达州市达川区金华学校2022-2023学年七年级下学期第一次月考数学试题【带答案】

四川省达州市达川区金华学校2022-2023学年七年级下学期第一次月考数学试题一．选择题：（每小题3分，共30分）1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质逐项判断即可.【详解】A、∵AB//CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意；B、如图，∵AB//CD，∴∠1=∠3．∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．C、∵AB//CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意；D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.2.已知2m＝5，3m＝2．则6m的值为（）A.7 B.10 C.25 D.32【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．【详解】6m＝（2×3）m＝2m×3m＝5×2＝10，故选：B．【点睛】本题考查了积的乘方法则．解决本题的关键是利用积的乘方运算法则进行逆运算．3.如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是【】A.120° B.135° C.150° D.160°【答案】C【解析】【详解】由题意得：∠1＝30°，∠2＝60°，∵AE∥BF，∴∠1＝∠4＝30°．∵∠2＝60°，∴∠3＝90°－60°＝30°．∴∠ABC＝∠4＋∠FBD＋∠3＝30°＋90°＋30°＝150°．故选C．4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】按照乘方的符号规律，将代数式化为同底数幂相乘，再按照同底数幂的乘法公式计算即可．【详解】解：==故选：A．【点睛】本题考查同底数幂的乘法和乘方的符号规律．需理解负数的偶次方为正，奇次方为负．底数互为相反数的乘法可依照此规律化为同底数幂乘法．5.如图所示，，于D，则下列结论中，正确的个数为（）①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点B到的距离；⑥线段是点B到的距离；⑦．A.3个 B.4个 C.7个 D.0个【答案】B【解析】【分析】根据垂线定义、垂线段定义（定理）、点到直线的距离定义，逐一判断．详解】解：∵，∴，故①正确；∵，∴与不互相垂直，故②错误；∵，∴点C到垂线段应是线段，故③错误；∵，∴点A到的距离是线段的长度，所以④正确；根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”可知线段的长度是点B到的距离，故⑤正确；∴线段的长度是点B到的距离，故⑥错误．故选：B．【点睛】本题考查了对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．6.已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，则（x﹣2022）2的值是（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】设，将原式化为，然后运用完全平方和公式和完全平方差公式运算即可解答．【详解】解：设则原式可化为：即：．故答案为D．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运算，牢记完全平方公式和灵活使用换元法是解答本题的关键．7.如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1=110°，则∠2等于（）A.50° B.70° C.90° D.110°【答案】B【解析】【详解】根据平行线的性质得到∠3=∠1，4=∠3，然后由邻补角的定义即可得到结论．解：∵a∥b，c∥d，∴∠3=∠1，∠4=∠3，∴∠1=∠4=110°，∴∠2=180°﹣∠4=70°，故选B．8.如果多项式，则p的最小值是（）A.2019 B.2020 C.2021 D.2022【答案】B【解析】【分析】先将多项式根据完全平方公式变形，根据，，即可求出p的最小值．【详解】解：∵，∵，，∴p的最小值是2020．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，将多项式根据完全平方公式变形，并且利用完全平方式的非负性是解决本题的关键．9.如图，一束光线与水平面成60°角照射到地面，现在地面AB上支放着一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出(∠1=∠2)，那么平面镜CD与地面AB所成∠DCA度数为()A.30° B.45° C.50° D.60°【答案】A【解析】【分析】如图，根据对顶角相等可得出∠2=∠3，再根据两直线平行得出∠1+∠2=60°，再根据∠1=∠2求出∠2的度数，最后由三角形外角的性质得出结论.【详解】如图所示，∵∠2与∠3是对顶角∴∠2=∠3∵MN//AB∵∠1+∠3=60°，∴∠1+∠2=60°，∵∠1=∠2∴∠2=30°∵∠2+∠DCA=60°∴∠DCA=60°-∠2=60°-30°=30°故选：A.【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠2=30°是解决此题的关键.10.4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．【详解】解：，，∵，∴，整理，得，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．二．填空题：（每空3分，共18分，把正确答案填在题目相应的横线上）11.__________．【答案】1【解析】【分析】直接利用负指数幂和零指数幂计算即可．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】本题考查负整数指数幂和零整数指数幂．熟记公式是解题关键．12.如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，沿线段________搭建最短，理由是__________________；【答案】①##②.垂线段最短【解析】【分析】根据垂线段最短，以及垂线段的定义即可求解．【详解】解：依题意，沿线段搭建最短，理由是垂线段最短，故答案为：，垂线段最短．【点睛】本题考查了垂线段最短，以及垂线段的定义，理解题意是解题的关键．13.如图所示直线a//b,AC⊥AB，AC交直线b于点C,∠1=60°,则∠2等于_______.【答案】30°【解析】【分析】根据平行线的性质，可得∠3与∠1的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90°，根据角的和差，可得答案．【详解】解：如图，∵直线a∥b，∴∠3=∠1=60°．∵AC⊥AB，∴∠3+∠2=90°，∴∠2=90°-∠3=90°-60°=30°故答案为:30°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，垂线的性质，角的和差计算是本题的解题关键．14.人体中红细胞的直径约为米，将数用科学记数法表示为___________．【答案】【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15.已知，，则=_____________．【答案】28或36【解析】详解】解：∵，∴ab=±2．①当a+b=8，ab=2时，==﹣2×2=28；②当a+b=8，ab=﹣2时，==﹣2×（﹣2）=36；故答案为：28或36．