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文档简介
2021届高三数学“小题速练”22
答案解析
一、单项选择题
1.已知集合A={x|-+y2=4,B==,则4知8=()
A.[0,1]B,[0,4<»)C.{-1,1}D.{0,1}
【答案】A
【解析】
【分析】
集合A={x|f+y2=1}是x的取值范围,8={y|y=x2}是函数的值域,分别求出再求交集.
【详解】解:y2=l-x2>0,-1<X<1,5={y|y=£}=[0,+oo)
AnB==[-i/n[o,+8)=[o,i]
故选:A
【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算;基础题.
2.已知复数(2+ai)(3+i)在复平面内对应的点在直线y=x上,则实数。=()
A.-2B.-lC.1D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
化简复数,求出对应点,代入直线方程求解即可.
【详解】因为(2+ai)(3+i)=6—a+(2+3a)i,
所以对应的点为(6—2+3a),
代入直线y=x可得6—a=2+3a,
解得a—\,
故选:C
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,直线的方程,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3.若log“。<0(a>0且awl),2h~~b>1>则()
A.a>l,b>\B.0<«<1>b>\
C.a>l,O<Z><1D.0<a<l,O<Z><1
【答案】B
【解析】
【分析】
先由得,b2-b>0<又由/?>0,可得力>1,而log«b<0,可得0<a<l
【详解】解:因为2/4>1,所以旷—b>0,
因为b>0,所以Z?>1,
因为log“b<0,b>\,
所以0<。<1,
故选:B
【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式,属于基础题
4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的唇长损益相同(皆是按照
日影测定时刻的仪器,号长即为所测量影子的长度).二十四节气及唇长变化如图所示,相邻两个节气辱长
减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的唇长为一丈三尺五寸,夏至的唇长为一尺五寸(一丈等
于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是()
例ft。而明至雨
,,30立反
**300
4X.田1
冬至27090夏至
4
、霜薛惠骞18。
rtlltt.e/
鼻长逐渐变不
A.相邻两个节气劈长减少或增加的量为一尺
B.春分和秋分两个节气的号长相同
C.立冬的柳长为一丈五寸
D.立春的号长比立秋的唇长短
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知夏至到冬至的唇长构成等差数列,其中弓=15寸,/3=135寸,公差为d寸,可求出d,利
用等差数列知识即可判断各选项.
【详解】由题意可知夏至到冬至的号长构成等差数列{4},其中%=15寸,0,3=135寸,公差为d寸,则
135=15+124,
解得d=10(寸),
同理可知由冬至到夏至的唇长构成等差数歹以2},首项4=135,末项43=15,公差△=—1()(单位都为
寸).
故选项A正确;
1,春分的唇长为。7,二用=伪+64=135-60=75
1,秋分的署长为的,・'•%=。|+64=15+60=75,所以B正确;
•••立冬的号长为时,••.4o=4+9d=15+9O=lO5,即立冬的号长为一丈五寸,C正确;
•••立春的号长,立秋的号长分别为4,%,
二4=4+3d=15+30=45,仇=4+3d=135-30=105,
.•.”>%,故D错误.
故选:D
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,等差数列在实际问题中的应用,数学文化,属于中档题.
5.有三个筐,一个装着柑子,一个装着苹果,一个装着柑子和苹果,包装封好然后做“柑子”“苹果”“混
装”三个标签,分别贴到上述三个筐上,由于马虎,结果全贴错了,则()
A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果,就能纠正所有的标签
D.从其中一个筐里拿出一个水果,不可能纠正所有的标签
【答案】C
【解析】
【分析】
若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果,无法判定剩余水果是一种还是两种,不能纠正所
有标签,若从“混装”标签中取出一个,就能判断其余两个筐内水果.
【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果,如果拿的是柑子,就无法判断这筐装的全是柑子,还
是有苹果和柑子;
同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断,因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.
分两种情况:(1)如果取出的是柑子,那说明这筐全是柑子,则贴有柑子的那筐就是苹果,贴有苹果的那筐就
是苹果和柑子.
(2)如果取出的是苹果,那说明这筐全是苹果,那贴有苹果的那筐就是柑子,贴有柑子的那筐就是苹果和柑
子.
故选:C
【点睛】解决本题的关键在于,其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起,所以能判断不是苹果
就是柑子,考查了逻辑推理能力,属于容易题.
6.已知向量赤=(起,2板),将丽绕原点。逆时针旋转45。到丽的位置,则丽=()
A.(1,3)B.(-3,1)C.(3,1)D.(-1,3)
【答案】D
【解析】
【分析】
设向量而与X轴的夹角为1,结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式,求得
cosa,sina,cos(«+45°),sin(a+45°),得到点p'的坐标,进而求得Op;.
