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文档简介
2021-2022学年深圳高级中学高二上学期期末数学复习卷⑴
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)
1.复数z满足z(—1+i)=|1+3甲,则5=()
A.-5-5iB.-5+5iC.5+5iD.5-5i
2.下列命题中,真命题是
A.蛾蹈糜起富海期B.隙父电戴太端-琼力'期
C.3K能磷”雷飞;<1D.:3,£短鼠式-需书三网
3.设方程0与方程0(其中e是自然对数的底数)的所有根之和为0,则()
A.0B.0C.0D.区]
4.已知函数/Q)=e^sinx,f'(x)是f(x)的导函数,有下述四个结论:
①/。)是奇函数②f(x)在(-10兀,10兀)内有21个极值点
③/”)在区间(0()上为增函数④f(x)>ax在区间[0,白上恒成立的充要条件是a<1
其中所有正确结论的编号是()
A.①③B.①④C.①③④D.②③④
5..从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架
在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这
3334353637383940
九个数的和可以为()
A.2097
B.1553
C.1517
D.2111
x+2y—3W0
6.己知变量x,y满足约束条件久+3y-320,若目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取到最大值,
y-1<0.
则实数a的取值范围为()
A.(3,5)B.4+8)C.(-1,2)D.(|,1)
7.将函数y=sinx-gcosx的图象沿x轴向右平移a个单位(a>0),所得图象关于y轴对称,贝b的
最小值为()
A.?B了D-
各项为正数的等比数列E晦的公比津.孝,,且嚓,3与畿成等差数列,则迤警的值是()
8.
,W魏普啕
A11Sr
A.-国-------:-B
'鲁
C1-腌D理型或在2
9.已知函数/(x)的定义域为(0,+8),对于给定的正数K,定义函数九。)=*若对于
函数f(x)=*恒有加0)=/(工),则()
A.K的最大值为工B.K的最小值为工
ee
C.K的最大值为2D.K的最小值为2
io.如图所示,在正方体,MCD-48CD中,E为DD:上一点、,且DE=:D4,F是侧面
CD2G上的动点,且49//面4被,则反尸与平面CD。©所成角的正切值密的取值范
围是()
11.已知双曲线的左、右焦点分别为Fi,F2,在左支上过出的弦的长为10,若2a=16,则△力BF2
的周长是()
A.32B.36C.42D.52
12.函数/(%)的导函数广(尤),对任意的都有尸(x)>m2f(x)成立,则()
A.4/⑶>〃5)B.4/(3)〈/⑸
C.4/(3)=/⑸D.4/(3)与"5)关系不确定
二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知△4BC中,ShABC=|四|=3,|而|=5,且荏•前<0,贝I”正|=.
14.山〃码=tan[(。+w)-。]=*黯器=初仇加(。+卬)=也驾―T则
tan30tan63°+tan630tanl230+tanl23°tanl83°=.
15.设a=碎7dx,tn=,则tan(a+0=.
16.过抛物线/=4x的焦点F作直线交该抛物线于两点力,B,若依用=3,则4点的横坐标为.
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.在△ABC中,角4,B,C对应的边分别是a,b,c.且满足(2a-c)cosB=bcosC,sin27!=sin2B+
sin2C-AsinBsinC.(A6/?).
(I)求角B的大小;
(11)若4=%,求角C;
(HI)如果△ABC为钝角三角形,求;I的范围.
18.甲题型:给出如图数阵表格形式,表格内是按某种规律排列成的有限个正整数.
(1)记第一行的自左至右构成数列{a(i,")},S”是8(1再)}的前几项和,试求治的表达式;
(2)记a(m,n)为第m行第九列交点的数字,观察数阵请写出a(mm表达式,若a(mm)=2017,试求出m,
兀的值.
19.已知f(x)=ax+x/nx(a6R),曲线y=/(x)在点(l,f(1))处的切线斜率为2.
(/)求f(x)的单调区间;
(n)若2/(乃-(fc+l)x+fc>0(keZ)对任意X>1都成立,求k的最大值.
