2021届高三数学“小题速练”含答案解析22

2021届高三数学“小题速练”22

答案解析

一、单项选择题

1.已知集合A={x|-+y2=4,B==,则4知8=()

A.[0,1]B,[0,4<»)C.{-1,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】

集合A={x|f+y2=1}是x的取值范围，8={y|y=x2}是函数的值域，分别求出再求交集.

【详解】解：y2=l-x2>0,-1<X<1,5={y|y=£}=[0,+oo)

AnB==[-i/n[o,+8)=[o,i]

故选：A

【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.

2.已知复数(2+ai)(3+i)在复平面内对应的点在直线y=x上，则实数。=()

A.-2B.-lC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.

【详解】因为（2+ai）（3+i）=6—a+（2+3a）i,

所以对应的点为（6—2+3a）,

代入直线y=x可得6—a=2+3a,

解得a—\,

故选：C

【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.若log“。<0（a>0且awl）,2h~~b>1>则（）

A.a>l,b>\B.0<«<1>b>\

C.a>l,O<Z><1D.0<a<l,O<Z><1

【答案】B

【解析】

【分析】

先由得，b2-b>0<又由/?>0，可得力>1,而log«b<0,可得0<a<l

【详解】解：因为2/4>1，所以旷—b>0,

因为b>0,所以Z?>1,

因为log“b<0,b>\,

所以0<。<1,

故选：B

【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题

4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的唇长损益相同（皆是按照

日影测定时刻的仪器，号长即为所测量影子的长度）.二十四节气及唇长变化如图所示，相邻两个节气辱长

减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的唇长为一丈三尺五寸，夏至的唇长为一尺五寸（一丈等

于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）

例ft。而明至雨

,,30立反

**300

4X.田1

冬至27090夏至

4

、霜薛惠骞18。

rtlltt.e/

鼻长逐渐变不

A.相邻两个节气劈长减少或增加的量为一尺

B.春分和秋分两个节气的号长相同

C.立冬的柳长为一丈五寸

D.立春的号长比立秋的唇长短

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知夏至到冬至的唇长构成等差数列，其中弓=15寸，/3=135寸，公差为d寸,可求出d,利

用等差数列知识即可判断各选项.

【详解】由题意可知夏至到冬至的号长构成等差数列{4},其中%=15寸，0,3=135寸，公差为d寸，则

135=15+124,

解得d=10（寸），

同理可知由冬至到夏至的唇长构成等差数歹以2},首项4=135,末项43=15,公差△=—1（）（单位都为

寸）.

故选项A正确；

1,春分的唇长为。7，二用=伪+64=135-60=75

1,秋分的署长为的，・'•%=。|+64=15+60=75,所以B正确；

•••立冬的号长为时,••.4o=4+9d=15+9O=lO5,即立冬的号长为一丈五寸，C正确；

•••立春的号长，立秋的号长分别为4,%,

二4=4+3d=15+30=45,仇=4+3d=135-30=105,

.•.”>%，故D错误.

故选：D

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.

5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混

装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）

A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签

B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签

C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签

D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签

【答案】C

【解析】

【分析】

若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所

有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.

【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还

是有苹果和柑子；

同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.

分两种情况:(1)如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就

是苹果和柑子.

(2)如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑

子.

故选：C

【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果

就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.

6.已知向量赤=(起,2板)，将丽绕原点。逆时针旋转45。到丽的位置，则丽=()

A.(1,3)B.(-3,1)C.(3,1)D.(-1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

设向量而与X轴的夹角为1,结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得

cosa,sina,cos(«+45°),sin(a+45°),得到点p'的坐标，进而求得Op；.

【详解】由题意，向量丽=(a,2&),则|丽卜

设向量而与九轴的夹角为。，则cosa=、=,sina=­7=,

VioVio

由(“V。、&夜20及V10

所以cos(a+45)=cosacos45-sinasin45--j=x------=x——=-----

V102Vio210

2725/2V2V23x/10

sin(a+45°)=sinacos45°+cosasin45°=—7=x——+—=x——=------

Vio2V10210

部)=7，回卜皿&+45。)=而x^l=3

可得|加卜os(a+45。)=x(-

所以OP'=(-1,3).

