2021年秋季高三数学（文）开学摸底考试卷02（解析版）

2021年秋季高三数学（文）开学摸底考试卷02

班级姓名分数

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.复数z满足z（2-i）=|3+4i|,则一=

A.2+iB.2-iC.10+5/D.10-5z

【答案】B

【解析】因为z(2-i)=|3+4H=5,

所以z=£5(2+7)5(2+0

2-i(2-0(2+/)~5

故三=2-i.

故选B.

2.已知集合A={xwZ|x>-l},集合8={x|log?x<2},则=

A.{x|-l<x<4}B.{x[0<x<4}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3)

【答案】D

【解析】•.•集合A={xeZ|x>-l},

集合B={x|logzx<2}={x|0<x<4),

4p|£?={l,2,3},

故选D.

3.己知命题〃:mxe/?,sinx<1；命题e叫.1,则卜列命题中为真命题的是

A.p/\qB.—p/\qC.p/\—qD.—

【答案】A

【解析】对于命题p：Hxe/?,sinx<l>

当x=0时，sinx=0<l,故命题p为真命题，r?为假命题：

对于命题网.1,

因为乂函数y=，为单调递增函数，故

故命题4为真命题，r为假命题,

所以为其命题，一为假命题，“Af为假命题，—(pvq)为假命题，

故选A.

1—Y

4.设函数/(x)=>,则下列函数中为奇函数的是

1+X

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD./(x+l)+l

【答案】B

【解析】因为f(x)=3="(x+D+2=_]+2,

1+x1+xx+1

所以函数f(x)的对称中心为(T,-l),

所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数y=f(x—1)+1,该函数的对称中心为(0,0),

故函数y="x-l)+l为奇函数.

故选B.

5.矩形ABCD中，AB=4,4)=2,点E为CD中点，沿AE把AADE折起，点。到达点P,使得

平面PAEJ_平面ABCE,则异面直线AB与PC所成角的余弦值为

DECP/

也

11正

--C

A.4B.22D.2

【解析】如右图，因为AB〃CE,异面宜线舫与PC所成角就是/PCE或其补角,

在APCE中，EC=2,PE=2,

在左图中作垂足为O，则。。=&，OC=M,

所以PC=JPO2+OC2=J2+1O=2百，

PC2+EC2-PE212+22-22y/3

所以cosNPCE=

2PCEC2x2J3x2-2

故选D.

I)

6.在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参

赛选手按成绩由好到差编为1〜25号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟,

若甲被选取，则被选取的5名选手的成绩的平均数为

801235666689

9023455579

1000567

A.93.6B.94.6C.95.6D.97

【答案】B

【解析】结合系统抽样法知间隔5人抽取一次,甲为85分，故其他人的成绩分别是88,94,99,107,

故平均数为85+88+94+99+107=94.6,

5

故选B.

1Ji

7.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的万倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移彳个

71

单位长度，得到函数y=sin(x一一)的图像，则/(x)=

4

A.sin(---)B.sin(—+—)C.sin(2x--)D.sin(2x+-)

2122121212

【答案】B

【解析】•.•把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，

再把所得曲线向右平移(个单位长度，得到函数y=sin(x-7)的图像，

••・把函数)，=sin(x-7)的图像，向左平移5个单位长度，

得至y=sin(x+(-?)=sin(x+q)的图像；

再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

可得/(x)=sin(；x+f)的图像.

故选B.

/〃2hi3bi5

8.若〃二」h=—9c=—,则a,b,c的大小关系正确的是

235

A.a<h<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c

【答案】B

Arjx-Iniln22//?3-3ln2ln9-InS_,

【r解析r】・.・-------=----------=------->0»即。<力，

3266

Irilln55ln2-2ln5ln32-ln25八日口

251010

:.c<a<b>

故选B.

9.如图，已知四边形ABCD为正方形，扇形GEF的弧EF与BC相切，点G为AD的中点，在正方形ABCD

中随机取一点，则该点落在扇形GEF内部的概率为

【答案】A

【解析】不妨设正方形ABCD的边长为2,则扇形GEF的半价为2,

7T

•・•GE=2,GD=1,/.NDGE=—,

3

同理NAGP=工，

3

一冗

・•.Z.EGF=TT-ZDGE-ZAGF=-,

3

1jr2乃

2

,S[tl.lfiCEF=-x-x2=—,而正方形ABCD的面积SAr)cn=2x2=4,

二在正方形A8CD中随机取一点，则该点落在扇形G所内部的概率P=*/

3ABCD。

故选A.

10.在AA3C中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,A=2B,角C的平分线交对边AB于。，且

CD将三角形的面积分成3:4两部分，则cos3=

A.-B.-cD.-

32-14

【答案】C

【解析】因为CO为48的平分线，由角平分线的性质定理可得若二色

而2*AD3

°XBCDBD4

可得箓V

在AA5C中，由正弦定理可得£=匡,

sinBsinA

又A=2B,可得皿=诞=2sinBcos8=28s8.

sinBsinBsinB

所以2cos8=&,可得cosB=2,

33

故选C.