20.如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形且与底面ZBCD垂直,底面4BCD是矩形,E
是AB的中点,PC与平面4BCD所成的角为30。.
(I)求二面角P-CE-。的大小;
(口)当力D为多长时,点D到平面PCE的距离为2?
21.己知椭圆C:圣+'=l(a>b>0)的左右焦点分别为0(一次,0)、F2(V3,0),经过的直线I与
椭圆C交于4、B两点,且的周长为8.
(1)则椭圆C的方程为;
(2)斜率为2的直线a与椭圆C交于P、Q两点,。为坐标原点,且OP1OQ,则直线m的方程为;
(3)若在x轴上存在一点E,使得过点E的任一直线与椭圆两个交点M、N,都有正余+麻为定值,
则此定值为.
22.已知/(x)=ex.
(I)求关于%的丽数g(x)=/(%)-4/(-x)-5x的单调区间;
(H)已知a>b,证明:丝2贮三三(/+4+4?呼).
a-b-6、'
参考答案及解析
1.答案:B
解析:
把己知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共扼复数的概念得答案.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.
解:由z(-l+i)=|1+3甲,
得2=曳生=旦=*^_=-5-53
-1+i-1+i(-l+i)(-l-i)
・•・z=-5+5i.
故选B.
2.答案:C
解析:试题分析:当翳似国时,有给同1成立,所以品魅邃,驾911是真命题,故选C.
考点:本题考查了全称(特称)命题的否定
点评:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题
3.解析:试题分析:0的根即国和国交点横坐标;S的根即冈和区交点横坐标,在
同一直角坐标系中,画出函数图象,因为国和叵]互为反函数,其图象关于0对称,故与直
线0的交点亦关于S对称,则两个交点关于原点对称,所以□.
□
考点:/、指数函数和对数函数的图象和性质;2、反函数.
4.答案:C
解析:解:函数/(x)=—Rsinx,f'(%)是/1(%)的导函数,
对于选项①:由于f(x)=/(-x),所以f(x)是奇函数.故正确.
对于选项②:根据函数的图象,由于e四20,所以f(x)在(-10乃,10兀)内有19个极值点,故错误.
对于选项③:由于/■'(%)=elK(sin%+cosx)=/幻.V^sin(x+市),所以/''(x)在区间(0,弓)上为增函数,
故正确.
对于选项④:f(x)2ax在区间[0,g上恒成立,由于xNO,
所以:/(x)=ex-sinx,则:/(%)>ax,即etsinxNax,整理得它皆竺Na,
设g(x)=—£,则:g,(x)=Y丝,所以xe(0,今上函数为增函数,
故g(x)min=9(。)=1,所以aS1.故正确•
故选:C.
直接利用函数的性质的应用,三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用,导数的应用,
利用函数的导数求函数的单调区间,恒成立问题的应用求出结果.
本题考查的知识要点:函数的性质的应用,三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用,
导数的应用,利用函数的导数求函数的单调区间,恒成立问题的应用,主要考查学生的运算能力和
转换能力及思维能力,属于中档题型.
5.答案:C
解析:解:根据如图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,
a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,
这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.
由求出的a一定要在每行的第3,4,5,6个数,9a+104=1517,得a=157,是自然数.
故选C.
设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,
a4-16,a+17,a+18,根据题意求和验证.
此题考查数字的变化规律,利用表格中的数据特点进行简单的合情推理,得出9个数的关系是解决问
题的关键.
6.答案:B
解析:解:画出可行域如图所示,?|
其中B(3,0),C(l,l),0(0,1),
若目标函数z=ax+y仅在点(3,0)取得最大值,广―
由图知,直线z=ax+y的斜率小于直线x+2y-3=0的斜率,~"""
即-aV-5
解得a>
故选B.
X+2y—3<0
根据已知的约束条件x+3y-320,画出满足约束条件的可行域,再用图象判断,求出目标函数
,y-1<0
的最大值.
