数学-江苏省2024年南通市高二年级学年下学期期末质量监测试题和答案

2024年南通市高二学年度质量监测是符合题目要求的.1.已知随机变量X~N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，则P(2<X≤2.2)=()2.已知一个圆锥底面半径为5cm，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为()播出，则不同播出方案的种数为()为() A.3B.6C.23 取出的球是黑球”为B，则()9.若(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则()A.a0=1510.在空间中，l，m是不重合的直线，α,β是不重合的平面，则下列说法正确的是()A.若l∥m，m⊂β,则l□βB.若m丄l，m丄α,l丄β,则α丄βC.若α丄β,α∩β=m，l丄m，则l丄βD.若m∥α,m∥β,α∩β=l，则m∥l11.已知函数f(x)=x+a(1−ex)，则下列说法正确的有()A.曲线y=f(x)恒过定点B.若a=1，则f(x)的极小值为0C.若a<0，则f(x)<f(x2+1)D.若a>2，则f(x)的最大值大于2−a12.某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃)之间有如下数据：x/℃−2−1012y/百元54221由表中数据可得回归方程=ax+b中a=−1．试预测当天平均气温为−3.2°C时，小吃店的日盈利约为百元.______13.设随机变量，则p=；若Y=2X−1，则Y的方差为. 15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB丄AC，AB=AC=AA1.468（2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为X，求X的分布列.PK2≥k0)k17.已知函数f(x)=lnx−x，g(x)=ax2−2ax，a>0，（1）设曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为l，若l与曲线y=g(x)相切，求a；（2）设函数h(x)=f(x)+g(x)，讨论h(x)的单调性.PD=AB=BC=6．点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F.（1）求证：AD□EF；（2）若E为棱PA的中点，求二面角A−BE−C的正弦值；（3）记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d12+d的最小值.19.箱子中有大小和质地相同的红球地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，ⅆⅆ,N，直到箱子中的球被摸完为止.（1）求2号球为红球的概率（用N与n表示（2）若N=11，n=5，记随机变量X为最后一个红球被摸出时的编号，求E(X)；（3）若箱子中白球、黑球的个数分别为n，2n，求红球先于白球和黑球被和黑球都有剩余）的概率.2024年南通市高二学年度质量监测是符合题目要求的.1.已知随机变量X~N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，则P(2<X≤2.2)=()A.0.02【答案】B【解析】【分析】利用正态分布的性质求解即可.【详解】由于随机变量X~N(2,σ2)，且P(X<1.8)=0.47，所以2.已知一个圆锥底面半径为5cm，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为()【答案】D【解析】【分析】运用弧长等于圆锥底面周长，扇形半径为母线长，联立方程，解出即可.【答案】C【解析】【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解.【详解】由题意因为fx)=x2，所以f播出，则不同播出方案的种数为()【答案】D【解析】【分析】先把某电视剧和某专题报道排在上午，再结合全排列计算即可.【详解】因为某电视剧和某专题报道必须在上午播出，所以A种排法,其他4个节目有A种排法，所以不同播出方案的种数为AA=6?24=144.【答案】A【解析】【分析】先求导函数，再令导函数大于等于0因为f=cosx+x，所以f′=−sinx+即sinx≤1，−τ≤x≤τ.【答案】D【解析】【分析】连接OE,利用空间向量的基本定理求解即可.【详解】连接OE，因为G是线段AE的中因为BE=BC，所以OE=OB+BE=OB+BC=OB+(OC−OB)=OB+OC为()A.3B【答案】B【解析】【分析】先化简不等式得出函数单调性，再把单调递增转化为导数恒为正即可求出参数最值.【详解】假设x1>x2,又因为>−2,可得x1−x2fx1x1)+2x1>fx2)+2x2,设t,x2>x2,tx2,y=tt(x)=x3+mx2+2x,t2+2mx+2≥0恒成立,2−4取出的球是黑球”为B，则()【答案】D【解析】则有P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A正9.若(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则()A.a0=15【答案】ACD【解析】【分析】应用赋值法判断A,C,D选项，根据二项式展开式判断B选项.令x=1,可得(1−2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,令x=−1,可得(1+2)5=a0−a1+a2−a3+a4−a5，a0+a1+a2+a3+a4+a5是(1+2x)5的各项系数和，所以a0+a1+a2+a3+a4+a5=35，D选5的展开式x的系数是a1=C(−2)1=−10.在空间中，l，m是不重合的直线，α,β是不重合的平面，则下列说法正确的是()A.若l∥m，m⊂β,则l□βB.若m丄l，m丄α,l丄β,则α丄βC.若α丄β,α∩β=m，l丄m，则l丄βD.若m∥α,m∥β,α∩β=l，则m∥l【答案】BD【解析】【分析】运用线面平行垂直的性质和判定逐个分析即可.