福建省莆田市2023-2024学年高一上学期期末数学试题

20232024学年福建省莆田市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义即可求解.【详解】由题意及图示可知，点的横坐标为，所以.故选：.2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数、指数函数单调性即可比较大小.【详解】由题意得.故选：A.3.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断选项.【详解】在上单调递增，也是单调递增函数，所以在上单调递增，当时，，，所以，则在上无零点.因为，，，，所以，则根据零点存在性定理可知，在上有零点.故选：D4.计算：（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可.【详解】.故选：A.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.【详解】由可得，解得：，故选：C.6.已知某种放射性元素在一升液体中的放射量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式且.已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为10时，大约为（）（参考数据：）A.50 B.52 C.54 D.56【答案】B【解析】【分析】根据已知列方程组先求出的值，然后利用对数运算可得.【详解】由题知，，解得，所以，由，得.故选：B7.已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为命题“，”为假命题，所以，命题“，”为真命题，因为集合，集合所以，当时，，此时成立，当时，由“，”得，解得，综上，实数的取值范围为故选：A.8.将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象变换得的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得的取值范围.【详解】函数的图像先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，令，，整理得，，由于函数在上单调递增，故，，解得，，所以，．故选：B．二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用指数幂和对数的运算法则即可求解.【详解】对于选项A，，故选项A正确；对于选项B，，故选项B不正确；对于选项C，，故选项C正确；对于选项D，，故选项D不正确.故选：AC.10.下列命题是真命题的有（）A.函数的值域为B.的定义域为C.函数的零点所在的区间是D.对于命题，使得，则，均有【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，令，则的开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，所以的值域为，A选项正确.B选项，对于函数，由得，解得，所以的定义域为，B选项错误.C选项，在上单调递增，，所以函数的零点所在的区间是，C选项正确.D选项，命题，使得，其否定是，均有，D选项错误.故选：AC11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象【答案】BD【解析】【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.【详解】解：根据函数的部分图象，可得，可得，由，解得，所以，对于A中，当，可得，所以不是函数的对称中心，所以A错误；对于B中，当时，可得，即函数的最小值，所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；对于C中，当，可得，根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确；对于D中，将函数该图象向右平移个单位，可得的图象，所以D正确.故选：BD.12.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则（）A.的最小正周期为B.关于点对称C.在是上单调递增D.若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为【答案】CD【解析】【分析】首先化简函数，再结合函数的性质求，并结合函数的性质，判断选项.【详解】因为，所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，因为关于y轴对称，所以，即，又因为，所以，A.对于，故A错误；B.，故B错误；C，由，得，所以当时，的单调递增区间为，又因为，所以在上单调递增，故C正确；D，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数a的取值范围为，故D正确．故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】【分析】根据最小正周期公式“”可求解.【详解】由于，所以.故答案是：.14.已知，，则________.【答案】##【解析】【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为，，所以，又因为，所以，故答案为:15.已知且，则的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案.【详解】，当且仅当，即时等号成立.所以，的最小值为.故答案为：.16.已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，所以实数的取值范围是：.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得；（2）由条件可得是Q的真子集，再分集合是否为空集讨论求出结果即可【小问1详解】当时，集合，可得或，因为，所以【小问2详解】若“”是“”充分不必要条件，所以是Q的真子集，当时，即时，此时，满足是的真子集，当时，则满足且不能同时取等号，解得，综上，实数的取值范围为.18.已知，，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数关系，结合两角差的正弦公式求解；（2）由二倍角公式，结合两角和的余弦公式求解．【小问1详解】因为，所以，则，，又因为，，所以，，所以，因为，所以；【小问2详解】由（1）知，，，故，，所以．19.已知函数.（1）若对一切实数都成立，求的值；（2）已知，令，求在上的最小值.【答案】（1）0（2）.【解析】【分析】（1）根据根判别式得到不等式，求出答案；（2）求出，利用基本不等式求出最值，得到答案.【小问1详解】，即恒成立，，解得，所以的值为0【小问2详解】由已知有，当时，，当且仅当，即时取得最小值，故在上最小值为.20.已知函数，且.（1）求的值及的定义域；（2）求不等式的解集.【答案】（1），定义域为（2）【解析】【分析】（1）根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域；（2）变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可.【小问1详解】因为，解得．所以，由题意可得解得，故的定义域为．【小问2详解】不等式等价于，即，由于在上单调递增，则解得．故不等式的解集为．21.已知，求：（1）的最小正周期及单调递增区间；（2）时，恒成立，求实数的范围．【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，（2）【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，再根据最小正周期及单调递增区间的公式求解出结果；（2）先求出在上的最小值，从而可知的最小值，再将问题转化为“”，由此求解出的取值范围.【小问1详解】，的最小正周期，由，，可得，，函数的单调递增区间为，．【小问2详解】，，在上单调递增，在上单调递减，且，，，当即，，要使恒成立，则，即，可得，故实数的范围是．22.已知函数.（1）求实数的值，使得为偶函数；（2）当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（