高中数学选择性必修二 专题4.3等比数列

专题4.3等比数列

一、等比数列的定义及有关公式

己知等比数列｛斯｝的首项为以公比是名前n项和为S”,则

等比数列定义式詈=q(定2,存0且4为常数)

等比中项是“与。的等比中项)

通项公式或

当4=1时,S“=nay

前"项和公式

当"1时,S.==

二、等比数列的有关计算性质

已知｛斯｝是等比数列,S,是｛斯｝的前〃项和.

(1)若m+"=p+q(〃?/,p.qGN*),则有aman=.

⑵若公比g-1,或q=-\且m为奇数，则数列S”,S2“,S“,S3m-S2w,…成等差数列，其公比为.

运♦.：%•晨运.♦富一运.,，:<.»«•*.<耳♦城。.♦运一。<.««

帮知识参考答案

n]

一、an=a\q斯=处"叫&

二、ClpClq中

运3s%•、运・•/。..运・。瑞J■・’.逢运•・：飕・°。运°・。甯。•♦运・.。瑞.««-*.<

帮重8

帮一重点等比数列的定义及公式

帮一难点等比数列的有关性质应用

帮一易错忽略公比的讨论

1.等比数列的定义及有关公式

n］nf,

等比数列通项公式：an=a\q'an=ainq'\n,m£N*）

等比数列的前n项和公式：当q=l时$二如】

当时5=处空=生%

叶'1-q1-q

］设各项均不相等的等比数列｛%｝的前〃项和是s“，若E=1,83=3,则$6=（）

A.-21B.-16C.27D.36

【答案】A

【解析】由已知得，公比4/1,所以S“=』0二"）,知S'：”"〜），

1-q1-q

所以“二-2或夕=1（舍去）,

故选：A

【名师点睛】先判断4再根据等比数列求和公式求公比，最后再利用等比数列求和公式求结果，本题

考查等比数列求和公式，考查基本分析求解能力.

］已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，若q=%-8,且S3=13,则4=

)

A.-3B.3

…35

D.3或一--

3

【答案】D

-10a,=

q=%q--8JI25

q=%-8a=1

【解析】设公比为易知41没由＜得＜q(l-q3)於，解得《1c

S3=13q=3

6=1335

=3；当；时,CL-y=%q=----,

①=3

35

所以电=3或。2=一~~

故选：D.

【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法.

2.等比数列的有关性质

2

若"i+〃=p+q=2k(，〃,〃,p,%Z：GN*),则有aman-apaq-ak.

数歹II5,”,52"%,53犷52”,,...成等比数列.

J已知数列｛4｝为等比数列，%>0,且4+⑼“+2=26"'，若p+q=6,则册q=

A.27B.28C.29D.210

【答案】B

6m

【解析】数列｛«„｝为等比数列，«„>0,目.amalll+lain+2=2,

可得以=26-所以%X=22>

a=22"-2.

又p+q=6,

则ap-a(/=22k2.22-=22(P+?H=

故选：B

【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，计算要注意.

|等比数列｛叫的各项均为正数，且q=l,a2+a,=|"N*）.

（I）求数列｛%｝的通项公式：

（ID已知4=（2〃一l）q,求数列｛〃｝的前〃项和

【答案】（I）%=6）；（II）北=（2〃一3）2"+3.

【解析】（I）设等比数列｛4｝的公比为9，.•.4+q=4（4+/）=；，

31Q

由9+解得：夕=一或一二（舍去）.

422

n

所求通项公式an=axq-'=（；）；

\M-l

(II)由(I)得〃=(2〃—l)｛g

7

所以7；=L2°+3-2i+5・22+…+(2〃-l)-2"T・①

①x2得2（,=l-2'+3-22+5-23+---+（2n-l）-2n——②

①-②：—7；=1+22+22?+…+2・2"T—（2"—1）2”

=1+2（2\22+...+2"T）—（2〃-1）2"=I+2X2（：；）_（2〃—1）2"=（3—2M）2"—3,

.-.7；=（2n-3）2w+3.

【解题技巧】本题考查等比数列的基本量的计算，错位相减法求数列的前〃项和，重点考查计算能力.

3.忽略公比的讨论

（ZD求数列1,3a,5a2,7/,……..…5力。）的前n项和.

【错解】由于〃〃=(2〃-l)an~l(HGN*),

S〃=1+3a+5a2+7/+……+(2〃-3)an~2+(2〃-1)。'』

aSn=a+3M+5/+7。4+..+(2〃_+(2〃-l)q"

\-an

两式相减得(1—a)S〃=1+2。+2a2+2a3,….2afl-]~(2n-l)an=2.-------(2〃-l)an-1

\-a

.c\-an(2n-1)^+1

.c.~.