【详解】对于A,若l∥m，m⊂β,则l□β或者l⊂β,故A错误；对于B,可以用法向量来思考.l，m所在的方向取α,β的法向量，法向量垂直可推出面对于C,若α丄β,α∩β=m，l丄m，则l⊂β,l//β,或者相交，故C错误；对于D，过直线m分别作两平面与α,β分别相交于直线s和直线t，因为m//α,过直线m的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知m//s，同理可得m//t，则s//t，因为s丈平面β,t⊂平面β,则s//平面β,因为s⊂平面α,α∩β=l，则s//l，又因为m//s，则m//l，故D正确.A.曲线y=f(x)恒过定点B.若a=1，则f(x)的极小值为02C.若a<0，则f(x)<f(x+1)2D.若a>2，则f(x)的最大值大于2−a【答案】ACD【解析】【分析】对于A，求出f(0)即可；对于B，结合导数求出f(x)的极值即可；对于C，利用导数求出f(x)的单调性，结合单调性比较x和x2+1的大小即可；对于D，结合导数求出f(x)的最大值为f(x)max=f(−lna)=−lna+a−1，令g(a)=−lna+a−1(a>2)，利用导数g(a)的最值即可.【详解】对于A，令x=0，可得f(0)=0，所以曲线y=f(x)恒过(0,0)，故A正确；对于B，当a=1时，f(x)=x−ex+1，则f′(x)=1−ex，当x>0时，f′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(0)=0，对于C，f(x)=1−aex，当a<0，则f′(x)=1−aex>0，所以f(x)在R上单调递增，又x2+1−x=>0，即x2+1>x，则f，故C正确；对于D，当a>2时，由f′(x)=1−aex=0，解得：x=−lna，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(−lna)=−lna+a(1−e−lna)=−lna+a−1，所以当a>2时，g′+1>0，则g在上单调递增，所以g(a)>g(2)=1−ln2，即f(x)的最大值大于1−ln2，12.某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃)之间有如下数据：x/℃−2−1012y/百元54221由表中数据可得回归方程=ax+b中a=−1．试预测当天平均气温为−3.2°C时，小吃店的日盈利约为 百元. 【答案】6【解析】【分析】求出样本中心点，代入得到b值，再令x=−3.2即可.【详解】由已知数据=2.8，则=−x+2.8，令x=−3.2，则=6.13.设随机变量，则p=；若Y=2X−1，则Y的方差为.【解析】【分析】(1)用二项分布的概率公式可解；(2)用二项分布的方差结论即可解决.Y=2X−1，则D【解析】【分析】根据几何知识可知，当六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥时，体积最大，即可求出棱锥的高，进而得到外接球的半径，得出球O的表面积.【详解】根据几何知识可知，当六棱锥P−ABCDEF为正六棱锥时，体积最大，因为底面正六边形的边长为1，所以底面外接圆的半径为1，。=设六棱锥的高为h，设外接球的半径为R，可得，R2=12+2，解得R=.故球O的表面积为4τR2=4τ×15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB丄AC，AB=AC=AA1.（2）求直线A1B与AC1所成角的余弦值.【解析】由题意以A为坐标原点，分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AB=1，则AB=AC=AA1=1，所以A1C.AB=0,A1C.AC1=1−1=0，由知所以=−1，记直线A1B与AC1所成角为θ,则468（2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为X，求X的分布列.PK2≥k0)k（2）X的分布列见解析【解析】列出分布列.由题可得男性的人数X可能取值为：0，1，2，3所以X的分布列为：X0123已知函数f(x)=lnx−x，g(x)=ax2−2ax，a>0，（1）设曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为l，若l与曲线y=g(x)相切，求a；（2）设函数h(x)=f(x)+g(x)，讨论h(x)的单调性.【解析】所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为y=−1，−2ax，得ax2−2ax+1=0，因为y=−1与g(x)=ax2−2ax相切，h(x)=f(x)+g(x)=lnx−x+ax2−2ax=lnx+ax2−(2a+1)x的定义域为(0,+∞)，PD=AB=BC=6．点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F.（1）求证：AD□EF；（2）若E为棱PA的中点，求二面角A−BE−C的正弦值；（3）记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d12+d的最小值.【解析】【分析】（1）先证AD//平面BCEF，在根据线面平行的性质定理可得AD□EF.（2）先证DA，DM，DP两两垂直，再以D为原点，建立空间直角坐标系，求平面ABE和平面BEC的法向量，用向量法求二面角的三角函数值.（3）设F(0,0,h)，求平面BEC的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出d12+d，再结合不等式求它的最小值.因为AD∥BC，BC⊂平面BCEF，AD丈平面BCEF，所以AD//平面BCEF.又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面BCEF=EF.所以AD□EF.取BC中点M，连接DM.因为AB丄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB丄AD.在四边形ABMD中，AD∥BM，且AD=BM=3，所以四边形ABMD为矩形.所以DM丄平面PAD.又在□PDA和□DMC中，PD=DM=6，DA=MC=3，AP=CD.所以，PD丄AD.故DA，DM，DP两两垂直，所以以D为原点，建立如图空间直角坐标系.当E为PA中点时设平面BEC的法向量为=(x2,y2,z2)，所以cosm所以二面角A−BE−C的正弦值为则A到平面BCE的距离为