数学八年级下《二次根式》复习教学案

二次根式复习课

【知识点汇总】

知识点一：二次根式的概念

形如短（。“）的式子叫做二次根式。

注:在二次根式中，被开放数可以就是数,也可以就是单项式、多项式、分式等代数式，但必

须注意：因为负数没有平方根,所以“就是所为二次根式的前提条件,如

石，4r石，等就是二次根式,而右，等都不就是二次根式。

知识点二:取值范围

1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a叁0时，正有意义,就是二

次根式,所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a<0时，而没有意义。

知识点三:二次根式、以（a之0）的非负性

石（aN0）表示a的算术平方根,也就就是说，石（a20）就是一个非负数,即石之

0（aN0）。

注:因为二次根式及（&之0）表示a的算术平方根,而正数的算术平方根就是正数,0的算

术平方根就是0,所以非负数（”20）的算术平方根就是非负数,即4之0（。20）,这个性

质也就就是非负数的算术平方根的性质，与绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时

应用较多，如若石+石=0,则a=O,b=O;若&+N=°,则a=0,b=0;若石+川=0,则

a=0,b=0o

知识点四:二次根式（'石）2的性质

（而）2=a（£2>0）

文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注:二次根式的性质公式（GP=a

:（a20）就是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公

'=（向2,如：2=（0）2,5=（R）：

式也可以反过来应用：若aNO,则，

知识点五:二次根式的性质

=川=<

-a(Y0)

文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注:

化简正时,一定要弄明白被开方数的底数a就是正数还就是负数,若就是正数或0,则

1、

等于a本身，即"=E=2°）；若a就是负数,则等于a的相反数-a,即

4^=IM=.

2、正中的a的取值范围可以就是任意实数,即不论a取何值，厢一定有意义;

3、化简痂时，先将它化成再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：（而?与万的异同点

1、不同点：（向2与在'表示的意义就是不同的，（疝2表示一个正数a的算术平方根的

平方，而也1表示一个实数a的平方的算术平方根;在（而2中。20,而历中a可以

就是正实数,0,负实数。但（疝?与值都就是非负数,即（而）〜。，"之。。因而

厂2"川=「空）

它的运算的结果就是有差别的，（心）=a（°*°），而〔一。（&<0）

2、相同点：当被开方数都就是非负数，即时，（&）?="；a<0时，（而产无意义，

而志7=一&、

【历年考点例析】

考点1、无理数

知识回顾：

无限不循环的小数，叫做无理数。

知识特点：

常见的无理数：

1、n以及灭的有理数倍数。

2、叵、M、75；

3、2.001

考查题型

例1、写出一个有理数与一个无理数,使它们都就是小于一1的数。（08

年自贡市）

分析：-1的绝对值就是1,所以，小于一1的数的绝对值一定要大于1,只要符合这一点,就可

以了，所以,本题的答案不就是唯一的。

解:小于T的有理数-4、-5等等，小于一1的无理数-五、-JL-6等等。

例2、从实数一JL一Lo,”，4中，挑选出的两个数都就是无理数的为（）

3

A、--,0B、”，4C、-72,4D、-JLn（08年湖北省宜昌市）

3

分析:根据常见的无理数,可以发现只有与n就是无理数,因此,选项D就是正确的。

解:选D。

例3、如图1所示,A,B,C,D四张卡片上分别写有-2,6,之，兀四个实数，从中任取两张卡

7

片.

ABCD

⑴请列举出所有可能的结果

（2）求取到的两个数都就是无

分析:用列表的方式,把所有的结果找出来,雅辨无理数的定义，作出判断。

解：

（1）仔细观察上面的四个数,不难发现B、D就是无理数,A与C就是有理数，结果列表如下:

2仔细观察上表,一共有12种可\能性，期中都

就是无理数的可能性有2种，ABCD

A\

因此,两个数都就是无理数的概ABACAD率

、「21\

为：一=-»BEABCBD

126

\

CCACBCD

考点2、平方根

DDC

知识回顾：DADB

一般地，如果一个数x的平方等于a,即

x2=a,那么这个数x叫做a的平方根。记作土孔。读作“正负根号a”

知识特点:

1、被开方数a,满足的关系式就是:a'O;

2、平方根x与被开方数a,满足的关系式就是:x=±&;

3、被开方数a与平方根x,满足的关系式就是:a=x2=（±Va）2=4a2=（-五产；

4、两个平方根之间满足的关系式就是：右+（-JZ）=0,即两个平方根互为相反数,所以,她

们的与为0、

如下说法都就是正确的：

①a的平方根就是土瓜;