故选：D.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的

综合应用，着重考查推理与运算能力.

〃1

7.已知函数“X)对任意都有2/(x+y)=/(x)/(y),且/⑴=1,则Z7K=()

/■=0J\1)

A.2"-1B.2"--C.1---D.2---

22"2"

【答案】B

【解析】

【分析】

利用赋值法再结合条件，即可得答案；

【详解】由所求式子可得/(0)/0,

令x=y=0可得：/⑼/①/⑼=/⑼:2,

令X=y=l可得：/⑵=/⑴"⑴」

22

令x=l,y=2可得：/(3)=/⑴?⑵=*,

令x=y=2可得：/(4)J⑵，⑵=1,

/(〃)==，

.”1.:(1-2叫

七/①占1-22

故选：B.

【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化

归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.

8.已知正四棱柱,设直线AA与平面ACC出所成的角为a,直线CR与直线Ag所成

的角为£,则()

jr

A.。=2aB.a—2/3C.a=]3D.a+/3=—

【答案】D

【解析】

【分析】

分别在正四棱柱中找到a和夕，将a和£放在同一个平面图形中找关系即可.

【详解】作正四棱柱ABCO—AGGA如下图:

•••在正四棱柱ABC。—A4G。中，A4J.平面A/CQi,

A4,，8a

•.•底面A4G。是正方形

BQ±4cl

又,:A4,c4G=A

/.瓦A_L平面AB[C]£>]

NB]AO是直线AB,与平面ACC,A,所成的角，即ZB,AO=a

CD.//A.B

.../BAG是直线CR与直线4G所成的角，即血3=0

VA,B=B,A,40=30,OA=OB

：./XABO也△81A0

NBAC|=ZAgO=£

•.•BR，平面4gGA

B.O1OA

TT

：.a+0=NBiAO+NABQ=5

故选：D

【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列说法正确的是（）

A.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本

科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4,

则应从一年级中抽取90名学生

B.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为!

C.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得1=3,亍=3.5,则由该观测数据算得线性回归方程可能是

y=0.4x+2.3

D.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对

立的事件

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念分别进行判断.

【详解】A.由分层抽样，应制取人数为300x号7r9。，A正确;

C3cl1

B.恰好取到1件次品的概率为P=十=-B正确;

叱2

C.V3.5=(14x3+2.3,直线y=0.4x+2.3过中心点(3,3.5),可能是回归直线方程，C正确；

D.一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立

事件的概念等知识，要求较高，属于中档题.

TT

10.已知定义在(0,5)上的函数/(X),/'(X)是/(幻的导函数，且恒有cos灯7x)+sin0>(x)<0成立，则

()

A./吟)>&/(今B.V3/(|)>/(^)

6463

C.八夕>何(今D-⑸铲“)

o3

【答案】CD

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=/@,然后利用导数和已知条件求出g(x)在(0,四)上单调递减，从而有

>

cosx2

>g(-),据此转化化简后即可得出结论.

［详解］设g(x);四，则gG)=Csx-sinx,

cosXcosX

71

因为x£(0,—)时，cosxf\x)+sinxf{x)<0,

ll-八兀…，/、f-cosx+f(x)-sinx八

所以xw(0,一)时，--------------------<0,

2cosx

71

因此g(x)在(0,」)上单调递减，所以

2

/(-)/(-)/(-)/(-)

即请,啜=绮>厉令请>今=>忘/(9>&/(£).

-264

222

故选：CD.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造函数比较大小，有一定难度.解题关键是构造合适

的函数，一般从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换进行构造；②若是选择题，可根据选项的共性

归纳构造恰当的函数.