"(1-a)21-a

【错因分析】上述解法只适合awl的情形.

事实上，当a=l时，S“=l+3+5+7+……+(2〃_3)+(2〃_1)二"+"1)=“2

【正解】当a=l时，S“=l+3+5+7+……+(2〃—3)+(2“_1)二"+；3)=〃2

当awl时，由于4=(2〃一l)a"T(〃£N*),

S〃=1+3a+5片+7/+……+(2〃-3)an-2+(2〃

23n]n

aSn=a+3a+5a+7/+..+(2〃-3)a~+(2〃-l)a

\-an

两式相减得(1-a)Sn=1+2〃+2。2+2々3..…2")-(2〃一l)a〃=2.-------(2〃-l)a”-1

1一。

,c_01一优(2〃-1)4+1

"(1-a)2\-a

【名师点睛】本题在求解时，一定注意对于等比数列公比的讨论，有时很容易忽略公比为1的情况.

帮娉题

4z、

1.数列｛4｝中，4=5，%=2,若是等比数列，则为=（）

A.-1或3B.-IC.3D.V10

2.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,则该数列的第1项等于（）

A.27B.—C.—D.8

32

3.等比数列｛2｝中，首项4=8,公比q=g,那么它的前5项和S5的值等于（）

A.15.5B.20C.15D.20.75

4.在等比数列｛4｝中，％=3,公比q=2,则%=（）

A.5B.7C.9D.12

5.等比数列｛“/的前〃项和为S“，已知S3=&+10q,%=9,则6=

1II1

A.-B.C.-D.—

9933

6.数列也,｝对任意的正整数〃均有=%％+2,若2=2,%=8,则S1O的可能值为（）

A.1023B.341C.1024D.342

7.已知正项等比数列｛4｝满足q=2,a4=2a2+ait若设其公比为q,前〃项和为S“，则（）

A.q=2B.%=2"C.S10=2047D.a„+all+l<all+2

3

8.等比数列｛%｝中，若%+生=5，%+。5=12,则。3=.

9.设%,a是二次方程x2—2"+3工+3-4向=0（"€乂）的两根，且见<b„.设c“=b“-a,,则数列｛c.｝

的前»项和Sn=.

10.已知数列数"｝是等比数列,首项4=1,公比q>0,其前〃项和为S”,且岳+q,S3+a3,S2+a2

成等差数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

.n

（2）若数列仍“｝满足仇=一，求数列仍“｝的前”项和7；.

an

帮能力

11.已知各项均不为0的等差数列｛4｝,满足2%-嫉+2%=0,数列也,｝为等比数列，且4=%，则

乙43=（）

A.16B.8C.4D.2

11A

12.已知正项等比数列｛%｝中佝=9%,若存在两项明、凡，使凡"“=27a：,则一+一的最小值为（）

mn

21565

A.5B.—C.D.——

5164

等比数列｛q｝的前”项和为S“，若。”>0,

13.q>l,/+%=20M2〃6=64,则S5=()

A.48B.36C.42D.31

14.等比数列｛/｝中（）

A.若可<%,则。4<%B.若<4，则«3<a4

C.若邑>邑，则4<“2D.若邑>邑,则q>a2

=2a（nN*）,则｛a.｝的前30项之和为（

15.已知数列｛4“｝满足q=%=1，%nG)

23,-22川+2C4J416-4

A.-----BD.-----D.

33,33

16.在递增的等比数列｛%｝中，S,是数列｛斯｝的前”项和，若“Q=32,S+“3=12,则下列说法正确的是（)

A.q=]B.数列｛S,+2｝是等比数列

C.S8=510D.数列｛/ga“｝是公差为2的等差数列

17.设等比数列｛4｝的公比为q,其前〃项和为S”，前〃项积为7；,并且满足条件4>1,a7as>1,十7<0.

则下列结论正确的是()

A.0<4<1B.01a§<1C.的最大值为T7D.S”的最大值为S’

18.在数列｛4｝中，4=1,4=3，«„+2=3«n+1-2an-n+\.

(1)证明｛见+1一。”一〃｝为等比数列；

(2)求％.