②就是a的平方根；

③就是a的平方根；

@±JZ就是a的平方根;其中a就是非负数。

此外,0的平方根就是0这个特例要记清楚。

考查题型

例4、2的平方根就是（）

A.4B.V2C.-V2D.±>/2（08年南京市）

分析:根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“土”来体现“两个”。

解:选D。

例5、9的算术平方根就是

A、±3B、3C、-3D、6（08恩施自治州）

分析:算术平方根就是平方根中的正数根,只有一个,所以,选项A、C都就是不正确的；

因为,3?=9,所以,9的算数平方根就是3。

解:选B、

例6、化简：、/?=（）

A.2B.-2C.4D.-4（08年甘肃省白银市）

分析:理解的意义就是解题的关键。V4的意义实际上就就是求正数4的算术平方根,

所以,应该只有一个,为正数,并且这个数的平方应该等于4,这样只有选项A符合要求。

解:选A。

化简J（T）2=o（08年安徽省）

分析:因为，（-4产=16,卜丫的意义就是求正数16的算数平方根,因为，

4=16,所以,，（对=4、

考点3、二次根式

知识回顾：

形如JZ（a20）的式子,叫做二次根式。

知识特点：

1、被开放数a就是一个非负数；

2、二次根式JZ就是一个非负数，即

3、有限个二次根式的与等于0,则每个二次根式的被开方数必须就是0、

考查题型

例7、若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围就是

A、x>-5B、K-5C、xW-5D,x2-5（08常州市）

分析:在这里二次根式的被开方数就是x+5,要想使式子J不在实数范围内有意义，

必须满足条件:x+520,所以,x2-5,因此,选项D就是正确的。

解:选D。

例8、若,一2|+病。=0,则。=.（08年遵义市）

分析：

因为，Ia-21与7^3都就是非负数,并且它们的与就是0,

所以，|a-21=0且Jb-3=0,所以,a=2,b=3,

所以，a?-b=4-3=l、

例9、若实数x,〉，满足而5+（y—6）2=0,则xy的值就是.（08年宁波市）

分析：

因为，V^+2与（丁一方）2都就是非负数,并且它们的与就是0,

所以，Jx+2=0且（y-=0,所以，x--2,y--x/3,

所以,xy=-2g、

考点4、二次根式的化简与计算

知识回顾：

二次根式的化简，实际上就就是把二次根式化成最简二次根式,然后,通过合并同类二

次根式的方法进行二次根式的加减运算。

知识特点：

二次根式的加减运算:aJ嬴+bVm-(a+b)4m,(m2。);

二次根式的乘法运算：&、(a^O,b20);

二次根式的除法运算：&+赤=*=乂巫，(a，0,b>0);

4bb

二次根式的乘方运算：(、万尸=%(a20);

二次根式的开方运算：必='"'""°

—a,a<0

考查题型

例10、下列计算正确的就是()

A.2G+4夜=6石B.我=4夜

C.a十百=3D.J(-3)2=-3(08年聊城市)

分析:这就就是二次根式化简的综合题目，2内与4的被开方数不相同,所以,它们不就

是同类二次根式,所以,不能进行合并计算,所以,A就是错误的；

因为，次=JM=万瓦=2及，所以,B也就是错误的；

因为，①小百=同百=内=3,所以,C就是正确的；

根据二次根式的开方公式,得到D就是错误的。

解:选C。

例11、若》=&一=&+窈，则xy的值为()

A.14aB.14bC.a+hD.a—8(08年大连市)

分析:xy=(&-6)(0+/)=(八)2-(6)2=2-1:),所以,口就是正确的。

解:选D。

考点5、最简二次根式

知识回顾：

满足下列条件的二次根式,叫做最简二次根式：

(1)被开方数的因数就是整数,因式就是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

知识特点：

1、最简二次根式中一定不含有分母；

2、对于数或者代数式,它们不能在写成anXm的形式。

考查题型

例12、下列根式中属最简二次根式的就是（）

D、V27（08年湖北省荆州市）

分析:

因为B中含有分母,所以B不就是最简二次根式;

而8=22X2,27=3?X3,所以,选项C、D都不就是最简二次根式。

所以，只有选项A就是正确的。

解:选A。

考点6、估算

例13、估计后xJ+J药的运算结果应在（）.

