2021届高三高考数学复习压轴题42-抛物线四【含答案】

2021届高三高考数学复习压轴题专练42—抛物线（4）【含

答案】

一、单选题

I.设抛物线£：>2=22匠5>0）的焦点为尸，已知5（-],3p）,C（-g,%）且为>0，抛

物线E上一点A满足

ABYBC,若线段AC的垂直平分线/过点F,则直线/的斜率为（）

A.—B.GC.上回D.加述

333

解：因为A5_L3C,且3C_Lx轴，

所以%=%=32，所以20乙=（3p）2=9p?,解得x,=早，

所以点A的坐标为（称,3p）,

因为直线/垂直平分AC,且点尸在/上，

所以|CF|=|AF\=xA+^=5p,

所以吠上卜勺自+y=加+寸=5p,

解得%=2®,所以点C的坐标为（-导2岛）,

所以砥0=92匝=①当

严（一9

所以…」二53+276

砥C3-2A/63

故选：D.

77S

2.已知圆C:（x+」）2+y2=2p2（p>o）,若抛物线E：y2=2px与圆c的交点为A,B,且

44

4

sinZABC=~,则p=（）

A.6B.4C.3D.2

由圆C:（x+（）2+y2=^p2（p>0）,得圆心c（_1,0）,半径;•=?,

所以8=2+至，

42p

因为NA8C=N84C,

l+yl

所以sinN4BC=sinZBAC=-=—=4-2^,

5AC5P

2

所以COSN8AC=3=^=2

5AC红

2

[7年

442p

55p

即，2,解得%=3,p=2,

3_2o.

5-红

,T

故选：D.

3.抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该

性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线V=4x的焦点F发出的两条光线a,b分

别经抛物线上的A,8两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60。，则两条反射

光线"和6'之间的距离为（）

R804M口8上

3333

解:由丁二人，得尸（1,0）,

又NOE4=60°,

所以直线AF的方程为y-0=-6（x-l），即,=-百*+6,

联立卜=-伤+金得（>+与』，

y2=4xX/33

所以或%=_26（舍去），

即为=亍，

同理直线防的方程为y-0=当（x-1）,即>=怎-有，

联立上=瓜-6,得（42=史，

y=4xy/33

所以为=2力或%=-2，（舍去），即％=26，

所以I%-%1=12百-|=,

即两条反射光线的距离为生巨，

3

故选：C.

4.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,过点E的直线交抛物线于点A,B（点A在第

一象限），过A,B两点分别作准线的垂线，垂足为C,D.连接CF交y轴于点”，若

DH//AB,则直线他的斜率为（）

A.1B.V3C.2D.2应

解：设〃。与x轴的交点为£,由抛物线的定义可知AF=AC,BF=BD,

因为BD//x轴，DH//AB,所以四边形5DE尸是菱形，

又因为4C=A产，所以NAB=NAFC,因为AC//EF,所以

即ZEFH=ZAFC,

因为ZV///AB,所以NEHF=NAFC,所以NEFH=NEHF,所以EH=EF,

在菱形皮>£尸中，EF=ED,所以EH=ED,所以E是。”的中点，

又点尸到准线的距离为P，所以|EF|=3p,所以|EO|=」p,

44

在直角三角形EO”中，1OH1=《EH。-EO。=^p,所以B(^,-与p),

0—p)

又F(g,0),所以直线A5的斜率须8=―?—,—=20,

2~4

,过F的直线交该抛物线于A、3两点，则|4F|M|8用的

最小值为()

A.8B.9C.10D.11

解：抛物线丁=4x的焦点为尸(1,0),

设A(X］，％),B(x,,y2).

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=Z(x-1)(&*0).

联立［。=小一"，化为公Y-(26—场+公=0,

［y=4x

则“+W=乒(2/—4),XjX,=1,

AF|+41BF|=x,+1+4(X2+1)=x,+4x2+5..2“工/+5=9,

当且仅当%=4%=1时取等号.

当直线AB的斜率不存在时，|AF|+418尸|=5/?=10.

综上，IAF|+41BF|的最小值为9.

故选：B.