本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,
体现了数形结合思想、化归思想.
7.答案:C
解析:解:因为函数丁=sinx-V^cosx=2sin(x冶)图象沿x轴向右平移a个单位(a>0),得到y=
2sin(x-a一§
此时y=2sin(x--1)=-2cosx.图象关于y轴对称,
所以a的最小值为?
O
选择C
利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式,然后利用平移变换的法则,结合函数的对称性,求
出a的最小值.
本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的图象的变换,基本知识的考查.
8.答案:B
解析:
本题考查了等比数列的定义,根据笔=:可以得出答案.
十q
解:由条件各项为正数的等比数列{斯}的公比q*1,且a2,即
成等差数列,列方程可解,因为&3=+&2=。式1+q)=a1q2
=q=d,而色上=严旨=5=等,
“2a4+a5q(a3+a4)q2
故选B.
9.答案:B
解析:
由已知条件可得k2f(X)ma*,用导数确定函数函数的单调性,求解函数的最值,即可得到结论.
本题主要考查函数新定义的应用,根据定义九(X)=/(X)等价为求函数f(X)的最大值,求函数的导数
是解决本题的关键.
解:函数f(x)的导数f,(x)=济:产),=咚吧,
设g(x)=:-(1+)%),
则g(x)在(0,+8)单调递减,且g⑴=0,
令/''(%)=0,即3-(1+lux')—0,
解出x=1,
当0<尤<1时,尸(x)>0,fQ)单调递增,
当%>1时,f[x)<0,f(x)单调递减.
故当X=1时,f(x)取到极大值同时也是最大值/(I)=
故当k>:时,恒有/fc(x)=/(X)
因此k的最小值为之
e
故选:B.
10.答案:c
解析:本题考查直线与平面所成的角、面面平行的判定及性质,考查学生分析问题解决问题的能力
及空间想象能力.分别在CC1、上取点N、M,使得CN=;CCfD1M=:D1cl,连接B】N、
可证明平面MNBi//平面&BE,由B/〃平面&BE知点F在线段MN上,易证NB/Q为B/与
平面CODiG所成角,tanN/FC仁设出棱长,可求得C/的最大值、最小值,从而可得答案.
解:如图:
分别在CC1、C15上取点N、M,使得CNugyD1M=:D1cl,连接B/、8/,则MN〃CDi,
vBC//AD,BC=ADfAD/fA^40=/也,・•・8。〃4也,BC=
四边形BCD14为平行四边形,则CD1//B4,
•CN=-CCI,DE=-DD1,NE"C\Di,NE=G0「
又CiDJ/A、B\,—A1B1,
•.NE//A1Bl,NE=A1B1,
.••四边形NE4B1为平行四边形,则为N〃&E,
且MNnBiN=N,
••・平面MNBi〃平面&BE,
•••B/〃平面&BE,点F必在线段MN上,
连接C/,••・8©_L平面CDDiG,•••立当”1即为8/与平面CD。11cl所成角,
设正方体棱长为3,则CiN=Ci"=2,当?为MN中点时,C/最短为七,
当F与"或N重合时,C/最长为2,
3333&
tanz.^i=------=------
即所求正切值的取值范围是{冽।gK根«ge}.
故答案为:C.
11.答案:D
解析:解:由双曲线的定义可得4巳-4居=2a,BF?-BF[=2a,
AAF2+BF2-AB=4a=32,即4%+BF2-10=32,AF2+BF2=42.
△4BF2(尸2为右焦点)的周长是(AF1+AF2)+(BF1+FF2)=(<AF2+FF2)+=42+10=52.
故选:D.
由双曲线的定义可得4尸2+BF2=42,△AB&的周长是(4凡+AF2)++BF2)=(AF2+
BF2^+AB,计算可得答案.
本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出4F2+BF2=42是
解题的关键.
