高中数学考试的知识点

高中数学考试必备的知识点整理

必修一：

一、集合的运算：

交集：定义：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为AB

并集：定义：由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫并集，记为4B

补集：定义：在全集U中，由所有不属于集合A的元素组成的集合叫补集，记为

二、指数与指数函数

1、幕的运算法则：

(1)am?a"=am+",(2)aman=a"-n,(3)(am)n=amn(4)(ab)

二a"?bn

[n

—n(6)a0=1(aWO)(7)an=—(8)tz™=VF(9)

b"an

21

m_______r

防7

2、根式的性质

(1)(〃T=a.(2)当〃为奇数时，"=a；当〃为偶数时，"=|0=卜"2°.

-a,a<0

5.指数式与对数式的互化：log〃N=Z?0/=N(a>O,awl,N>O).

6、对数的运算法则：

(1)a"=N<=>b=logaN(2)loga1=0(3)logaa=

1

,08flN

(4)log“ab=b(5)a=N(6)loga(MN)=logaM

+logaN

(7)loga(—)=logM-log.N(8)log/Vb=blogN(9)换底公式:

Na0a

log.N

logfca

(10)推论：loghn=—logb(。>0,且。且mwl,N〉0).

amrt

(11)logaN=—1一(12)常用对数：lgN=log,0N(13)自然对数：InA=

log

1、檄J角的三角磁值

角a90°

0°30°45°60°180°270°360°

角a

的弧度0112n

数

Sin

010-10

a

Cos10-101

a

tan不存不存

0100

a在在

2、引诱公式：函数名不变，符号看象限（把a看成锐角）

公式一：Sin(a+2k兀)=Sina公式二：Sin(a+n)=-Sina

Cos(a+2kn)=CosaCos(a+兀)=-Cosa

tan(a+2kn)=tanatan(a+JI)=tana

公式三：Sin(-a)=-Sina公式四：Sin(n-a)=Sina

Cos(-a)=CosaCos(Ji-a)="Cosa

tan(-a)=~tanatan(n-a)=-tana

公式五：Sin(--a)=Cosa公式六：Sin(—+a)=Cosa

22

71JI

Cos(——a)=SinaCos(—+a)=-Sina

22

3、两角和与角差的正弦、余麻正切公式

①sin(a+/?)=sinacos/?+cosasinJ3②sin(a—/?)=sinacos/?—cosasin

③cos0+尸)=cosacos4一sinasinJ3④cos@-p)=cos2cos夕4-sincrsin/?

tana+tan尸⑥tan(a—£)=tanaTan/

⑤tan(or+/?)=

1-tanatan131+tanatan0

4.二倍角的正弦、余掰正切公式

①sin2a=2sinacosa②cos2a=cos?a-sin2a=l-2sin2a-2cos<z2-1

小仁2tana小.l-cos2a金1+cos2a公

(3)tan2cr=------@sin-2a=--------⑤cos2a=--------©

l-tan-a22

1.c

sinacosa=—sin2a

2

5、向量公式:

TTVT->

①〃〃〃o'=一(/，>2HO)(a〃匕0七必一七，，=0)

X2%

—>—>

③cos8=^=__*+"____（求向量的夹角）

卜悔斥彳后可

@a±boa-b=0⑥平面内两点间的距离公式：设。=（x,y）,则

⑦平面内两点间的距离公式：口-々2）+（片一4）

高中数学必修5知识点归纳

第一章解三角形

1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、。的对边，R为AABC的外接圆

的半径，则有，_=_2_=，_=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：①a=2RsinA,0=2RsinB,c=2RsinC；

0hc

②sinA=——，sinB=——，sinC=——；（3）6/:/?:c=sinA:sinB:sinC；

27?2R2R

④a+b+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知

两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情形。（一解、两解、无解三中情

形）

3、余弦定理：在AABC中，有。2=6+。2一2儿85人，b2=^24-c2-2tzccosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

士工FHrVi6'人Ab~c~~ci~—b~万ci~-\-b~-c~

4A^余弓玄定理的推论：cosA=--------------,cosB=---------------,cosC=---------------.