【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．16.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=70°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为_____________度．【答案】（35+）【解析】【分析】过点E作EF∥AB，则由已知可得EF∥CD，由平行线的性质可得∠BED=∠ABE+∠EDC；由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，从而可求得∠BED的度数．【详解】过点E作EF∥AB，如图，则∠BEF=∠ABE；∵AB∥CD∴∠ABC=∠BCD=n°，∠ADC=∠BAD=70°，EF∥CD，∴∠FED=∠EDC∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC=，∠ADE＝∠EDC＝∠ADC=35°，∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠ABE+∠EDC=（35＋n）°．故答案为：（35＋n）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，作EF∥AB是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据同底数幂的乘法、积的乘方就、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可；（2）先根据乘法公式计算，再去括号并同类项即可．【小问1详解】【小问2详解】【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的运算法则、乘法公式是解答本题的关键．18.化简求值：，其中，．【答案】xy+5y2，19【解析】【分析】通过整式的混合运算对原式先进行化简，再将和的值代入即可得解.【详解】原式将，代入，原式．【点睛】本题主要考查了整式的先化简再求值，熟练掌握整式的混合运算是解决本题的关键.19.如图，点P是内一点．（1）按下列要求画出图形．①过点P画的垂线，垂足为点D；②过点P画的平行线交于点E；过点P画的平行线交于点F．（2）在（1）所画出的图形中，若，则度．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）【解析】【分析】（1）①利用三角板的两条直角边过点P作即可；②利用直尺与三角板通过平移分别作，的平行线即可；（2）先根据平行线的性质求出，然后利用三角形内角和求解即可．【小问1详解】如图所示；【小问2详解】∵，∴，∵，∴，∴故答案为：36．【点睛】本题考查了垂线和平行线的作法，平行线的性质，三角形内角和，正确作出图形是解答本题的关键．20.完成下面的证明如图，平分，平分，且，求证：．完成推理过程∵平分（已知），∴（）．∵平分（已知），∴（）∴（）∵（已知），∴（）．∴（）．【答案】角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．【解析】【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．【详解】证明：平分（已知），∴（角平分线的定义）．∵平分（已知），∴（角平分线的定义）∴（等量代换）∵（已知），∴（等量代换）．∴（同旁内角互补两直线平行）．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．21.如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．（1）求∠DOF的度数；（2）试说明OD平分∠AOG．【答案】（1）150°；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得，再根据角平分线的定义求出，然后根据平角等于列式进行计算即可得解；（2）先求出，再根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义即可得解．【详解】解：（1），，平分，，；（2），，，，，平分．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键．22.将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，（1）求证：CF∥AB，（2）求∠DFC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）105°【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．【详解】解：（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE．∵∠DCE=90°，∴∠1=45°．∵∠3=45°，∴∠1=∠3．∴AB∥CF．（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键．23.已知：如图所示，和的平分线交于E，交于点F，．（1）求证：；（2）试探究与的数量关系．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）已知、平分和，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．（2）已知，即；那么，将等角代换，即可得出与的数量关系．【小问1详解】证明：∵、平分和，∴，；∵，∴，∴；（同旁内角互补，两直线平行）【小问2详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴∴．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，难度不大．24.我们知道，（k+1）2＝k2+2k+1，变形得：（k+1）2﹣k2＝2k+1，对上面的等式，依次令k＝1，2，3，…得：第1个等式：22﹣12＝2×1+1第2个等式：32﹣22＝2×2+1第3个等式：42﹣32＝2×3+1（1）按规律，写出第n个等式（用含n的等式表示）：第n个等式．（2）记S1＝1+2+3+…+n，将这n个等式两边分别相加，你能求出S1的公式吗？【答案】（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知算式得出的结果得出规律，即可得出答案；（2）根据已知得出算式，再相加，即可得出答案．【详解】解：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1，故答案为（n+1）2﹣n2＝2n+1；（2）∵22﹣12＝2×1+1①，32﹣22＝2×2+1②，42﹣32＝2×3+1③，……，（n+1）2﹣n2＝2n+1，∴将①+②+③+…，得（n+1）2﹣12＝2（1+2+3+…+n）+nn2+2n＝2S1+n，∴S1=.【点睛】本题考查了整式的运算，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．25.学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．（1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______（请用含a，b的代数式表示）；（2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______；（3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长