19.已知等差数列｛凡｝中，4=5,公差大于0,且%+1是%+1与%+3的等比中项.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记％=-------(〃eN,),求数列也｝的前n项和7；.

an,an+\

20.已知数列｛%｝,也｝,｛g｝中，其中低｝为等比数列，公比q>0,且4-4=64，q=4=q=l,

"”+1

(1)求<7与明的通项公式：

(2)记虑=7TV-/［、入£N),求证：4+&+&+…+4?v—.

(《用-1)•(5+2-1)也123”3

1帮真题]

21.【2019年高考全国I卷理数】记S“为等比数列｛%｝的前〃项和，若6=：,a/：%，则$5=.

22.[2019年高考天津】设｛。“｝是等差数列，｛b„｝是等比数歹人已知4=4,4=6也=2a2-2也=2%+4.

（I）求｛%｝和｛"｝的通项公式;

1,2k<n<2k+l,

(II)设数列｛c“｝满足C]=1,C"=<,其中ZeN*.

k

bk,n=2,

（i）求数列他，，%-1）的通项公式;

2n

(ii)求(JZEN)

/=1

23.【2020年高考全国1卷理数】设｛a,,｝是公比不为1的等比数列，/为利,%的等差中项•

（1）求他“｝的公比;

（2）若q=l,求数列｛〃&｝的前〃项和.

24.[2020年高考天津】已知｛q｝为等差数列,也｝为等比数列，4=伪=1,%=5（4—%）也=4（%—4）.

(I)求｛4｝和也｝的通项公式;

(II)记｛%｝的前〃项和为Sn,求证：SnSn+2<S3（〃GN*卜

（3.2）.,〃为奇数,

(III)对任意的正整数〃，设%求数列｛%｝的前2〃项和.

如,〃为偶数.

%

【2020年高考浙江】已知数列｛a“｝,｛%“｝,｛&,｝满足％=4=G=l，c,,=a,,M-a“,Ce=3q,,“eN.

25.

"n+2

（I）若｛d｝为等比数列，公比4>0,且仇+8=6么，求q的值及数列｛”“｝的通项公式；

（H）若｛5｝为等差数列，公差，>0,证明：c,+c2+c3+--+c„<l+i,neN*.

26.[2020年高考山东]已知公比大于1的等比数列｛4｝满足%+4=20,%=8.

（I）求的通项公式;

（2）记图为｛4｝在区间（0,间（旭wN*）中的项的个数，求数列｛中｝的前100项和Sm.

Q帮好题参考答案

1.【答案】C

444

【解析】设2=——r.则4=-7=—=1

an-1%-15-1

444

伪=----7=亍1=4，仇=----7

%—12-1。5-1

2

则b；=b3bl=4,(b§=b3q>0),

4

解得2=2,所以=Y=2,解得%=3.

%—1

故选：C

2.【答案】B

1Q?所以q=§=12x(2]=3,

【解析】由已知得四=12,4=18,所以数列的公比q=j|=：,

q-\3J3

故选：B.

3.【答案】A

【解析】方法一：s

i-q

2

方法二:=q+a2+%+。4+。5=8+4+2+1+0.5=15.5.

故选：A

4.【答案】D

【解析】根据已知条件，容易得a“=a闻I=3X2"T

故可得。3=3x2?=12.

故选：D.

5.【答案】A

224

【解析】设公比为q,则q+a｝q+ayq-ayq+\Qa]=>q-9,-：a^-9：.a1=—,

9

故选A.

6.【答案】AB

【解析】因为数列｛4｝对任意的正整数〃均有碓1=4,4+2，所以数列｛q｝为等比数列，因为％=2,%=8,

所以/=幺=4,所以。=±2,

出

i-210

当4=2时4=1,所以Sg=L^=1023

101-2

当夕=一2时％=—1,所以号0=一1「、）=341

101-（-2）

故选：AB

7.【答案】ABD

【解析】由题意2/=4q+2q2,得/一4一2=0,解得4=2（负值舍去），选项A正确;

4=2X2"T=2",选项B正确;

S=2X（2"—1）_2"+I_2,所以Se=2046,选项C错误;

“2-1

«„+«„+|=3a“，而an+2=4an>3an,选项D正确.

故选：ABD

8.【答案】2

3

【解析】设等比数列｛%｝的公比为4,则a4+a5=q/+%q3=（q+4）q3=5q3=i2,可得“=2,

31

二.%+4=4+qq=3q=],解得q=]，因此，生=5x22=2.

故答案为：2.

9.【答案】2-3-8

【解析】•/x2-2n+3x+3•4n+l=(x-2n+,)(x-3-2"+,)=0,又见<4,

.•.%=22,-c“=b”-a“=2"+2,

故=232"+2><2=2„+3_8.