2bc2ac2ab

(余弦定知道决的题型：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其

他两角.)

5、三角形面积公式:U=­/?csinA=—ahsmC=—acsinB

AABC222

6、如何判定三角形的形状：设4、b、c是AABC的角A、B、。的对边，贝(J：①若/+〃=

则C=90；@^a2+b2>c2,则C<90；③若则C>90.

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点

7、(1)测量角度问题是指没法直接用量角器测量角度的求解问题.在实际生活中，要测

量角的大小，求三角形中角度的大小，求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问

题均可结合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解.在解决与测量问题有关的题目时，要

搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含义，公道的构造三角形求解，即把实际问题数学化.

(2)解三角形的运用题时，通常会遇到两种情形，以下：

①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，顺次利用正弦定理或余弦定知道之

②已知量与未知量触及两个或几个三角形，这时需要挑选条件足够的三角形优先研究，再

逐渐在其余的三角形中求出问题的解.

第二章数列

1、数列：依照一定顺序的一列数称为数列。

2、项：①首项:数列中每一项都和它的序号有关，排在第一位的数（at）

②数列记为｛%｝：%、%、。3…。"…

③通项：an

5i=a＞（n=1）

4、已知S“求明的公式：册=｛,

［注］:①”“=«I+（"/=而+3-，/）（4可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数

列也是等差数列）一若d不为0,则是等差数列充分条件）.

②等差｛〃“｝前n项和3=4〃2+即=（£|〃2+卜_介T可以为零也可不为零为等差的

充要条件f若d为零，则是等差数列的充分条件；若〃不为零，则是等差数列的充分条件.

③手零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

5、数列：依照一定顺序排列着的一列数.

6、数列的项：数列中的每一个数.

7、有穷数列：项数有限的数列.

8、无穷数列：项数无穷的数列.

9、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an.,>an）.

10、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：

11、常数列：各项相等的数列（即：anH=an）.

12、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

13、数列的通项公式：表示数列｛a,,｝的第w项与序号〃之间的关系的公式.

14、数列的递推公式：表示任一项凡与它的前一项a,-（或前几项）间的关系的公

式.an=2an_x+l（n>l）

15、结论：n是奇数，2n是偶数，2nT和2n+l是奇数。

等差数列

1、等差数列定义：一样地如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一

个常数。这个常数叫做等差数列的公差；符号表示：&M-a“=d

2、看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①-=d（"N2,d为常数）②2a“=a“+]+a“_]（“22）③a”=切+6（",k为常数

3、等差中项：由三个数a,A,匕组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为

。与人的等差中项.若8=工，则称8为a与c的等差中项.

2

4、通项公式：若等差数列｛q｝的首项是4,公差是d,则为=q+(〃-l)d.

5、等差数列通项公式的变形：①卬=%+("/%)♦；②4=41("l)d；

③八号；④〃二安+1；⑤d=

n-\dn-m

6、结论：若｛%｝是等差数列，且m+〃=p+4(加、〃、p、qeN*),则4“+。“=%+%

若｛a,,｝等差数列，且2〃=p+“(〃、p、qeN*),贝|2。“=%+4.

。“(4+%)n(n-l)

7、等差数列的前〃项和的公式：①~-；②S“=㈣+―彳」d.

③S0=q+%+…+4”

8、等差数列的前〃项和的性质：①若项数为2〃.wN*),则S2〃="(%+%+l)，且

s偶—S奇=",51=4

偶奇S偶.

s力

②若项数为2〃一1(〃GN*),则S,“T=(2〃-1)%,且S奇-S偶=a“，詈=---(其中S奇=nan,

S偶〃-1

S偶=(〃-1)4)・

a>0

9、在等差数列｛6｝中，有关S”的最值问题：⑴当%>0,d<0时，满足"一八的项数

b，n+i<0

[a<0

m使得s,,取最大值.（2）当《〈0,d>0时，满足"'一的项数m使得s,”取最小值。在解含绝

1八之0

对值的数列最值问题时,注意转化思想的运用。

等比数列

1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称

为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.符号表示：&曰=夕（注：①等比数列中不会显

现值为0的项；②同号位上的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①a”=%_闯（"±2,（7为常数,且W0）②年=的+|（"22,工0）

③册=cq"（c,q为非零常数）.④正数列｛“〃｝成等比的充要条件是数列｛log.”,｝（〃>1）成

等比数列.

