2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷（有答案）

2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）抛物线y＝﹣2x2+3的顶点为（）A．（0，3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（0，﹣3）2．（4分）以下各点中，不在反比例函数的图象上的点为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（1，5） D．（4，1.5）3．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2（x﹣1）2+5 C．y＝2（x+1）2﹣5 D．y＝2（x+1）2+54．（4分）如图，△ADE∽△ABC，，若DE＝1，则BC的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．45．（4分）已二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，则下列结论不正确的是（）A．m＝2 B．抛物线的开口向上 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＝2时，函数有最小值26．（4分）如图，，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAE B． C． D．∠ABD＝∠ACE7．（4分）已知AB＝4，点C在线段AB上，AC是AB，BC的比例中项，则AC的长（）A． B． C． D．8．（4分）点（m，n）在二次函数y＝﹣x2+3图象上，m+n的最大值是（）A．3 B． C． D．9．（4分）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（）A． B． C． D．10．（4分）已知，抛物线与一个交点为（3，0）．规定：当y1≥y2时，y＝y1；当y1＜y2时，y＝y2；下列结论：①y有最小值3；②y关于x函数图象关于直线对称；③直线y＝1与y关于x的函数图象有4个交点；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）如果2a＝3b（b≠0），那么＝．12．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为．13．（5分）直线y＝6与双曲线，相交于点A，B，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，四边形ACDB的面积为5，则m的值为．14．（5分）如图，点E是矩形ABCD边AD一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折至△FBE处，若AB＝6，BC＝8，则：（1）若点F在BD上，则AE＝；（2）若F到边AD，BC距离之比为2：1，则AE＝．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴相交于点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式．16．（8分）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，交BC于F，且BF＝CF，DC延长线交AE于E，AB＝2，AD＝5．（1）求证：AB＝BF；（2）求S△EFC：S△EAD的值．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）直接写出二次函数y＝x2﹣6x+8图象的顶点坐标；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当0＜x＜4时，y的取值范围是．18．（8分）已知反比例函数的图象经过第一、三象限．（1）求k的取值范围；（2）若a＞0，此函数的图象过第一象限的两点（a+5，y1）（2a+1，y2），且y1＜y2，求a的取值范围．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）发射装置距离地面15米的点A处，向上发射物体，物体离地面的高度y（米）与物体运动的时间x（秒）之间满足函数关系y＝﹣5x2+mx+n，其图象如图所示，物体从发射到落地的运动时间为3秒．（1）求此函数的解析式；（2）求发射的物体到达最高点B时距地面的高度？20．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，∠A＝∠CBD．（1）求证：CD2＝BC•CE；（2）若CD＝1，BD＝2，AB＝3，求DE的长．六、解答题（本题满分12分）21．（12分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（﹣1，6），．与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式的解集．七、解答题（本题满分12分）22．（12分）如图，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AB上，∠ADE＝90°，∠AED＝∠B+∠BAD．（1）求证：AD2＝AC•AE；（2）作EF⊥BC于点F，CD＝2，，求BD的长．八、解答题（本题满分14分）23．（14分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D．（1）求A，B的坐标和直线BC的解析式；（2）连接BP，求△CPB面积的最大值；（3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．

2023-2024学年安徽省合肥市包河区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+3，∴抛物线顶点坐标为（0，3），故选：A．2．【解答】解：∵，∴xy＝6，A．（﹣2）×（﹣3）＝6，故不符合题意；B、（﹣3）×（﹣2）＝6，故不符合题意；C、1×5＝5≠6，故符合题意；D、4×1.5＝6，故不符合题意；故选：C．3．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移1个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为（1，﹣5），所以平移得到的抛物线的表达式为y＝2（x﹣1）2﹣5．故选：A．4．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴＝，∵，DE＝1，∴＝＝，解得：BC＝3．故选：C．5．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+2的图象关于y轴对称，∴﹣＝0，m≠0，解得m＝2，∴二次函数为y＝2x2+2，∴抛物线开口向上，当x＝0时，函数有最小值2，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，不合题意；D错误，符合题意．故选：D．6．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵＝，∴＝，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；∵＝，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；∵＝，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，又＝，∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；由＝，∠ABD＝∠ACE，不能判定△ABC∽△ADE，故D符合题意；故选：D．