；

(2)在Rt△ACE中．∠ACE=60°，AC=30米，

∴AE=30⋅tan60°=303(米)，

∵AB=25米，

∴BE=AE−AB=(303−25)米，

∵3≈1.73【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出AD=AB=25米，则可求出答案；

(2)解直角三角形求出AE=30⋅tan60°=303(米)，则可求出BE20.【答案】50

7

【解析】解：(1)由统计图可得，这次抽样调查共抽取：16÷32%=50(人)，m=50×14%=7，

故答案为：50，7．

(2)由(1)知，m=7，等级为A的有：50−16−15−7=12(人)，

补充完整的条形统计图如图所示，C等所在扇形圆心角的度数为：360°×1550=108°．

(3)树状图如下所示：

由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，

∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为212=16．

(1)用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；

(2)用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；21.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

在△BED和△CFD中，

∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD,BD=CD

∴△BED≌△CFD(AAS)，

∴DE=DF，

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，

∴AD平分∠BAC．

(2)解：∵△BED≌△CFD，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∵D是BC中点，

∴AD⊥BC，

∴BD=AB2−AD2=【解析】(1)由AAS判定△BED≌△CFD，推出DE=DF，由角平分线性质定理的逆定理，即可证明AD平分∠BAC．

(2)由全等三角形的性质得到∠B=∠C，由等腰三角形的性质推出AD⊥BC，由勾股定理求出BD=AB2−AD2=3，得到BC=2BD=6，即可求出△ABC的面积．

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，关键是判定△BED≌22.【答案】1200

1215

【解析】解：(1)由方案一：全体人员可打8折，

得方案一需付费30×80%×50=1200(元)，

由方案二：若打9折，有5人可以免票，

得方案二需付费30×90%×(50−5)=1215 (元)，

故答案为：1200；1215；

(2)设一班共有x人，依题意得，

30×80% x=30×90%×(x−5)，

解得x=45，

答：一班共有45人．

(1)由方案一和方案二的优惠方式分别算出结果即可；

(2)设一班共有x人，根据“无论选择哪种方案要付的钱都是一样”，列出方程求解即可．

本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，列出方程解题．23.【答案】(1)证明：连接OC，

∵PD切圆于C，

∴半径OC⊥PD，

∵AD⊥PD，

∴OC/​/AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∵∠BEC=∠OAC，

∴∠DAC=∠BEC；

(2)解：连接AE，

∵弦CE平分∠ACB，

∴AE=BE，

∴AE=BE，

∵AB是圆的直径，

∴∠AEB=∠ACB=90°，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴AB=2BE=102，

∵tan∠ABC=ACBC=43，

∴令BC=3x，AC=4x，

∵AB=AC2+BC2=5x=10【解析】(1由切线的性质得到半径OC⊥PD，又AD⊥PD，因此OC//AD，得到∠DAC=∠OCA，由等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，由圆周角定理即可得到∠DAC=∠BEC；

(2)由直角三角形的性质求出AB=102，由锐角的正切定义求出AC长，由∠DAC=∠CAB，得到cos∠DAC=cos∠CAB，因此ADAC=24.【答案】(1)解：根据题意可得∠AEB=90°，∠BAE=18°，

∴∠ABE=90°−18°=72°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABG=∠EBG=12∠ABE=12×72°=36°，

∴∠BGE=∠ABG+∠BAG=18°+36°=54°．

(2)证明：∵AG=BG，

∴∠ABG=∠BAG，

∵∠GBE=∠ABG，

∴∠GBE=∠BAG，

又∵∠AEB=∠GEB，

∴△AEB∽△BEG，

∴BEAE=GEBE，

∴BE2=AE⋅GE，

∴BE2=(AG+GE)GE，

∴BE2−GE2=AG⋅GE．

(3)①证明：∵GM/​/BC，BC/​/AD，

∴MG//AD，

∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，

∴MGAD=BMAB，MGBE=AMAB，

两式相加得MGAD+MGBE=BMAB+AMAB，

即MGAD+MGBE=1，

∴1BE+1AD=1MG．

②解：∵BC=xBE，AD//BC，

∴BEBC=BEAD=1x，△ADG【解析】(1)根据题意可得∠ABE=90°−18°=72°，因为菱形的对角线平分一组对角，得∠ABG=∠EBG=12∠ABE=12×72°=36°，再根据外角的性质可得出．

(2)根据题意易证△AEB∽△BEG，得出BEAE=GEBE，因为AG+GE=AE，化简可得BE2−GE2=AG⋅GE．

(3)①根据题意可得GM//BC，MG/​/AD，即△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，故MGAD=BMABMGBE=AMAB，两式相加得，化简可得1BE+1AD=1