2023-2024学年重庆十一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆十一中高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.任给△ABC，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是(

)A.c2=a2+b2+2abcosC 2.设复数z满足z(1+i)=2，则|z−|=A.22 B.1 C.23.下列说法正确的是(

)A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C.底面是矩形的四棱柱是长方体

D.三棱台有8个顶点4.在直角坐标系xOy中，向量OA=(1,−1),OB=(5,m),OC=(7,3)，其中m∈R.若A，B，C三点共线，则实数A.35 B.−7 C.53 5.P是△ABC所在平面上一点，满足|PB−PC|−|PBA.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为(

)

A.64m B.74m C.52m D.91m7.在△ABC中，若AB⋅BC3=BCA.23 B.22 C.8.如图所示，已知在四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，且点A，B，C，D共圆，点M，N分别是AD和BC的中点，则MN⋅BC的值为(

)A.367

B.−367

C.48二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=1+i2023(i为虚数单位)，则下列结论正确的是A.|z|=2 B.z的虚部为−1 C.z2为纯虚数10.△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若AB⋅AC=2,a=2A.bccosA=2a B.b2+c2=8

C.角A的最大值为π11.在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2A.33 B.233 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.欧拉公式eix=cosx+isinx(本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.设复数z=e13.已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则AH⋅AB的最小值为______；若点N为线段AE(含端点)上的动点，且满足DN=mDC+n14.△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是△ABC所在平面内的动点，满足OP=OB+λ(BC|BC|+BA|BA|)(λ>0).射线BP四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a,b满足|a|=1,a⋅b=14,(a+b)⋅(a−16.(本小题15分)

在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinA+4bsinCcos2A=bsinB+csinC．

(1)求角A的大小；

(2)若a=2，且BC上的中线AD长为3，求斜三角形17.(本小题15分)

在直角梯形ABCD中，已知AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=4，AD=CD=2，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD．

(1)求AM⋅BD的值；

(2)若N为线段AC上任意一点，求AN⋅18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，AB=2，3acosB−bcosC=ccosB，点D在线段BC上．

(1)若∠ADC=3π4，求AD的长；

(2)若BD=2DC，△ACD的面积为4219.(本小题17分)

已知函数f(x)=Asin(π2x+φ)(A>0,|φ|<π)的图象如图所示，点B，D，F为f(x)与x轴的交点，点C，E分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x)在x=−12处取得最小值．

(1)求参数φ的值；

(2)若A=1，求向量2BC−CD与向量BC+3CD夹角的余弦值；

(3)若点P为f(x)函数图象上的动点，当点P

参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.B

6.B

7.D

8.A

9.ABC

10.BCD

11.AB

12.1213.−12

14.415.解：(1)因为|a|=1，a⋅b=14，(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=1−b2=12，

16.解：(1)∵asinA+4bsinCcos2A=bsinB+csinC，

∴由正弦定理可得，a2+4bc⋅cos2A=b2+c2，

∴cos2A=b2+c2−a24bc=12cosA，

∵三角形ABC为斜三角形，

∴∠A不为直角，即cosA≠0，

∴cosA=12，

又∵A∈(0,π)，

∴A=π3；

(2)∵A=π3，a=2，

∴由余弦定理可得4=b2+c2−bc，①

∵BC上的中线17.解：方法一

(1)在梯形ABCD中，因为AB/​/CD，AB=2CD，

所以AO=2OC，

∴AM⋅BD=(AO+OM)⋅BD=AO⋅BD+OM⋅BD=AO⋅BD

=23AC⋅BD

=23(AD+DC)⋅(AD−AB)=23(AD2−DC⋅AB)

=23(4−2×4)=−83；

(2)令AM=λAB，AM⋅BD=λAB⋅BD=λAB⋅(AD−AB)=−λAB2=−16λ=−83

则λ=16，即AM=16AB，

AN⋅MN=AN⋅(AN18.解：(1)因为3acosB−bcosC=ccosB，

则由正弦定理可得，3sinAcosB−sinBcosC=sinCcosB，即3sinAcosB=sin(B+C)=sinA，

又sinA≠0，则cosB=13，

所以sinB=1−cos2B=223，

又∠ADC=3π4，则∠ADB=π4，

在△ABD中，由正弦定理可得，ADsinB=ABsin∠ADB，即AD223=222，

所以AD=83；

(2)设CD=t，则BD=2t，

又△ACD的面积为423，则S△ABC=3S△ABD=4219.解：(1)由函数f(x)=Asin(π2x+φ)(A>0,|φ|<π)在x=−12处取得最小值，

可得φ−π4=−π2+2kπ，k∈Z，

所以φ=2kπ−π4，k∈Z，

又|φ|<π，则φ=−π4；

(2)因为A=1，所以f(x)=sin(π2x−π4)，

则B(12,0)，C(32,1)，D(52,0)，

则2BC−CD=(1,3)，BC+3CD=(4,−2)，

则cosθ=(2BC−CD)⋅