【详解】由题意,向量丽=(a,2&),则|丽卜
设向量而与九轴的夹角为。,则cosa=、=,sina=7=,
VioVio
由(“V。、&夜20及V10
所以cos(a+45)=cosacos45-sinasin45--j=x------=x——=-----
V102Vio210
2725/2V2V23x/10
sin(a+45°)=sinacos45°+cosasin45°=—7=x——+—=x——=------
Vio2V10210
部)=7,回卜皿&+45。)=而x^l=3
可得|加卜os(a+45。)=x(-
所以OP'=(-1,3).
故选:D.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的
综合应用,着重考查推理与运算能力.
〃1
7.已知函数“X)对任意都有2/(x+y)=/(x)/(y),且/⑴=1,则Z7K=()
/■=0J\1)
A.2"-1B.2"--C.1---D.2---
22"2"
【答案】B
【解析】
【分析】
利用赋值法再结合条件,即可得答案;
【详解】由所求式子可得/(0)/0,
令x=y=0可得:/⑼/①/⑼=/⑼:2,
令X=y=l可得:/⑵=/⑴"⑴」
22
令x=l,y=2可得:/(3)=/⑴?⑵=*,
令x=y=2可得:/(4)J⑵,⑵=1,
/(〃)==,
.”1.:(1-2叫
七/①占1-22
故选:B.
【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式,等比数列求和,考查函数与方程思想、转化与化
归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意将抽象函数具体化.
8.已知正四棱柱,设直线AA与平面ACC出所成的角为a,直线CR与直线Ag所成
的角为£,则()
jr
A.。=2aB.a—2/3C.a=]3D.a+/3=—
【答案】D
【解析】
【分析】
分别在正四棱柱中找到a和夕,将a和£放在同一个平面图形中找关系即可.
【详解】作正四棱柱ABCO—AGGA如下图:
•••在正四棱柱ABC。—A4G。中,A4J.平面A/CQi,
A4,,8a
•.•底面A4G。是正方形
BQ±4cl
又,:A4,c4G=A
/.瓦A_L平面AB[C]£>]
NB]AO是直线AB,与平面ACC,A,所成的角,即ZB,AO=a
CD.//A.B
.../BAG是直线CR与直线4G所成的角,即血3=0
VA,B=B,A,40=30,OA=OB
:./XABO也△81A0
NBAC|=ZAgO=£
•.•BR,平面4gGA
B.O1OA
TT
:.a+0=NBiAO+NABQ=5
故选:D
【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角,属于中档题.
二、多项选择题:本题共4小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.下列说法正确的是()
A.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本
科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6:5:5:4,
则应从一年级中抽取90名学生
B.10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率为!
C.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得1=3,亍=3.5,则由该观测数据算得线性回归方程可能是
y=0.4x+2.3
D.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对
立的事件
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念分别进行判断.
【详解】A.由分层抽样,应制取人数为300x号7r9。,A正确;
C3cl1
B.恰好取到1件次品的概率为P=十=-B正确;
叱2
C.V3.5=(14x3+2.3,直线y=0.4x+2.3过中心点(3,3.5),可能是回归直线方程,C正确;
D.一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球,也是至少有一个黑球,因此它们不互斥,D错误.
故选:ABC.
【点睛】本题考查命题的真假判断,解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立
事件的概念等知识,要求较高,属于中档题.
TT
10.已知定义在(0,5)上的函数/(X),/'(X)是/(幻的导函数,且恒有cos灯7x)+sin0>(x)<0成立,则
()
A./吟)>&/(今B.V3/(|)>/(^)
6463
C.八夕>何(今D-⑸铲“)
o3
【答案】CD
【解析】
【分析】
构造函数g(x)=/@,然后利用导数和已知条件求出g(x)在(0,四)上单调递减,从而有
>
cosx2
>g(-),据此转化化简后即可得出结论.
[详解]设g(x);四,则gG)=Csx-sinx,
cosXcosX
71
因为x£(0,—)时,cosxf\x)+sinxf{x)<0,
ll-八兀…,/、f-cosx+f(x)-sinx八
所以xw(0,一)时,--------------------<0,
2cosx
71
因此g(x)在(0,」)上单调递减,所以
2
/(-)/(-)/(-)/(-)
即请,啜=绮>厉令请>今=>忘/(9>&/(£).
-264
222
故选:CD.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查构造函数比较大小,有一定难度.解题关键是构造合适
的函数,一般从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换进行构造;②若是选择题,可根据选项的共性
归纳构造恰当的函数.