12.答案:B
解析:解:设。(乃=W,则/(x)=侬?"畜詈3=〃丝詈”
又/'(%)-仇2/(X)>0,则g'(%)>0恒成立,
・・・g(x)在R上单调递增,
••・翁〉翳,即“5)>4/⑶.
故选:B.
设9(x)=祟,求导可知g'Q)>0恒成立,g(x)在R上单调递增,则g(5)>g(3),由此可得解.
本题考查利用导数研究函数的单调性,考查构造函数思想及运算求解能力,属于中档题.
13.答案:7
解析:解:由题意可得S-BC='四II前|sin4B2C=竽,
代入值解得sin/BAC=乌由荏•前<0可知/B4C为钝角,
2
故COSNBAC=-3,所以|比|=|前-荏|
=JIACl2+\AB\2-2\AC\\AB\cos^BAC
=j52+32-2x5x3x(-i)=7
故答案为:7
由三角形的面积公式可得sin/B4C=日,进而可得COSNBAC=-%Kn\BC\=\AC-AB\=
J|初2+|西2一2|宿丽cos加C,代入值化简即得答案.
本题考查向量的基本运算,涉及三角形的面积公式,属中档题.
14.答案:—3
解析:解:£即3"即63。=件吟誓—1,
tan60
tanl23°—tan63°
tan630tanl230=
tan60°
所以tan30tan63°+tan63°tanl23°+tanl23°tanl83°=%竺巴等-3=0-3=-3.
tan60
故答案为:—3.
由己知定义结合和差角公式进行化简,然后结合诱导公式进行化简可求.
本题以新定义为载体,主要考查了和差角的正切公式,属于基础题.
15.答案:一2
解析:解:设y=V1—x2,
taatanp_1+3
・•・Qn(Q0)=
1-tatanpl-x3
a=「Vl-%2
•・•tn0=3,
则有:2+y=1的半径r=1,(y>),
・•・a=7T一.
4
・•・tan=1.
故答案:-2.
本题可以利曲线丫=万千,xeo,]与x围成的图形积求出&=/;万中d,再两与差的切公式
求出tan(+0)的,得到本题结.
本题考查了定积分的几何意、角和与差的正切公式,本题度不于基题.
16.答案:2
解析:解:抛物线y2=4%的准线方程为久=-1.
设4点的横坐标为x,则
•••\AF\=3,
・•・根据抛物线的定义可得伊川=3=x+1,
故答案为:2.
确定抛物线y2=4x的准线方程,利用抛物线的定义,可求4点的横坐标.
抛物线的定义告诉我们:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.
17.答案:解:(I)由(20—c)cosB=bcosC得,(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
整理得:2sinAcosB=sin(8+C)=sinA,
vsinAHO,:,cosB=
2
•JBG(0,7T),・.,B=p
(口)由siMA=sin2F+sin2c—XsinBsinC,(AG/?),得:a2=h24-c2—入be,
则T;
b+a
(皿)由(口)知,cosA=^b~-=p
如果角4为钝角,即1<4<拳则有甘<1<0,
解得:一1<,<0;
如果角C为钝角,0<4<£则有立<人<1,
622
解得:V3<A<2,
综上,Xe(-1,0)U(V3,2).
解析:(I)已知第一个等式利用正弦定理化简,整理后根据s讥4不为0求出cosB的值,即可确定出角
B的大小;
(II)已知第二个等式利用正弦定理化简得到关系式,利用余弦定理表示出cos4把得出关系式及4=
我代入求出cosA的值,即可确定出角C;
(III)表示出cosA,由三角形为钝角三角形,分4为钝角与C为钝角两种情况求出;I的范围即可.