6.过抛物线V=2x上一点P作圆C:f+(y-6)2=l的切线，切点为A,B,则当四边形

B4cB的面积最小时，P点的坐标是(

A.(1,V2)B.(-,73)C.(2,2)D.(*,右)

22

解：设尸(幺，a),由圆的方程可得圆心C(0,6),半径〃=1,

2

|PC|=J%(〃—6)2=+/-12Q+36,

设y=?+/-12。+36,

y'="+2a-12=(a—2)(〃~+2a+6),

a>2时y'>0,函数y单调递增，av2时y'<0,函数y单调递减，

24

所以。=2时此而=—+22-12X2+36=20,

2XAC

SvsiliKPABc=2S,M>AC=11-11|'当四边形融CB的面积最小，而|AC|为定值/'=1,

所以|PA|最小时面积最小，而|PA|=J|PCT-|AC|2,所以|PC|最小时即可，

此时a=2,即尸(2,2),

故选：C.

7.过抛物线C:y2=2"x(p>0)焦点F的直线与抛物线C交于点A,B,与抛物线。的准线

交于点P,且|A8|=|BP|,则|AF||BF|=()

A.%B.%C.史D.里

5858

解：设直线AS的倾斜角为：0,。€(0,5)，

|AF|=—B—,|8尸|=—E—,\AB\=\BP\,可得|AF|=2|B可，

1-COS01+COS。

所以一J=2x―P-,解得cose=1,

1-COS。14-COS03

所以尸上一P—X-~R—=上.

1-cos。1+cos。8

故选：B.

8.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，

阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性

质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线

的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦

点.设抛物线C：V=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过45,2),被抛物线反射后，

又射到抛物线C上的。点，则。点的坐标为()

A•。-6B.C.+-i)D.(±,-1)

解：设光线被抛物线反射的反射点为3,则AB//%轴，

把y=2代入丁=不，得x=4,8(4,2),

设抛物线丁=苫的焦点为F,则F(；，0),

直线的方程为y=W(x-3，即y=色(x-』)，

'4--4'154

4

又y2=X,

解得x=4,y=2^x=—,y———)

二、多选题

9.设A,8是抛物线y=Y上的两点，。是坐标原点，下列结论成立的是()

A.若。4J_O3,则|Q4||O8|..2

B.若。直线他过定点(1,0)

C.若。4_LO8,O到直线A3的距离不大于1

D.若直线AB过抛物线的焦点尸，且|4尸|=」，则尸|=1

3

2

解：对于选项A:A(x，X；)，伙々，4；)，,/OA±OB,/.OA»OB=0,：.xsx2+(x}x2)=0,

x(x2(l+xxx2)=0,/.x2=---,

OA||OB|=Jx,2(l+%,2)4-(1+-4)=,1+%,2+-4+1...,2+21x||.-i-=2,当且仅当不=±1

V不VYI玉|

时等号成立，故选项A正确；

对于选项3：若。4_LOB,显然直线45的斜率存在，设直线他的方程为：y=kx+m,

2

联立方程卜二丫+",消去y得：x-kx-m=Of

设A8,%),B(X2,y2),

xx-vx2=k,xxx2=—tn,

22/2

y%=%x?—(X(%2)=m,

,/OA±OB，OA*OB=0,/.不^+y%=0，

/.-/7?+TH2=0,「.加二。或1,

易知直线4?不过原点，=

二.直线AB的方程为：y=kx+\,恒过定点(0,1),故选项8错误,

工原点O到直线AB的距离d=~~,・.•尸.点，.•.左2+1..1,1,故选项C正确；

A/1+公

对于选项。：直线过抛物线的焦点尸(0,；),设直线AB的方程为：y=kx+^,

联立方程<)'=履+a，消去y得：x2-fcr-l=0,

工24

s-y

设4(%,x),B(X2,y2),不妨设点A在y轴右侧，

,1

:.x]+x2=k9x^x2=-—,

-g—1G

9

-]AF\=y{+-=-»­-y\=-..%

1

__4_733

w==---->:,y=-，

X,242

.•.|8用=%+；=1，故选项。正确，

故选：ACD.

10.在平面直角坐标系X。)，中，过抛物线/=2)，的焦点的直线/与该抛物线的两个交点为

4（占，y）,B（X2,y2）,则（）

A-乂M=；

B.以AB为直径的圆与直线y=-;相切

C.|。4|+|。8|的最小值20

D.经过点8与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上

解：由抛物线的方程可得焦点F(0,g),

显然过焦点尸的直线的斜率显然存在，设直线/的方程为：)，=fcv+g，

,

,=,]_

联立，-+2«整理可得：^-2^-1=0,

x2=2y

可得X1+X2=2攵，XjX2=-1,

所以％+%=k(X[+42)+1=2攵2+1,y{y2=再;2=；；

所以A正确；

以A5为直径的圆的圆心坐标为：(卫区，江耳),即伏,公+3),

半径四1=纪*1=&",

22

所以圆心到直线丫=-』的距离为：公+」+_[=/+i等于半径，所以圆与直线相切，所以3

222

正确；

当直线AB与x轴平行时，|。4|=|0硝=好，

2

\OA\+\OB\=^<2y/2,

所以|。4|+|0例的最小值不是2夜，故C不正确；

直线。4的方程为：y==与》=为的交点坐标为：(%,以)，

322

因为半=g,所以经过点3与X轴垂直的直线与直线Q4交点在定直线y=-g上，故。正

确；

故选：ABD.