71
11.设函数g(x)=si"5(0>O)向左平移二个单位长度得到函数兀v),已知其x)在[0,2和上有且只有5个零点,
5a)
则下列结论正确的是()
7F
A.火外的图象关于直线x=万对称
[5.於)在(0,2以上有且只有.3个极大值点,y(x)在(0,2%)上有且只有2个极小值点
TT
c.yu)在(o,历)上单调递增
1229
D.勿的取值范围是[二,正)
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用正弦函数的对称轴可知,A不正确;由图可知/(x)在(。,2万)上还可能有3个极小值点,8不正确;由
37r7r3乃
4<2万解得的结果可知,。正确;根据/&)在(0,丁)上递增,且—,可知C正确.
10Q1010。
TT'll'II'2TT
【详解】依题意得/(x)=g(x+—)=sin[o(x+—)]=sin(s+—),T=——,如图:
5695a)5co
rrjrKTEJ7T
对于A,令。*+—=%乃+一,kwZ,得*=—+——,kwZ,所以f(x)的图象关于直线
52co10<w
k437r
x=---1----(左£Z)对称,故A不正确;
co10G
对于根据图象可知,4<2乃<乙,/(X)在(0,24)有3个极大值点,/⑶在(0,2团有2个或3个极小
值点,故B不正确,
।十r-iu九57T527r24万冗502〃29万
对于Z),因为5=----1—T=-----1—x—=----,xB=-----1_3T=----b3x—=----,所以
56y25o)2CD5a)5。5。co5。
24〃29万—12j29,十"
---W2〃<----,解得—《刃<—,所rr以i。正确;
5co5co510
jr1jr1?n37r29
对于C,因为——+—7=——+—X—=由图可知/(幻在(0,——)上递增,因为0〈一<3,
5G45G4G106910。10
n37r71371
所以F-k=-7(l一一)<°,所以“x)在(°,F)上单调递增,故C正确;
1010<w10co10
故选:CD.
【点睛】本题考查了三角函数的相位变换,考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性,考查了极值点的
概念,考查了函数的零点,考查了数形结合思想,属于中档题.
12.如图,在矩形A8CD中,M为BC的中点,将△4WB沿直线AM翻折成△4BM,连接BQ,N为B】D
的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是()
A.存在某个位置,使得CNLABi
B.CN的长是定值
C.^AB=BM,则4Ml.BQ
D.若AB=BM=1,当三棱锥Bi-AMD的体积最大时,三棱锥由一AMZ)的外接球的表面积是4乃
【答案】BD
【解析】
【分析】
A中,取AO中点E,连接EC交MO与由题意判断三线NE,NF,NC共面共点,得出A不成立;
3中,利用余弦定理可得NC是定值,判断8正确;
。中,取AM中点。,连接用。,DO,由题意判断C不成立;
。中,当三棱锥片-AMD的体积最大时,求出该三棱锥外接球的表面积即可.
【详解】解:对于A:如图1,取中点E,连接EC交与E,
则NE//Ag,NFHMB,,
如果CN_LAg,可得到EN工NF,
又ENJ.CN,且三线NE,NF,NC共面共点,不可能,则A错误.
对于8:如图1,可得由NNEC=NM44(定值),
NE=工AB](定值),AM=EC(定值),
2
由余弦定理可得MC2=NE2+EC2-2NE,ECyosNNEC,
所以NC是定值,则8正确.
对于C:如图2,取A"中点。,连接用。,DO,
由题意得AM,面。。与,即可得OZ)_LAM,
从而AD=MD,由题意不成立,可得C错误.
对于O:当平面与AMJ_平面AMD时,三棱锥用-AMO的体积最大,
由题意得AO中点”就是三棱锥耳-AMD的外接球的球心,
球半径为1,表面积是4万,则。正确.
故选:BD.
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题,解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理,属
于中档题.
三、填空题:本题共4小题.
13.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),
[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,
第五组,如图是根据实验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,则第三组中的人数
为.
【答案】18
【解析】
【分析】
频数
由频率=不苴捺五以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率,即可求出
样本谷量
总的人数,求出第三组的人数.
【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分
20
别为0.24,0.16,设总的人数为n,则—=0.24+0.16=0.4,/.〃=50.所以第3小组的人数
n
为50x0.36=18人.
故答案为18
【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算,意在考查学生对这些知识的理解能力掌
握水平.
14.(x—』)(l-x)4的展开式中X3的系数为.
X
【答案】5
【解析】
【分析】
利用二项式定理求解即可.
t详解】(
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