【数学】江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考试题（解析版）

成就未来，新教育伴你成长联系电话：400-186-9786江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A.1 B.－1 C. D.【答案】B【解析】由，得.故选：B.2.数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A.6 B.6.5 C.7 D.5.5【答案】D【解析】由题设，，故60百分位数为.故选：D.3.向量与不共线，，，且与共线，则k，l应满足（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由与共线，故，即，故，所以故选：D.4.一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，底面周长为，则，所以，所以圆锥的表面积为.故选：A.5.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】因为，所以，易知，所以，所以.故选：C.6.从长度为的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从长度为的5条线段中任取3条，共有种取法，而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有和以及，共3种，故这三条线段能构成一个三角形的概率为.故选：B.7.在中，下列命题正确的个数是（）①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】①，所以错误；②，所以正确；③若，则，所以为等腰三角形，所以正确；④，则是锐角，但是不一定为锐角三角形，所以错误．故选：B.8.已知锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴由正弦定理可得，∵为锐角三角形，∴可得，即，解得.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数，则下列结论正确的是（）A.z的共轭复数为 B.z的虚部为1C.z在复平面内对应的点位于第二象限 D.【答案】BCD【解析】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A错误；z的虚部为1，故B正确；z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；，故D正确．故选：BCD．10.下列说法中错误的是（）A.已知，且与的夹角为锐角，则实数B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则存在唯一实数，使得D.非零向量和满足，则与的夹角为【答案】ACD【解析】A：因为，所以，又因为与的夹角为锐角，所以，即且，解得且，故错误；B：因为向量，，所以，即共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，故正确；C：当时，满足，则存在无数个实数，使得，故错误；D：因为非零向量和满足，则，即，则，，所以，因为，则，故错误.故选：ACD.11.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（）A.与互斥 B.与互斥 C.与独立 D.与独立【答案】BC【解析】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误；对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确；对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，由选项B知，而事件包含的基本事件有共2件，故，所以，故与独立，故C正确；对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知，而事件包含的基本事件有共3件，故，所以，故与不独立，故D错误.故选：BC.12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是（）A.若有两解B.若有两解C.若为锐角三角形，则b的取值范围是D.若为钝角三角形，则b取值范围是【答案】AC【解析】A选项，∵，∴有两解，故A正确；B选项，∵，∴有一解，故B错误；C选项，∵为锐角三角形，∴，即，故C正确；D选项，∵为钝角三角形，∴或，即或，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.设有两组数据：与，它们之间存在关系式：（，其中非零常数），若这两组数据的方差分别为和，则和之间的关系是__________．【答案】【解析】两组数据：，与，，它们之间存在关系式：，

即第二组数据是第一组数据的倍还要整体加上，

在一列数字上同时加上一个数字方差不变，而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，

和之间的关系是.

故答案为：.14.边长为的三角形的最大角与最小角之和为______．【答案】120°【解析】根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°.故答案为：120°．15.已知向量，，若在方向上的投影向量为，则的值为____．【答案】【解析】，，，，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，，.故答案为：.16.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】如图：连接交与点，设正方形边长为，，则，，则正方形面积为：，四棱锥的侧面积为：，由题意得，即，解得，画出折叠后的立体图形，如图：设重合点为，该四棱锥为正四棱锥，球心应在的连线上，设为，设外接球半径为，则，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面积为：.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是虚数单位，设.（1）求证：1＋ω＋ω2＝0；（2）计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．解：（1）证明：∵，，∴（2）由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0，∴ω3＝1，∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.18.已知，，，是第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）∵，，∴，∴，∴．（2）∵，是第三象限角，∴，故．19.为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．（1）求的值；（2）若测得，求待测径长．解：（1）在中，由正弦定理可得：，则，因为，因为为钝角，所以，所以.（2）在，由余弦定理可得：，解得：或（舍去），因为，所以，在，，由余弦定理可得：，解得：，，，，，，，由余弦定理可得：，故.20.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．解：（1）由题意有，解得.（2）应聘者笔试成绩的众数为，应聘者笔试成绩的平均数为．（3），所以，面试成绩的最低分为百分位数，前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，设百分位数为，则，解得，因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.21.如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．（1）求证：；（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．解：（1）在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.（2）取BC中点F，连接AF，DF，如图，因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，令，则，因，即有，由(1)知，，则有，过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，显然E是斜边中点，则，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.