2021-2022学年上海市青浦区九年级上册数学期末试卷（二）含答案

2021-2022学年上海市青浦区九年级上册数学期末试卷（二）

一、选一选

1.下列电视台的台标，是对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转10°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做对称图形可得答案。

【详解】根据对称图形的概念，对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合，因此，四个

选项中只有D符合.

故选：D.

【点睛】本题考查了对称图形，掌握对称图形的概念：对称图形是要寻找对称，旋转10。后与

原图重合是解题的关键。

2.掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说确的是（）

A.可能有5次正面朝上B.必有5次正面朝上

C.掷2次必有1次正面朝上D.没有可能10次正面朝上

【答案】A

【解析】

【分析】根据随机是指在一定条件下，可能发生也可能没有发生的，可得答案.

【详解】A、可能有5次正面朝上，是随机，故A正确；

B、没有一定有5次正面朝上，没有是必然，故B错误；

C、掷2次没有一定有1次正面朝上，可能两次都反面朝上，没有是必然，故C错误；

D、可能10次正面朝上，是随机，故D错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了随机，解决本题需要正确理解必然、没有可能、随机的概念.必然指在一

定条件下一定发生的.没有可能是指在一定条件下，一定没有发生的.没有确定即随机是指在

一定条件下，可能发生也可能没有发生的.

3.用配方法解方程x2—2x—3=0时，配方后所得的方程为()

A.(x-1)2=4B.(x-1)2=2C.(x+l『=4D.

(x+1)2=2

【答案】A

【解析】

【详解】把方程x2-2x-3=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=3,

方程两边同时加上项系数一半的平方，得到x=2x+l=4,

配方得(x-1)2=4

故选A.

4.九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共

送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为()

A.；x(x—1)=2070B.1x(x+l)=2070

C.x(x+l)=2070D.x(x-1)=2070

【答案】D

【解析】

【详解】设全班有X名学生，则每人都送出了(X-1)张照片，因此全班共送出照片X(x-1)张,

由题意可得：x(x-1)=2070.

故选D.

5.用一圆心角为120。，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是

()

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【答案】B

【解析】

【详解】；扇形的圆心角为120。，半径为6cm,

120•%

.••根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为-------=4%

18()

•••圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，

根据圆的周长公式，得2m=4"，解得『2cm.

故选B.

考点：圆锥和扇形的计算.

6.抛物线y=ax?+bx和直线y=ax+b在同一坐标系的图象可能是()

【解析】

【详解】试题分析：A、由二次函数的图象可知a>(),-—>0,可得b<0,此时直线丫=2*+6

2a

一，三，四象限，故A正确；

B、由二次函数的图象可知a>0,-->0,可得b<0,此时直线丫=2*+1)—，三，四象限，

2a

故B错误；

C、二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b>0,此时直线

y=ax+b—•、二、三象限，故C错误；

D、二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b>0,此时直线

y=ax+b—■、二、三象限，故D错误；

正确只有A.

故选A.

考点：1.二次函数的图象；2.函数的图象.

二、填空题

7.一元二次方程N=x的解为__.

【答案】Xl=0,X2=l.

【解析】

【分析】首先把X移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案.

【详解】解：x2=x,

移项得：X2-x=0,

.'.x(x-1)=0,

x=()或x-1=0,

.'.^1=0,X2=l.

故答案为Xl=0,X2=l.

8.如图，若AB是。O的直径，AB=10cm,NCAB=30°,则BC=cm.

【解析】

【详解】：AB是（DO的直径，••.NACB=90。.

XVAB=10cm,NCAB=30。，.，.BC=!AB=5cm.

9.如图所示的五角星绕点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为

★

【答案】72。

【解析】

【详解】五角星绕点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为?=72。.

故答案为72°.

10.某品牌手机两年内由每台2500元降低到每台1600元，则这款手机平均每年降低的百分率

为：

【答案】20%

【解析】

【详解】设降价的百分率为X,由题意得2500（l-xp=1600,

解得xi=0.2,X2=T.8（舍）.

所以平均每次降价百分率为20%.

故答案为20%.