（08年芜湖市）

分析：住x£+而=而+病=4+2后

因为,4V5<9,所以，“伍Y石Y的,所以,2V石<3,

所以,4<2石<6,

所以,4+4<275+4<6+4,所以,8V2石+4V10,也就就是在8到9之间、

解:选择C

【考试题型归纳】

一、基本概念型

例1、二次根式""中，字母的取值范围就是（）

A、a<1B、a<1C、a>1D^a>1

析解:形如后（aNO）的式子叫二次根式,其中被开方数a的取值范围就是a20。则二

次根式向T中,a-1*0,即“21,故选C。

说明:注意二次根式中被开方数就是非负数这个隐含条件就是解题关键。

例2、在下列根式4石、亚下、瓜瓜中，最简二次根式有()

A、4个B、3个C、2个D、1个

析解:最简二次根式的概念就是⑴被开方式的因数就是整数，因式就是整式;(2)被开方

数中不含能开得尽方的因数或因式。而屈=a岳、府=20。所以最简二次根式

有46、北两个，故选C。

例3、下列根式中，与逐就是同类二次根式的就是()

A、V24B,V12C、gD>V18

析解:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同

类二次根式。而例=2而、V12=2V3,P=逅、9=3四,所以与0就是同类二

V22

次根式的就是位，故选B。

二、性质运用型

例4、已知x<2,则化简>/偶—4x+4的结果就是()

A、x-2B、x+2C、~x—2D、2—x

析解：&_4X+4=J(X-2)2=|X-2|,因为x<2,x-2<0,所以

4x2-4x+4-2-xo故选D

例5、化简力4x?一八+1一(J2x—3尸得()。

A、2B、-4x+4C、-2D、4x-4

析解:因为2X-3Z0,XN|,(J2X-3)2=2X-3,

所以2x—l>0,74X2-4X+1=|2X-1|=2x-1

故J4-—4x+l-(J2X-3)2=2x-l-(2x-3)=2,故选A。

说明：以上二例主要应用二次根式的性质:(1)必=囱=["""°1。

[-a(a<0)

(2)(右)2=a(a>0).正确应用二次根式的性质就是解决本题的关键。

三、结论开放型

例6、先将+化简,然后自选一个合适的x值,代入化简后的式子求

值。

析解:这就是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥与创造空间。但要注意x的取值

范围就是2o

原式二丕21Jx-2

xVx2-2x

x—2.yjx2-2xx-2

=———xy/xxy/x-2=4x

尤一2

•/x>2,.•.取x=4，原式=2。

四、大小比较型

J22-1-Js2-1V42-1J52-1

例7、用计算器计算”-—~5■，…，根据您发现的规律，判断

2-13-14-15-1

「=近三与。=也亚二l,（n为大于1的整数）的值的大小关系为（）

n-1（n+1）-1

A、P<QB、P=QC、P>QD、与n的取值有关

,2j_l>里二J52=1,从而可以推断

析解：利用计算器计算得:

2-13-14-15-1

八需^。二牛常做选,。

例8、设。=遥-0\人=2-J5,c=6一2,则a,b,c的大小关系就是()

A^a>b>ca>c>bC、c>b>a

D、b>c>a

析解:'=J「=l厂+血，同理'=2+&J=6+2。因

aV3-V2(V3-V2)(V3+V2)bc

为石+2>2+后>追+夜>0,所以」>L>L>0,c<b<a。故选A。

cba

五、判断正误型

例9、化简厂时，甲的解法就是：二3（省+/）,二6+1,

V5-V2V5-V2（V5-V2）（V5+V2）

乙的解法就是:七=三”

=V5+VI,以下判断正确的就是（)

A、甲的解法正确，乙的解法不正确

B、甲的解法不正确,乙的解法正确

C、甲、乙的解法都正确

D、甲、乙的解法都不正确

析解：甲就是将分子与分母同乘以石+血进行分母有理化，乙就是利用

3=(V5+V2)(V5-V2)进行约分，所以二人都就是正确的，故选Co

例10、对于题目“化简并求值:/-2,其中a=L',甲、乙两人的解答不

aVa5

谁的解答就是错误的？为什么？

析解:乙的解答就是错误的。

因为当时，-=5,a--<0,所以、■上^^a--，而应当就是

5aa\aa

J(a-,)2=~a~a°

六、规律探索型

例11、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。

2

(V2)+l=3,52=y-;

(V3)2+1=4,5,=^-;

(1)请用含有n(n就是正整数)的等式表示上述变化规律。

(2)推算出。A1。的长。

(3)求出S：+S]+S：+…+Sfa的值。

析解:⑴通过类比,可推知(MY+1=〃+1,5“=?