II.己知抛物线E：V=4x的焦点为F,准线为/,过尸的直线与E交于A,3两点，C,

。分别为A,8在/上的射影，且AF=2M,M为"中点，则下列结论正确的是（)

A.zero=90°B.直线的斜率为±6

C.AAQB的面积为辿

D.△CW£＞为等腰直角三角形

2

解：令ZAFC=a,ZBFD=/3,

•.•AC=AF,ZFCA=a,NC4尸=万一%，

,:BF=BD,•;ZBDF=。，NOB尸=万一2尸，

又,；兀-2a+兀-2。=兀,:.a+B=：,

B(X2,y2),

X用)+1,消工可得y2-4y-4=0.

联立2nl

y~=4x

y.+y=4m「———.—.

'29,又因A尸=2FB,.•.y=-2%,

4

yry2=-'

・•.y=-2V2,y2=e,k=-141.

4

或y=20,y2=-V2,m=—,:.k=2-j2,

4

即k=±2也，8错,

9

AB=X14-1+A2+1=XI+X2+2=myx+my2+4=—,

12夜

。至lj总巨离d=

，疗+13

192述

确

正

S=XXV2一=C

3-2--32

y、=2五时，xt=2,A(2,2&),jit时

B(-,-V2)M(-,—),C(-l,2x/2),£)(-l,-V2)£>M=为”8=3夜，

24244

.•.△COM不是等腰直角三角形，。错，

故选：AC.

12.设A,8是抛物线C：V=4x上两个不同的点，O为坐标原点，若直线。4与08的斜

率之积为T,则下列结论正确的有()

A.\AB\..4B.|。4|+|阳>8

C.直线越过抛物线C的焦点D.△OAB面积的最小值是2

解：取41,-2),8(1,2),满足LM/“=-2-2=Y,

从而|。4|+|08|=2际<8,故3错误;

由题意可知直线4?的斜率不为0,设直线43的方程为x=+7,A(xx,yj,B(x2,%)，

2

联立方程消去x整理可得：y-4my-4r=0,则y+%=4加，y1y2=-4t,

因为•自8="=生=一±=-4,所以f=l,故直线AB过定点(1,0),C正确；

中2%%t

因为抛物线的焦点厂(1,0),所以直线4?过焦点尸，则由抛物线的性质可得|AB|..2P=4,

A正确；

由以上可知直线AB的方程为x=my+\,

则|AB|=11+毋.+/y-4y必=J1+>•J16疗+16=4(机2+1),

原点O到直线AB的距离为d=..1_,

J1+疗

则三角形AOB的面积为S=-\AB\-d=2(}+m2)x.1.=24+川..2,

2丁+济

当且仅当m=0时取等号，此时三角形498的面积的最小值为2,故。正确，

故选：ACD.

三、填空题

13.设抛物线f=2x的焦点为尸，过尸的两条直线“分别交抛物线于点A,B,C,

D,且《，&的斜率左，心满足M+g=2，则IA8I+ICDI的最小值为.

解：抛物线的焦点坐标为/J,0）,

2

设直线4:y=K（x-g）（4w0），直线4：y=wO），

y2=2x

联立I1，整理得（他2+8〃+婷=o.

工人”一］）

、2

设4（N，,），3（乙，%），则%+工2=1+不，

2

设。（七，，D（a，乂），同理可得毛+七=1+尸•

7?

由抛物线的性质可得：|AB|=2+W，ICD|=2+W，

k；k2-

又k；+k：=2,

.'.|AB|+1CD|=4+2（K,+J）=4—..4+4

=4+4=8.

k*k；k；Ji）

.••IA3I+IC0的最小值为8.

故答案为：8.

14.如图，已知抛物线丁=以的焦点为F,直线/过点尸且依次交抛物线及圆

（x—1了+9=」于4、B、C、。四点，则|AB|+91coi的最小值为.

解：抛物线y2=4x的准线为x=—1,所以|A用=4