11.若正方形的边长为6cm,则其外接圆半径是

【答案】3③cm

【解析】

【详解】如图所示：作OE_LBC,

V四边形ABCD是0的内接正方形，

；.NOBE=45。，而OE_LBC,

；.BE=CE,

；.EB=0E=3,

.-.BO=3V2.

故其半径等于30.

故答案为3G.

12.林业工人为树木生长情况，常用一种角卡工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理

如图所示，已知AC和AB都与00相切，ZBAC=60°,AB=0.6m,则这棵大树的直径为

【答案】2叵m

5

【解析】

【详解】连接OB、OC,

由题意可知NOAB=gNBAC=30°',

且OB=AB-tan/OAB=0.6tan30°=2X—=—m,

535

树的直径为2叵m.

5

13.将二次函数y=-2(x—1尸+3的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解

析式为.

【答案】y=2(x+1)2-3

【解析】

【分析】根据关于原点对称点的特点，可得答案.

【详解】解：y=-2(x-l尸+3的顶点坐标为(1,3),

故变换后的抛物线为y=2(x+1)=3,

故答案为y=2(x+l)2-3

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线关于原点对称变换后只是开口方向改

变，顶点关于原点对称，而开口大小并没有改变.

14.如图，矩形ABCD内接于。O,ZOAD=30°,若点P是。。上一点，且OP_LOA,则

N0PB的度数为.

【答案】15。或75。

【解析】

【详解】如图：①P在AD上方时,

B

VOA±OPOA=OP

/.ZAPO=45°

VZOAD=30°,NBAD=90。,

ZOAB=60°,

VOA=OB,

ZA0B=6()°,

/APB=30°,

ZOPB=ZAPO-ZAPB=15°；

②如图：

♦；PP，是直径，

AZPBP=90°,

由(1)知：NBP，P=知。,

/BPP'=75°,

故答案为15。或75°

点睛：此题考查了矩形的性质、圆周角定理、圆心角定理、等边三角形的判定与性质，三角形

内角的性质等知识点.依据题意作出相应的图形是解决问题的关键.

三、解答题

15.已知一抛物线与x轴的交点是A(—2,0)、B(1,0),且点C(2,8),求该抛物线的

解析式.

【答案】y=2x2+2x-4

【解析】

【详解】试题分析：由抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且点C(2,8),设解

析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式.

试题解析：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.

由已知，抛物线过A（-2,0）,B（1,0）,C（2,8）三点,

4a-2b+c=0①

得，a+/?+c=0(2)

4a+2b+c=8③

①+③得，8a+2c=8,即4a+c=4④，

①+②x2得6a+3c=0⑤，

④x3-⑤得，6a=12,即a=2,把a=2代入④得，c=-4,

把a=6,c=-4代入②得,b=2,

a=2

故，b=2

c=-4.

•••所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.

16.如图，在10x10的正方形格纸中，小正方形的顶点称为格点，用尺规完成下列作图（保留

作图痕迹，没有要求写作法）；

（1）在图1的方格纸中，画出一个E、F两点的圆弧，并且使得半径最小，请在图中标出圆心

O并直接写出该圆的半径长度；

（2）在图2的方格纸中，画出一个E、F两点的圆弧，并且使圆心是格点，请在图中标出圆心

O并直接写出该圆的半径长度.

EE

\\

FF

图2图1

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用当EF为圆的直径时，半径最小，进而得出答案;

（2）利用线段垂直平分线的性质以及勾股定理求出即可.

试题解析：（1）作图如图1,半径等于巫;

（2）作图如图2,半径等于5或石

图2

17.在体育课上，老师向排好队列的学生讲解行进间传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位是

年级球队队员的同学出列，配合老师进行传球示范.

（1）首先球在老师手里时，直接传给甲同学的概率是多少？

（2）当老师传给甲后，老师叫四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲个传出，求甲传给下

一个同学后，这个同学又再传回给甲的概率.

【答案】（1）先直接传给甲同学的概率是［；（2）再传回甲的概率为

43

【解析】

【详解】试题分析：（1）直接根据概率公式计算即可；

（2）先画树状图，再根据公式计算即可.