"1-2

故答案为：2fl+3-8

(1、〃T

10.【答案】⑴；⑵r=(〃T)・2、L

【解析】(1)因为S]+q,S3+%,S2+4成等差数列,

所以2(83+q)=(£+4)+($2+%),

所以(S3—S])+(S3—S2)+2q=q+%，

所以4%=%,因为数列｛4｝是等比数列，所以?"=Z="，

1(1、〃一】

又4>(),所以4=5,所以数列｛4｝的通项公式%=上

(2)由(1)知勿=〃-2"T,

7；,=l-20+2-21+3-22+---+n-2n-I,

27；,=1-2'+2-22+…+(〃—1>2"T+a2",

所以=1.2°+(2_l)N+(3_2>22+…+[”—("-I)]:1-“9"

^^+2'+21+---+2"-'-n-2"

1(1一2")

=-^-----「心2'=(1—力-2"—>

1-2、)

故7；=(〃T>2"+L

11.【答案】A

[解析】各项均不为0的等差数列｛4｝,2%-姆+2%=0/.4%-%=4

々・优3=后=必=16

故选：A

12.【答案】A

【解析】正项等比数列中，—=q2=9,所以q=3.

%

因为a,nan=4/1•4/T=a；qm+n-2=27a；，所以加+〃=5・

1161、,116、1n16m…、1In16m…「

因为—F—=―z+〃)(—+—)=-z(—I------F17)N-(zJ—-------F17)=5>

mn5mn5mn5Vm〃

n16/72

当且仅当一=——，即〃=4相时取等号，因为加、“GAT,所以例=1，〃=4,

mn

所以1的最小值为5.

mn

故选：A.

13.【答案】D

【解析】由于在等比数列｛。“｝中，由a2a6=64可得：a3a5=44=64，

又因为%+%=20，

所以有：4，%是方程f-20x+64=()的二实根，又%>0国>1,所以％<%，

故解得：q=4,%=16,从而公比4=J%=2,q=冬=1,

V«3q-

25-1

那么S5=-~-=31,

52-1

故选：D.

14.【答案】B

【解析】•.•等比数列｛a,J中，才〉。，

.,.当苗<生时，可得。闻2<々/,及/<。4，故B正确；

但。4=%/和%=。2夕3不能判断大小正负不确定)，故A错误；

当S3〉$2时，则《+%+%>%+/，可得%>0,即qq2>o,可得a1〉。，

由于9不确定，不能确定4,%的大小，故CD错误.

故选：B.

15.【答案】A

(解析】因为q+2-4用=2an(/?eN*),

所以风+2+4+1=2(4川+4)，

所以｛a,向+是公比为2的等比数列，

/,­|

所以a“+i+a“=(a2+tz1)x2=2",

所以q+4+.••+%(,=2+23+2'+…+229=2x(；-=

故选：A

16.【答案】BC

【解析】由题意，根据等比中项的性质，可得

42。3=〃144=32>0,42+43=12>0,

故〃2>0,6Z3>0.

根据根与系数的关系，可知

。2,43是一元二次方程#-12x+32=0的两个根.

解得〃2=4,43=8,或42=8,673=4.

故必有公比乡>0,

._。2>八

..671----20.

q

;等比数列｛斯｝是递增数列，・・・4>i.

.•.02=4,43=8满足题意.

:・q=2,〃1=二=2.故选项A不正确.

q

an=a\9qn'[=2n.

止2_2”-2.

1-2

.♦.S"+2=2"+i=4・2"r.

二数列｛S“+2｝是以4为首项，2为公比的等比数列.故选项B正确.

58=28+1-2=512-2=510.故选项C正确.

'：lga„—lg2n—n.

二数列｛欣如｝是公差为1的等差数列.故选项。不正确.

故选：BC

17.【答案】ABC

Q-,„

<0

【解析】Qq>l,07y>1，­r-

a8T

a7>1,0<a8<1,

/.A.0<^<1,故正确：

故正确；

C.T’是数列"J中的最大项，故正确.

D.因为%>1,0<^<1,S.的最大值不是丛，故不正确.

故选：ABC.

18.【答案】（1）证明见解析；（2）&2"T+〃（”1）.

"2

【解析】（1）由a,*?=34+|-2。，一"+1得

%+2-4+1一（〃+1）=24+1-2。，一“+1—（〃+l）=2（a,用一凡一"）,

又3―4-1=1，所以｛。用一一〃｝是以1为首项，以2为公比的等比数列.