2、等比中项：在。与b中间插入一个数G,使a,G,匕成等比数列，则G称为。与）的

等比中项.若Grab,则称G为。与力的等比中项.（注：由62="不能得出a,G,b成

等比，由a,G,b=>G2=ab）

3、通项公式：若等比数列｛4｝的首项是q,公比是q,则%=q/T

4、通项公式的变形:①q=40-"'；②q=%qT"T）；③尸=2；④

ax

,一,"=小

5、性质：若｛%｝是等比数列，且m+〃=p+q（加、〃、p、qeN*）,则。“,・4=。屋%;

若｛4｝是等比数列，且2〃=〃+q（"、p、qeN*）,则

〃q（q=i）

6、等比数列｛对｝的前〃项和的公式：①5“="1力aaq

②S“=q+出+…+4”

7、几种常见的数列的思想方法：

①等差数列的前〃项和为5“，在d<0时，有最大值.如何肯定使S“取最大值时的〃值，有

两种方法：一是求使勺NO,an+i<0,成立的〃值；二是由g=9〃2+3「当”利用二次函数的

性质求〃的值.

②数列通项公式、求和公式与函数对应关系以下：

数列通项公式对应函数

等差数y=dx+b（dwC口寸为一次

列函数）

等比数

y=“4'（指数型函数）

列

数列前n项和公式对应函数

等差数y=ax2+bx口寸为二次

列

函数）

等比数

y=aqx+b（指数型函数）

列

综合数列的知识点部分

1、判定和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法:对于n22的任意自然

数，验证氏-为同一常数。⑵通项公式法。（3）中项公式法:验证2a“M=a"+a“_2

an-\

=a“a,+2）neN都成立。

2、数列求和的常用方法

①公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

②裂项相消法:适用于一^其中｛明｝是各项不为0的等差数列，C为常数；部分无理

aa

nn+X.

数列、含阶乘的数列等。

③错位相减法:适用于｛。,化｝其中｛%｝是等差数列，包,｝是各项不为0的等比数列。

④倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

3、常用结论：

①1+2+3+...+n="5+D②1+3+5+...+（2n-l）=n2③

13+23+---+H3=|n(«+l)

④I2+22+32+---+H2=-M(/?+1)(2H+1)⑤—-

6〃(〃+l)n〃+l

n{n+2)2力〃+2

⑥—=--—(---)(〃<4)

pqq-ppq

4、求通项的方法：①累加法，如：an+i-a,,=f(n)②累乘法，如：也=/(〃)

%

③构造法：如：。,用=Aa“+Bna,T+£=A(a“+£)

第三章不等式

1、常见用语的符号表示：“不超过”：W“超过”：>“超不过"：<

2、比较大小的方法：a—b>0<^>a>b；a—b=O<^>a=b；a—b<O<^>a<b.(利用作差

法)

技能：优先推敲加减，后推敲两边平方。

回想：作差法的步骤：作差；变形；定正负；得出结论。

3、不等式的8条性质(利用生活上的一些事情去记忆，例如两(三)人比谁有钱；比谁

高…):

®a>b<^>b<a；（两个的游戏）

@a>h,h>c=>a>c；（第三个是中间人时）

③a>bn〃+c>）+c；（C无需任何条件）（三个游戏）

@a>b,c>O^ac>bc,a>b,c<O^>ac<bc；

⑤a>2,c>d=Q+c>〃+d；（四人游戏，大+大，小+小）

@a>b>O,c>d>0^>ac>hd；（大义大，小义小）

@a>h>O^>an>Z?n（/?eN,n>l）；（分身术）

⑧Q>0=>标>扬N,〃>1）.