试题解析：（1）当球在老师手里时，先直接传给甲同学的概率是二；

（2）当甲传出球后，经两次传球的情况可用如下树状图表示:

开始

(甲)

31

再传回甲的概率为g=§.

18.已知关于x的方程*2+办+。一2=0

(1)当该方程的一个根为1时，求”的值及该方程的另一根；

(2)求证：没有论“取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根.

【答案】(1)(2)证明见解析

22

【解析】

【分析】(1)根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可；

(2)要证方程都有两个没有相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.

【详解】Q)设方程的另一根为

:该方程的一个根为1,

的值为：，该方程的另一根为-之.

22

(2)VA=a2-4xlx(«-2)=«2-4«+8=«2-4«+4+4=(«-2)~+4>0.

；・没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根.

【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果招，尬是一元二次方程

bc

ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，aWO)的两个根，则xi+x2=---，x\*X2=—,要记牢公

aa

式，灵活运用.

19.如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).

(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点Ai,在网格中画出平移后得到的△A181C1；

(2)把△4BiG绕点4按逆时针方向旋转90。，在网格中画出旋转后的△4B2c2：

(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B(1)、(2)变换的路径总长.

【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)2y/2+—7r.

2

【解析】

【分析】(1)利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离.

(2)利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度.

(3)利用勾股定理和弧长公式求点8(1)、(2)变换的路径总长.

【详解】解：(1)如答图，连接然后从C点作的平行线且ACi=AC,同理找到点

Bi,分别连接三点，△4EG即为所求.

(2)如答图,分别将4囱,4G绕点4按逆时针方向旋转90。，得到比，Ci,连接B2c2,

△A182C2即为所求.

(3)=@+22=2E，B[B,=90'^'^=—

''"1802

:•点B所走的路径总长=2五+叵兀.

2

【点睛】本题考查了网格作图和勾股定理、弧长计算，解题关键是准确作图，熟练计算.

20.如图，CD为。O的直径，CD_LAB,垂足为点F,AO±BC,垂足为点E,AO=1.

(2)求阴影部分的面积.

【答案】(1)ZC=30°

(2)详见解析

【解析】

【分析】(1)根据垂径定理可得AD=BD，NC=TNA0D,然后在RsCOE中可求出NC的

度数.

(2)连接OB,根据(1)可求出NAOB=12()。，在RsAOF中，求出AF,OF,然后根据S阴

S；=S&彩OAB-SAOAB,即可得出答案.

【详解】解：(1)；CD是圆O的直径，CD1AB,

AD=BD，

：.ZC=|ZAOD,

VZAOD=ZCOE,

.,.ZC=yZCOE,

VAO±BC,

AZC=30o.

(2)连接OB,

由(1)知,NC=30°,

ZAOD=60°,

AZAOB=120°,

在RsACM，AO=1,ZAOF=60°,

:.AF=B,OF=!，

22

••AB—yp2.>

・•.S"MS„0ADB-SA°AB=31*5工一好

3602234

扇形面积的计算.

21.在等边AABC中，以BC为直径的OO与AB交于点D,DE_LAC,垂足为点E.

(1)求证：DE为。0的切线;

【答案】⑴证明见解析；⑵却

【解析】

【分析】(1)连接OD,根据等边三角形性质得出/B=NA=60。，求出等边三角形BD(),求出

ZBDO,ZA,推出OD〃AC,推出OD_LDE,根据切线的判定推出即可;

।3

(2)求出AD=；AC,求出AE=—AC,CE=—AC,即可求出答案.

244

【详解】解：(1)连接OD,

VAABC为等边三角形，

ZABC=60°,

又•；OD=OB,

.♦.△OBD为等边三角形，

NBOD=60°=NACB,

；.OD〃AC,

又：DE_LAC,

NODE=NAED=90°,

；.DE为(DO的切线；

(2)连接CD,

：BC为。。的直径，

ZBDC=90°,

又•••△ABC为等边三角形，

.\AD=BD=^AB,

在RtAAED中，ZA=60°,

AZADE=30°,

।13

...AE=：AD=-AC,CE=AC-AE=-AC,

244

22.某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书标价为20元.现A、B两书店都有此

书出售，A店按如下方法促销：若只购一本，则按标价；若性购买多于一本，但没有多出2（）

本时，每多购一本，每本价在标价的基础上优惠2%（例如买两本，每本价优惠2%；买三本

价优惠4%,以此类推）；若购买多于20本时，每本售价为12元，B店一律按标价的7折；

（1）试分别写出在两书店购此书的总价yA、yB与购本书数x之间的函数关系式.