11.设P(x,y)是椭圆Y+4y2=4上的一个动点，定点M(l,0),则1PM『的最大值是

2

A.-B.1C.3D.9

3

【答案】D

【解析】根据题意，P(x,y)是椭圆M+4y2=4即三+9=1上的一个动点，贝『2领k2,且丁=1-反，

44

而定点M(l,0),则|/>〃|2=(彳_1)2+,2=(*2_2*+])+]_?=；/_2%+2=[(*-3)2+|,

函数丫=3。-32+2是开口向上的二次函数，其对称轴为*=*，

4333

当x=—2时，|/W|2=3(x/)2+2取得最大值，且其最大值为9,

433

故选D.

12.己知函数/(工)=奴4+法(出7c工0).记/(X)零点个数为p,极大值点个数为分若p=q,则

A.h<0B.h>0C.ac<0D.ac>0

【答案】B

【解析】取a=l，b=2,c=l,贝1]/。)=/+2/+1=(/+1)2..1,其图象如下,

由图易知，0=<7=0,符合题意，故排除选项A,C：

取a=—1,6=2,c=1,则/(x)=—x4+2x?+1,

则r(x)=-4x3+4x=-4x(x+l)(x-1),

易知函数f(x)在(-8,-1),(0,1)单调递增，

在(-1,0),(1,他))单调递减，其图象如下，

由图象易知，p=q=2,符合题意，故排除选项。：

故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线y=9一2在点㈠,—令处的切线的倾斜角为

【答案】45°

【解析】•.•点（—1,二）满足曲线y=2的方程，

•・•点（一1,一，7为切点•

r2

・.,y=x9

.,•当1=-1时，y=1

曲线y=gd-2在点处的切线的斜率为1,倾斜角为45。

故答案为45。.

14.已知双曲线C:±-y2=1（机＞0）的一•条渐近线为6x+"2y=0,则C的焦距为.

m

【答案】4

【解析】根据题意，双曲线C:二-丁=1（〃7＞0）的一条渐近线为Kx+，2=0,

m

则有莹=而，解可得〃?=3,

则双曲线的方程为］一9=1,则。=反1=2,

其焦距2c=4；

故答案为：4.

15.已知向量而与ZC的夹角为60。，且|而|=2,|AC|=1,若A户=/tA£i+蔗，且4户，入3,则实数2

的值是—.

【答案】-1

【解析】•.•向量而与前的夹角为60。，且I而1=2,|AC|=1,

AB-AC=2xlxcos60°=l.

^AP=AAB+AC,S.APA.AC,贝l］丽.而=（2而+福•而=/l与•/+前?=4+1=0,

则实数2=-1,

故答案为：-1.

16.在平行四边形A8C£＞中，ABA.BD,2AB?+=1,将此平行四边形沿对角线B£）折叠，使平面他D_L

平面C8。，则三棱锥4-8C£）外接球的体积是.

【答案】-

6

【解析】解：如图,

•.•平面43£>_L平面CB£>，平面/IBDC平面C3E>=B£>,ABLBD，43u平面A3£),

.,./3_L平面CBZ),

•••8Cu平面C8£),

..AB±BC,

同理可证C£)J_A£)，

在RtAABC中，AC2=BC2+AB2=CD2+BD1+AB2=2AB2+BD2=\,所以AC=1,

取AC中点为O,连接08,OD,

由直角三角形的性质可知，OB=，AC,OD=-AC,

22

y.-.OA=OC=-AC，即O到A,B，C，。四点的距离相等，

2

:.O为:棱锥A-88外接球的球心，

球的体积丫=土》-d)3=巳，

326

故答案为：£.

6

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.

17.已知数列｛《,｝满足q=1,2a=(1+(neN*).

n+ln

(1)求证：数列｛殳｝是等比数列，并求数列｛对｝的通项公式；

n

(2)求数列｛”,｝的前〃项和S..

【答案】(1)4=：；(2)S“=2"+'：2

«2"一|〃2〃一|

【解析】(1)证明：因为2a所以%，

nn+\2n

又幺=1/0,故数列｛4｝为首项为I,公比为•!■的等比数列.

1n2

所以?=1x（；尸=击,故为=会.

⑵因为S”=提+'|'+捻+…++言①,

1仁123n-1〃一

2222232n~1T~

①、②式错位相减得：-Sn=\+-+\++-^--—=-^--—=^^-

2'2222"-'2",12"2"

1-----

2

2"|-"2

化简整理得S“=

2”-1

18.4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学

生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根

据调查结果绘制的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中〃的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区

间的中点值代表该组数据平均值);

(2)若采用分层抽样的方法，从样本在［60,80)［80,100］内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情

况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

5

【解析】（1）由频率分布直方图可得，（0.0025+0.01+4+0.015+0.01）x20=1,即4=0.0125,

这1000名学生每日的平均阅读时间x=10x0.05+30x0.2+50x0.25+70x0.3+90x0.2=58分钟.