此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
18.答案:解:(1)根据上述分析,数歹U{a(i,n)}其实就是第n列的首项记即=31可,
观察知:a(i,i)=1,a2—a(i,2)=2=+1>d3—a(i,3)=+1=4,
42—4
I
a4=Q(,4)=——1-1=7,…,
1
归纳得a.=a(i,n)=勺+1-
2221-
Sn=1(l+2H------Fn)-1(1+2H------n)+n=xin(n+l)(2n+1)-^n(n+1)+n=
7n(n2+5);
(2)由(1)知,第k族第一个数(首项”(5)=?+1=i[n(n-l)+2],
通过观察表格,找出共同特性可得a(i,5)=与5x4+2]=11,
0(2,5)=1[(2+5-I)2+(2-5+1)]=17,%,4)=1(4+4-1)2+(4-4+1)]=25,
于是观察归纳得:a(m,n)=[(n+m-I)2-(n+m-1)+2]+(m-1)=j[(n+m-I)2+(771-
n+1)],
(其中m为行数,n表示列数)
设。3划=2017,rm,n€N*,现对m可能取值进行赋值试探,然后确定"
取m=l,则a(i,n)=g[n(n-1)+2]=2017,可得n(n—1)=4032,
易知63・64=4032,故必然n=64,于是2017必在第64族的位置上,
故2017是第64族中的第一行数.m=1,n=64.
解析:⑴计算{%四}的前几项,可得即=%")=子+1.再由n个正整数的平方和公式,以及等差
数列的求和公式,计算可得所求和;
(2)求得agn)=|[(n+m-I)2-(n+m-1)+2]+(m-1)=1[(n+m-I)2+(m-n+1)],
m=1可得Ti的方程,解方程即可得到所求值.
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查归纳法的运用,考查化简变形能力和运算能
力,属于中档题.
19.答案:解:(/)/,(x)=a+/nx+l,
・••曲线y=/(x)在点(1/(1))处的切线斜率为2,
:■/'⑴=Q+1=2,
,Q=1,
・•.f(x)=Inx+2,
当%E(0,e-2)时,v0,/(%)递减,
当%W(e-2,+8)时,f'(x)>0,/(%)递增;
・・・八%)的单调递减区间为(0,e—2),单调递增区间为(3-2,+8);
(H)2/(x)一(A+l)x+k>0,
x+2xlnx
・•・k<
x-1
2x—3—2lnx
令。(乃=巴誓,则g'(x)=
(%T)2
设h(%)=2%—3—21nx,则//(%)=2-->0
・・・九(%)在(l,+8)上为增函数,
V/i(2)=1-2ln2<0,八C)2-21n^>0,
•1•3x0€(2,|),且h(xo)=0,
当%6(L&)时,九(%)<0,g'(x)<0,g(x)在(I,%。)上单调递减;
当%E(%o,+8)时,ft(x)>0,g'(x)>0,g(x)在(右,+8)上单调递增.
,、,、&+2xolnxo
・••g^min=g(%。)=———;—
v九(汽o)=2x0—3—2lnxQ=0,
•*,9(%o)=2%o,
■:xoW(2,-)r2XQ6(4,5),
又k<2x0,
・・•/c的最大值为4.
解析:(/)由((1)=2得a,从而可得((吗=仇%+2,在定义域内解不等式((无)>0,/'(%)V0可
得函数的单调区间;
(11)不等式整理成人<已宇,令g(x)=*竺,只需求出g(x)的最小值即可.
本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题时合理构造函数
是解题的关键.
20.答案:(本小题满分12分)
解:(1)取4。的中点。,连接POJFPA。是正三角形,
•••PO1AD,
又面PAOl^ABCD:.PO,面ABC。….(1分)
以。为原点,过。且平行于ZB的直线为x轴,。。所在直线为y轴,
OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
连接。C,则"C。为PC与面4BCD所成的角,APCO=30°.