（2）若某班性购买多于20本时，那么去哪家书店购买更合算？为什么？若要性购买没有多于

20本时，先写出y（y=yA-yB）与购书本数x之间的函数关系式，并在图中画出其函数图

象，再利用函数图象分析去哪家书店购买更合算.

I。till

481216

12x（x>20）

!

【答案】（I）yA='2041-2%0JC-1］（0<X<20）

（2）若购书少于16本时，到B书店购买；若购买16本，到A、B书店费用一样；若超过16

本，则到A书店购买合算.

【解析】

【详解】试题分析：（1）分别根据两个书店购书的优惠得出y与x的函数关系式即可；

（2）首先得出y与x的函数关系式，进而画出图象，利用图象分析得出答案.

试题解析：（1）设购买x本，则在A书店购书的总费用为：

」20巾一2%（x-3（0<x<20）

’12Mx>20）

在B书店购书的总费用为yB=20x0.7x=14x；

(2)当x>20时，显然yA〈yB,去A店买更合算.

2322

当0Vxg20时，y=yA—yB=——x2+—x=——(x—8)2+25.6,

555

2

当一二(x-8)2+25.6=0时,x=0或16.

由图象可得：当0VxV16时，y>0；

当x=16时，y=0；当16Vxs20时，y<0.

综上所述，若购书少于16本时，到B书店购买；

若购买16本，到A、B书店费用一样；

若超过16本，则到A书店购买合算.

23.在一节数学实践课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这

样一个问题：若将三个正方形纸板没有重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样

的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们讨论，大家觉得本题实际上就是求将

三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径.老师将同学们讨论过

程中探索出的三种没有同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：

(1)计算(结果保留根号与兀).

(I)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；

(11)图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；

(III)图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；

(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都没有是最小的，请你画出用圆形硬纸

板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，(只要画出示意图，没有要求说明理由)，并求出此

时圆形硬纸板的直径.

【答案】⑴(I)sViOcm；(II)1072cm；(III)1072cm；(2)直径为生”.

8

【解析】

【分析】(1)(1)连接正方形的对角线BD,利用勾股定理可求出结果；

(II)利用勾股定理可求出小正方形对角线的长即可；

(III)找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理可求出结果；

(2)连接OB,ON,延长OH交AB于点P,则0P_LA3,P为AB的中点，设OG=x,则

OP=10-x,根据勾股定理解答即可.

【详解】⑴(I)连接BD,

B'C

①

AD=3x5=15cm,AB=5cm,

BD=V152+52=5屈cm；

(II)如图所示：

,••三个正方形的边长均为5,

：.、A、B、C三点在以。为圆心，以OA为半径的圆上，

Q4=V52+52

能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为1O0C77?；

(III)如图所示：

-,-CELAB,AC=3C,

・•.AD是过A、B、C三点的圆的直径,

VOA=OB=OD,

「.O为圆心，

•••圆。的半径为。A，Q4=752+52=541cm，

能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为572x2=10V2cw?；

(2)如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法

连接OB,ON,延长OH交AB于点P,贝lJOP_LAB,P为AB中点

设OG=x,则OP=10-x

则有:,X2+52=(10-X)2+^|1

解得：x=—

16

25V17

-----,

16

.•.直径为生叵.

8

考点：正多边形与圆、勾股定理.

24.如图1，若抛物线4的顶点A在抛物线乙上，抛物线乙的顶点B也在抛物线乙上(点A

与点3没有重合)，我们定义：这样的两条抛物乙，乙互为“友好”抛物线，可见一条抛物线

的“友好”抛物线可以有多条.

(1)如图2，已知抛物线L,：y=2d—8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称

轴对称的点。的坐标；

(2)请求出以点。为顶点的k的友好抛物线£4的解析式，并指出&与4中y同时随x增大而

增大的自变量的取值范围；

2