(2)•.•山频率分布直方图，可知样本在［60,80)［80,100］内的学生频率分布为0.3,0.2,

二.样本在［60,80)［80,100］采用分层抽样的比例为3:2,

.--160,80）抽取了3人a,b,c,180,100］抽取了2人d,

则再从5人中抽取2人共有{出?，ac,ad»ae,be»bd,be,cd,ce，de}10种不同的抽取方法,

抽取的2人来自不同组共有{四，be,bd,be,cd,ce}6种,

抽取的2人来自不同组的概率P=$=?.

105

19.如图，在四棱锥8-ACOE中，正方形ACDE所在的平面与正三角形A8C所在的平面垂直，点M,N

分别为8C,AE的中点，点尸在棱CO上.

(1)证明：MN〃平面BOE；

(2)若48=2,点M到A厅的距离为粤求C尸的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【解析】(1)证明：取8。的中点G,连接EG,MG,

为棱BC的中点，

:.MG〃CD,且MG=CD

又N为棱4E的中点，四边形ACDE为正方形，

J.EN//CD,且EN=CD.

从而EN//MG,且EN=MG,于是四边形EGMN为平行四边形,

则MN//EG.

:MNC平面BDE,EGu平面BOE,

〃平面BDE.

(2)解：过M作M/J_4C于/,

,/平面ACDE1.平面ABC,：.M/_L平面ACDE,

过/作/K_LAF于K,连接MK,则MK_LAF.

'：AB=2,・・.M/=2x—x-=^,：.MK=>IMP+IK2

222

.../K=述，过C作CHLAF于H,易知三=生=3

n,3642石

10CHAC41035

ACxCF2CF

,:CH=--------=「,

■7CF2+4

22Q

20.已知椭圆。?+1二叱人〉。)的左、右焦点分别为耳(-1,0),片(1,0),点M(l,9为椭圆C上一点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点耳(-1,())作动直线/与椭圆交于A,B两点,过点A作直线x=T的垂线垂足为N,求证：直

线8N过定点.

、2

【答案】(1)—+21=1，(2)证明见解析.

43

3

【解析】(1)••・”(-1,0),5(1,0),点M(l,5)为椭圆C上一点，

由椭圆定义可得2a=|Mf；I+1班|=J1一(-1)『+g-0)2+J(1_1)2+(|_0)2=4,

6Z—2,

:.kr=cr-c2=4-1=3,

29

.••椭圆方程为三+E=1.

43

(2)证明：设直线/的方程为冲冲-1,乂)，B(X2,%)，M-4,yJ,

x=my-1

联立直线/与椭圆方程</2,可得(4+3/_6〃7)，-9=0,

—+—=1

143

.•.运用韦达定理，可得M+%=—=①，y%=—工②，

44-3m4+3m

,/N(-4,y>

直线BN的方程为y-y=25N(X+4),即y=%，(%+4+』-)③，

kBN

又・.k二%一X二％一乂二%一「，

BN

看+4(nty2-1)+4my2+3

.一二y(阳2+3)二阳跖+3M④

KBNy+%_2,一，

将①、②式代入④式化简得⑤，

^BN2

⑤代入③化简得直线BN的方程为y=怎、,(x+1),

故直线BN过定。(-9,0),即得证.

2

21.已知x=0为函数f(x)=e;近的极值点.

(I)求Z的值；

(II)若Vxe(0,+oo),f(x)>-x2+(a-V)x+\,求实数〃的取值范围.

【答案】(I)1;(II)«„1.

【解析】(I)f\x)=ex-k,f\0)=e°-k=0,解得4=1,

经检验，/(X)在(-as,。)递减，在(0,物)递增，x=0为/(x)的极小值点，符合题意，因此，k=\.

(II)VXG(0,+co),ex+x2-ax-1>0,

设g(x)=e*+x?-ar-1,其中g(0)=0,g\x)-ex+2x-a,/i(x)=ex+2x-a,h\x)=ev+2>0,

h(x)在(0,+oo)递增,h(x)>/?(0)=\-a.

(1)当l-a.O时，即q,1,g'(x)..O,g(x)在(0,”)递增，g(x)>g(0)=0符合题意,所以w,1；

r

(2)当l-a<0时,即a>l,3JQ)e(0,+oo),g(xo)=O,

在(0,%)上,g'(x)<0,g(x)在(0,而)递减，

所以xe(O,Xo)时，，g(x)<g(O)=O不符合题意；

综上，实数。的取值范围为小I.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选

修4-4：坐标系与参数方程](10分)

22.在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为「=2cosa。为参数)，以原点。为极点，轴的正半轴

[y=2+2sina

为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕COS(，+()=⑺.

(1)求曲线C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程；

(2)设射线。=一代(0>0)与直线/交于点A,点8在曲线C上，且NAOB=(,求|AB|.

【答案】(1)p=4sin6>；x-y/3y-2y/3=0.(2)2.

【解析】(I)曲线C的普通方程d+(y-2)2=4,将X=08S6,y=°sine代入,

整理得夕=4sin，，即为曲线。的极坐标方程.

1c

对于直线/,p(cos^--sin0-—)=^3»