z,
X
设40=a,则P0=^a,•••0C=:a,CC=V^a...(2分)
••p(0,0,当a),C(V2a,",0),E(当a,一表0),
"族=(ya,-^-ya),PC=(V2a,a,-ya),
设平面PCE的一个法向量为元=(x,y,z),
Za
VT2-V-3O
fa-y=
l22
则flz
H
亿+V-3
I-a2
a-yO
V
2Z.Z
立
n-=
2,(5
连接DE,易知平面。EC的一个法向量为前=(0,0,ya)...(6分)
••.cos(利元>=磊=今
••・二面角P-CE-D的大小为45。...(8分)
(n)D(0,p0),则而=(一夜a,0,0),
。到面PCE的距离d=粤=渔。,
|n|3
当[a=2,即。=历时,11AD|=2|0D\=V6»
所以当AD=巡时,点。到平面PCE的距离为2….(12分)
解析:(1)取4。的中点。,连接P。.以。为原点,过。且平行于的直线为x轴,。。所在直线为y轴,
0P所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接0C,则NPC。为PC与面4BCD所成的角,设
AD=a,求出平面PCE的一个法向量,连接DE,求出平面DEC的一个法向量,利用空间向量的数量
积求解二面角P-CE-。的大小.
(n)利用向量求解。到面PCE的距离转化为点。到平面PCE的距离为2即可.
本题考查二面角的平面角的求法,点线面距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
21.答案:?+旷2=12x-y±2=05
c=V3
解析:解:(1)由题意可知,4a=8,
L2=b2+c2
a=2
解得:b=1,
*c=V3
・,.椭圆的方程为:+y2=i.
2
(2)设直线Hi的方程为y=2%+3则由了:;;;可得9+y2=(宁)2,
即(4/-4)()2+16(?)+(t2-16)=0,
OP1OQ,
会=T=〃=4=t=±2,
*直线m的方程为y=2x±2即2x-y±2=0.
(3)设E(m,0)、/V(x2,y2),
①当直线MN不为x轴时,设方程为x=ty+m,
x=ty+m
{次2=]=(产+4)y2+2tmy+(m2-4)0,
4y-
.2tmm2-4
■-%+%=一再nyiy2=KT
.11__11_1(%+力)2-2》,2_1(32_87n2)+(2m2+8)产
\EM\2|EN『(t2+l)yf(l+t2)yf(1+t2)yjyf1+t2(m2-4)2
・•・当且仅当32-8m2=2m2+8即m=土亚受时彘+康=5(定值)
5Ilc/vl
即在x轴上存在点E使得焉+麻为定值5,此时点E的坐标为(竽,0)或(-等,0).
经检验,
②当直线MN为x轴时,经检验上面求出的点E也符合题意,
11
综上所述,在x轴上存在一点E,使得过点E的任一直线与椭圆两个交点M、N,都有I高Er1*1市I+石ItIN而I为定
值,则此定值为5.
(1)根据题意列出关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,从而得到椭圆C的方程.
⑵直线,的方程为y=2x+t,与椭圆方程联立,利用。P1OQ可求出t的值,从而得到直线m的方程.
(3)设E(m,O)、M(x1,yi)、W(x2,y2),当直线MN不为x轴时,设方程为*=ty+m,与椭圆方程联立,
由韦达定理可得以+'2=-黑,%为二需,代入高+高二小+卷化简,即可得
到当且仅当m=±也时磊+康=5(定值),当直线MN为x轴时,经检验上面求出的点E也符合
5I1cl
题意,
本题主要考查了椭圆方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了学生的计算能力,是中档题.
22.答案:解:(I)g(x)=靖一46-*-5x,g'(x)=ex+4e-x-5=e-x(ex-l)(ex-4),
二g'(x)>0ox>m4或*<0,g(x)的增区间为(一8,0),(ln4,+oo);
g'(x)<0<=>x>0<x<ln4,g(x)的减区间为(0,仇4);
证明:(口)法一:<i(ea4-+4e-)^e--e-<-(a-b)(e-4-el-+4),
d—b66
令?=t>0,只要证3(et-e-t)<t(ef+e-t+4),
设/i(x)=x(ex+e~x+4)—3(ex—e-x),定义域为[0,+oo),
h!(x)=(%—2)ex—(%+2)e~x+4,
h"(x)=(x—l)ex+(%+l)e~x,
h,,f(x)=xex-xe-x=x(ex-e-x)>0,无〃(乃在[0,+8)递增,hf,
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