(2)■/OAy=VT,OA0=V2,OA3=5/3,OAW=VToo

(3闾+S以+S；+…+S3

,&、2卓、2,6、2，加、2

=(—)+(—)+(—)+…+(^~)

2222

=-(1+2+3+-+10)=—

44

七、计算说理型

例12、有这样一道题，计算：*+q〈+*一叫三±-52*>2）的值，其中

X-y/x2-4x+yjx2-4

x=1005,某同学把“x=1005”错抄成“x=1050”，但她的计算结果就是正确的。请回

答这就是怎么回事？试说明理由。

析解:这就是一道说理型试题，既然x的值取错，计算结果仍就是正确。那么可以猜测此

二次根式化简后与x的值无关。这时应从二次根式的化简入手,揭开它神秘的面纱。

/+■?-4+2x77^+-"2x4三”

八、数形结合型

例13、如图1,正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中，边

长为无理数的边数有（）

A、0个B、1个C、2个D、3个

B

图1

析解:由题意知BC=$2。+3?=V13,AC=+42=5,AB=J52+1?=J而。所以

边长为无理数的边数就是2个，故选C»

例14、“数轴上的点并不都表示有理数，如图2中数轴上的点P所表示的数就是0”,

这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做()

A、代入法B、换元法C、数形结合D、分类讨论

析解:本题“形”“数”结合，所反映的正就是数学中的一种思想方法“数形结合”故选

Co

九、阅读理解型

例15、我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，

即已知三角形的三边长,求它的面积。用现代式子表示即为：

S二心12；$2]……①(其中a、b、c为三角形的三边长,s为面积)。

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：

s=力风p-a)(p-b)(p-c)...②(其中p="+；+')

(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8,试分别运用公式①与公式②，计算该三角形的

面积s;

(2)您能否由公式①推导出公式②？请试试。

析解：(1)s=&52X72—(F+7；—82)2]

V42

=1752(72-12)

=-748=1073

2

又p=g(5+7+8)=10,

.-.5=^10(10-5)(10-7)(10-8)=710x5x3x2=1073

(2)9/2_(。2+；2-。2)2]

42

=-(ah+a2+Z?2

42

=4上2—3一份2].[(。+切2-£2]

Io

=-(C4-6T-b)(c-a+b)(a+b+c)(a+b-c)

16

=^-(2p-2a)(2p-2b)-2p-(2p-2c)

lo

=p(p-<2)(p-b)(p-c)

1•庐-("+：~—)*2]=ylp(p-a)(p-b)(p-c)

【解题策略】

一、二次根式的定义

例1函数y=-72X-1的自变量X的取值范围就是()

A.xN—B.x<—C.x工一D.x4—

2222

解题策略:根据二次根式的定义,被开方数必须就是非负数。答案为Ao

例2函数y=-^=-匕上的自变量x的取值范围就是()

Jx-2x—3

A.2<x<5B.2<x<5

C.2<x<5且x。3D.2<x<5且x主3

解题策略:根据二次根式的定义，被开方数必须就是非负数，还应特别注意分式的分母

不能为零。答案为：C。

二、二次根式的性质

例3若y?+4y+4+Jx+y-l=0,则xy的值等于()

A、-6B、-2C、2D、6

解题策略：紧扣二次根式布(a20)就是一个非负数的性质，可以得到："+2)=°,

x+y-l=0

故x=3,y=—2。答案为:A

例4如果J(X-2)2=x-2,那么X的取值范围就是()

A.x<2B.x<2c.x>2D.x>2

解题策略:运用二次根式布(aNO)就是一个非负数的性质知，x-2>0«答案为C。

例5若b<0,化简Cab7的结果就是()

A.—bVabB.bj-abC.—bj-abD.bVab

解题策略:紧紧抓住二次根式被开方数必须就是非负数，由二次根式的性质

[a(a>0)

Va2=|a|=«知

-a(a<0)

V-ab3=J-abb=-bVab

答案为:C

三、最简二次根式

例6把二次根式xR(y>0)化成最简二次根式为。

例7下列各式中属于最简二次根式的就是()

A.&+1B.Jx2y$C.712D.705

解题策略：最简二次根式必须满足下列两个条件：(1)被开方数的因数就是整数，因式

就是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例6的答案为：而，例1的答案为:A。

四、同类二次根式

例8在下列二次根式中与、历就是同类二次根式的就是()

A.V8B.V10C.V12D.V27

例9在下列各组根式中，就是同类二次根式的就是()

A.V3^V18B.6和

C.和Tab7D.GTI和Va^T

解题策略：紧扣定义:化成最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次

根式。例8的答案为A,例9的答案为Bo