71

11.设函数g(x)=si"5(0>O)向左平移二个单位长度得到函数兀v),已知其x)在[0,2和上有且只有5个零点,

5a)

则下列结论正确的是()

7F

A.火外的图象关于直线x=万对称

[5.於)在(0,2以上有且只有.3个极大值点，y(x)在(0,2%)上有且只有2个极小值点

TT

c.yu）在（o,历）上单调递增

1229

D.勿的取值范围是［二,正）

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用正弦函数的对称轴可知，A不正确；由图可知/（x）在（。，2万）上还可能有3个极小值点，8不正确；由

37r7r3乃

4<2万解得的结果可知，。正确；根据/&）在（0,丁）上递增，且—，可知C正确.

10Q1010。

TT'll'II'2TT

【详解】依题意得/（x）=g（x+—）=sin［o（x+—）］=sin（s+—）,T=——,如图：

5695a）5co

rrjrKTEJ7T

对于A，令。*+—=%乃+一，kwZ,得*=—+——，kwZ,所以f(x)的图象关于直线

52co10<w

k437r

x=---1----(左£Z)对称，故A不正确；

co10G

对于根据图象可知，4<2乃<乙,/（X）在（0,24）有3个极大值点，/⑶在（0,2团有2个或3个极小

值点，故B不正确，

।十r-iu九57T527r24万冗502〃29万

对于Z）,因为5=----1—T=-----1—x—=----,xB=-----1_3T=----b3x—=----,所以

56y25o）2CD5a）5。5。co5。

24〃29万—12j29,十"

---W2〃<----，解得—《刃<—，所rr以i。正确；

5co5co510

jr1jr1?n37r29

对于C,因为——+—7=——+—X—=由图可知/（幻在（0,——）上递增，因为0〈一<3,

5G45G4G106910。10

n37r71371

所以F-k=-7（l一一）<°，所以“x）在（°，F）上单调递增，故C正确；

1010<w10co10

故选：CD.

【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的

概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

12.如图，在矩形A8CD中，M为BC的中点，将△4WB沿直线AM翻折成△4BM,连接BQ,N为B】D

的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A.存在某个位置，使得CNLABi

B.CN的长是定值

C.^AB=BM,则4Ml.BQ

D.若AB=BM=1,当三棱锥Bi-AMD的体积最大时，三棱锥由一AMZ）的外接球的表面积是4乃

【答案】BD

【解析】

【分析】

A中，取AO中点E，连接EC交MO与由题意判断三线NE,NF,NC共面共点，得出A不成立;

3中，利用余弦定理可得NC是定值，判断8正确；

。中，取AM中点。，连接用。，DO,由题意判断C不成立；

。中，当三棱锥片-AMD的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可.

【详解】解：对于A：如图1,取中点E,连接EC交与E,

则NE//Ag,NFHMB,,

如果CN_LAg,可得到EN工NF,

又ENJ.CN,且三线NE,NF,NC共面共点，不可能，则A错误.

对于8：如图1,可得由NNEC=NM44（定值）,

NE=工AB］（定值），AM=EC（定值），

2

由余弦定理可得MC2=NE2+EC2-2NE,ECyosNNEC，

所以NC是定值，则8正确.

对于C：如图2,取A"中点。，连接用。，DO,

由题意得AM，面。。与，即可得OZ）_LAM,

从而AD=MD，由题意不成立，可得C错误.

对于O：当平面与AMJ_平面AMD时，三棱锥用-AMO的体积最大,

由题意得AO中点”就是三棱锥耳-AMD的外接球的球心，

球半径为1,表面积是4万，则。正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，属

于中档题.

三、填空题：本题共4小题.

13.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13),

[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……,

第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数

为.

【答案】18

【解析】

【分析】

频数

由频率=不苴捺五以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出

样本谷量

总的人数，求出第三组的人数.

【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分

20

别为0.24,0.16,设总的人数为n,则—=0.24+0.16=0.4,/.〃=50.所以第3小组的人数

n

为50x0.36=18人.

故答案为18

【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌

握水平.

14.(x—』)(l-x)4的展开式中X3的系数为.

X

【答案】5

【解析】

【分析】

利用二项式定理求解即可.

t详解】(