7．【解答】解：设AC＝x，则BC＝4﹣x，∵AC是AB，BC的比例中项，∴AC2＝AB•BC，即x2＝4（4﹣x），解得：x＝﹣2±2，∵AC＞0，∴AC＝2﹣2．故选：B．8．【解答】解：将（m，n）代入y＝﹣x2+3得n＝﹣m2+3，∴m+n＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+，∴m＝时，m+n最大值为：，故选：C．9．【解答】解：过点F作FG∥CN交AB于点G，∵点M是DF的中点，∴N是DG的中点，∴MN是△DGF的中位线，∴GF＝2MN，∵GF∥CN，EF∥AB，∴四边形GFHN是平行四边形，∴NH＝GF＝2MN，∴MH＝MN，设MH＝MN＝a，则GF＝2a，∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝4DE，∵EF∥AB，DE∥BC，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF，∵FG∥CN，∴＝，∵＝＝，∴＝，∴CN＝4GF＝8a，∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，∴＝＝，故选：D．10．【解答】解：∵抛物线与一个交点为（3，0），∴9+3b﹣3＝0，﹣9+3c﹣3＝0，∴b＝﹣2，c＝4，∴y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝﹣x2+4x﹣3，由当y1≥y2时，y＝y1；当y1＜y2时，y＝y2画出图象如图：由图象可知，①y有最小值﹣3，故①错误；②y关于x函数图象没有对称轴，故②错误；③直线y＝1与y关于x的函数图象有3个交点，故③错误；④当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．【解答】解：∵2a＝3b（b≠0），∴＝．故答案为：．12．【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1，（﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0），则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．13．【解答】解：设直线y＝6与y轴交于点E，则矩形ACOE的面积为3，∵四边形ACDB的面积为5，∴矩形OEBD的面积为2，∴|m|＝2，∵m＜0，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：（1）如图1，点F在BD上，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴AD＝BC＝8，∠A＝90°，∴BD＝＝10，由翻折可知：AE＝EF，AB＝BF＝6，∠BFE＝∠A＝90°，∴DF＝BD﹣BF＝10﹣6＝4，DE＝AD﹣AE＝8﹣AE，∠DFE＝90°，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DE2＝EF2+DF2，∴（8﹣AE）2＝AE2+42，∴AE＝3；故答案为：3；（2）如图2，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴GH⊥BC，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，∴FH+GF＝6，∵F到边AD，BC距离之比为2：1，∴GF＝2HF，∴3HF＝6，∴HF＝2，∴GF＝2HF＝4，由翻折可知：AE＝EF，AB＝BF＝6，∴BH＝＝＝4，∴AG＝BH＝4，∴EG＝AG﹣AE＝4﹣AE，在Rt△GEF中，根据勾股定理得：EF2＝EG2+GF2，∴AE2＝（4﹣AE）2+42，∴AE＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．【解答】解：设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，则﹣5a＝﹣5，则a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5．16．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AFB，∵AE平分∠BAD，∴∠AFB＝∠BAF，∴AB＝BF；（2）解：由（1）知：AB＝BF，∵BF＝CF，∴AB＝BF＝CF＝2，∵AD∥BC，AD＝5，∴△EFC∽△EAD，∴S△EFC：S△EAD＝（）2＝．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．（2）如图，（3）将x＝0代入y＝x2﹣6x+8得y＝8，∵抛物线顶点坐标为（3，﹣1），∴当0＜x＜4时，﹣1≤y＜8，故答案为：﹣1≤y＜8．18．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴k﹣4＞0，解得：k＞4．∴k的取值范围是：k＞4．（2）∵反比例函数图象过第一象限的两点（a+5，y1）（2a+1，y2），且y1＜y2，∴a+5＞2a+1，解得：a＜4，又∵a＞0，∴a的取值范围是：0＜a＜4．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．【解答】解：（1）由题意，得点A的坐标为（0，15），点C的坐标为（3，0），将（0，15），（3，0）代入函数关系y＝﹣5x2+mx+n中，得：，解得，∴函数的解析式为：y＝﹣5x2+10x+15；（2）∵y＝﹣5x2+10x+15＝﹣5（x﹣1）2+20，∴发射的物体到达最高点B时距地面的高度为20米．20．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵∠A＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴CD2＝BC•CE．（2）解：∵AB∥CD，CD＝1，BD＝2，AB＝3，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴AE＝3DE，∴AD＝DE+3DE＝4DE，∵∠A＝∠CBD，∠BDE＝∠ADB，∴△ABD∽△BED，∴＝，∴AD•DE＝BD2＝22＝4，∴4DE2＝4，解得DE＝1或DE＝﹣1（不符合题意，舍去），∴DE的长是1．六、解答题（本题满分12分）21．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，6）在反比例函数的图象上，∴m＝﹣1×6＝﹣6．∴反比例函数解析式为y＝﹣．∵点B在反比例函数图象上，∴．∴a＝1．∴B（3，﹣2）．∵点A（﹣1，6），B（3，﹣2）在一次函数y＝kx+b的图象上，∴．解得．∴一次函数解析式为y＝﹣2x+4．（2）由直线y＝﹣2x+4可知C（2，0），观察图象，不等式的解集是2＜x＜3．七、解答题（本题满分12分）22．【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠B+∠BAD，∴∠ADC＝∠AED，∵∠ACD＝∠ADE＝90°，∴△ACD∽△ADE，∴＝，∴AD2＝AC•AE．（2）解：∵EF⊥BC于点F，CD＝2，∴∠DFE＝∠ACD＝∠ADE＝90°，∴∠FDE＝∠CAD＝90°﹣∠ADC，∴△DFE∽△ACD，∴＝，∴＝＝，∴AC＝2CD＝4，作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠BGD＝90°，∵△ACD∽△ADE，∴∠CAD＝∠EAD，∴AD平分∠BAC，∴GD＝CD＝2，∵AD＝AD，∴Rt△AGD≌Rt△ACD（HL），∴AG＝AC＝4，∵AB•GD＝BD•AC＝S△ABD，∴×2（4+BG）＝×4BD，∴BG＝2BD﹣4，∵BD2＝BG2+GD2，∴BD2＝（2BD﹣4）2+22，解得BD＝或BD＝2