（2）由（1）得am-%-〃=2”T,所以4,用一。"=2"7+〃，.

所以〃之2时,（&-《）+（%—&）+（&-/）/---卜（q-。〃-1）

=（2°+1）+（2'+2）+（22+3）+---+（2,,-2+/2-1）

=（2。+2]+22+…+2"-2）+口+2+3+…+（〃-1）]

|

=2"--1+-^——

2

因此-2-a,=

当〃=1时，q=1也满足上式,

19.【答案】(1)a=2n-\.(2)---.

n2〃+1

【解析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d(d>0),

因为%=5,则%=5+d,a,=5—d,%=5+4d,

因为q+1是a?+1与%+3的等比中项,

所以(%+1)=(a,+1)(%+3)，

即(6+4)2=(6—4)(8+4d),

化简得5d2-4d-12=0,

解得d=2或d=_](舍)

所以=2n-l.

(2)由(1)知,an=2/1-1,

,11I1(11

所以“=-----=--------------=-------

anan+l(2»-1)(2/?+1)2(2〃-12〃+1

所以r=4+>+4+…+々

111

211-3+3-5+5----!-•・•+

72〃一12/2+1

n

2〃+1

1V~]+1

20.【答案】(1)q=-，a=-----(2)证明见解析

32

【解析】⑴因为也｝为等比数列，公比4>0,

11

所以乙一%=64,所以“—6同=66冈9：即6q92+q—l=0,解得乡=§或4=一］(舍),

因为仇=1,所以“=(£)H-1

由q,+i=3,c“得如二工二工二？，又q=l，所以％=3"T,

%q,%q1

所以““+i-a,=c"=3"T,

所以4=4-an-i+an-\-4-2+…+。2-4+4=3"-2+37+...+3+1+1

=1+上婴3"~'+1

1-32

1

3；(3"；二1-(3M-l)(3n+l-l)一§13"一1一3•一1

…2(111111111

23"3U-132-132-133-133-134-13"-13),+1-1)

2(11)121I

3(3—13w+,-1)333H+,-13

121

21.【答案】怎=——

3

,1

【解析】丁4=§,a~9-4

设等比数列公比为9

，（％夕3）2=谓

•q=3

.e=曳

53

n

22.【答案】(I)%=3"+1；bn=3x2"(ID(i)«2„(c2„-l)=9x4-l

2M

(ii)>£(neN*)=27x22w-1+5x2"-'-n-12(neN*)

i=l

【解析】（i）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为?

6q=2(4+d)-2=6+2d=3

依题意得解得，c

6/=2(4+21)+4=12+41U=2

故a“=4+(〃—l)x3=3〃+l,d=6x2"i=3x2".

所以，｛4｝的通项公式为4=3〃+l,｛4｝的通项公式为勿=3x2".

flnrt

(I1)(0a2„(c2„-l)=a2„(^-l)=(3x2+l)(3x2-l)=9x4-l.

所以，数列｛%，，卜2.一1)｝的通项公式为4”(。2”-1)=9X4"—1.

2”2"2〃

(〃)£a,G=£[《+4(£T)]=卜2，T)

/=1z=l

2n(2n-l]

2Hx4+—~<x39x41-1)

4(1-4")

(3x22n-,+5x2,,-')+9x—-------n

1-4

=27x22,,-l+5x2,,-'-n-12

(3〃+1)(-2)"

23.【答案】（1）—2；⑵S=-

"99

【解析】（1）设｛凡｝的公比为4,由题设得2al=4+%,即24=44+4/

所以d+q—2=0,解得4=1（舍去），"=一2.

故｛%｝的公比为一2.

(2)设S,,为｛也“｝的前〃项和.由(1)及题设可得，%=(-2)1.所以

S“=1+2x(-2)+…+〃x(-2产，

-2Sn=-2+2x(-2>+…+5-1)x(一2尸+〃x(-2)".

可得3s“=1+(-2)+(-2)2+…+(-2产一〃x(-2)"

3

所以s.=L(3〃+1)(—2)"

”99

24.【答案】见解析

【解析】(I)设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列也｝的公比为4.由4=1,%=5(%一%)，可

得d=l,从而｛4｝的通项公式为%=〃.由伪=1,4=4("一")，又“。0,可得4q+4=0,解

得4=2,从而也｝的通项公式为2=2"、

22

(II)证明：由(I)可得S“="5+D，故S,,Sn+2=-n(n+1)(〃+2)(〃+3),S；+l=-(«