关于等式的事实和性质是解决不等式问题的基本根据。

4、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.

5、一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）解的讨论.

二次函数

（。>0）的图象

有两相异实

一元二次方程有两相等实根无实根

根

R

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.

6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对

（x,y），所有这样的有序数对（％），）构成的集合.

8、在平面直角坐标系中，已知直线Ar+By+C=O,坐标平面内的点PQ。,%）.

①若B>0,Axo+B%+C>O,则点「小,为）在直线Ax+By+C=O的上方.

②若B>0,AX0+B为+C<0，则点P（Xo，%）在直线Ax+By+C=O的下方.

9、线性计划：①、画直线（边界）②虚、实线区分：虚线：>/<实线：2/W

③分边：取特别点（在线内外）检验

注意：直线未经过原点时，优先使用（0,0）判定；直线过原点则挑选数轴上的点。

10、线性束缚条件：由x,y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x,y的线性束缚

条件。

目标函数：欲到达最大值或最小值所触及的变量x,y的解析式。

线性目标函数：目标函数为x,y的一次解析式。

线性计划问题：求线性目标函数在线性束缚条件下的最大值或最小值问题。

可行解：满足线性束缚条件的解（x,y）。

可行域：所有可行解组成的集合。

最优解：使目标函数获得最大值或最小值的可行解。

11、设匕是两个正数，则上吆称为正数）的算术平均数，疝称为正数a、匕的几

2

何平均数.

12、均值不等式定理：若a>0,b>0,则。+力22而，即包N而.

2

13、常用的基本不等式：①a?+8222a6(a,0eR)；②出?=——-—(a,beR)；

@ab<(a>Q,b>0)；④以(a,bwR).

高中数学选修1—1知识点归纳

第一章常用逻辑用语

1、命题：可以判定真假的陈说句叫做命题。其中判定为真的语句叫做真命题；判定为假

的语句叫做假命题；

(注意：疑问句、祈使句、感叹句。一样都不是命题；要判定一个命题是真命题，一样需

要经过严格的推理论证，在判定时，要有推理根据，有时应综合各种情形作出正确的判定,

而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

2、命题的条件与结论：“若p,则q”的情势的命题中的p称为命题的条件，q称为命题

的结论。

注意：有些命题虽然表面上不是“若P，则的情势，但是把它的表述作适当改变，也

能够写成“若P，则/的情势.

3、四种命题：

①原命题为：若P，则q,

②抗命题为：若q,则P，即交换原命题的条件和结论即得其抗命题.

③否命题为：若」P，则iq，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.

④逆否命题为：若［q,则IP，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否

命题.

4、四种命题的相互关系：

（一）四种命题之间的相互关系

结论：互为逆否的两个命题是等价的。（对角线命题真假性统一）

（二）四种命题的真假性（三）四种命题的真假性之间的关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的的

原命抗命否命逆否真假性

题题题命题②两个命题为互抗命题或互否命题，它们的

真假性

真真真真没有关系

5、充分条件与必要条件定义：

假真

真假若p=>?则p是q的充分条件，</是p的必要条件

假真真真6、充要条件定义：如果P是q的充分条件，P又

假假假假是q的必要条件，则称p是q的充分必要条件,

简称充要条件，记作〃

注意①充要条件的证明：证明充要条件应从两个方面证明，一是充分性；二是必要性。

②充要条件的判定方法

（1）定义法：直接利用定义进行判定.：

（2）等价法"p?q”表示p等价于％要证p?q,只需证它的逆否命题非壮非「即可，同

理要证p?q,只需证非夕非p即可，所以p?q,只需非弱非p.

（3）集合法：利用集合间的包含关系进行判定.

①若4?8则。是q的充分条件，由可得xGE；

②若4?8,则p是q的必要条件，要使xG区则xWZ是必不可少的;

③若4=8则p是g的充要条件；

④若力28,且则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

7、常见的几种条件：

①若p=>4，但q=>p,则p是q的充分不必要条件（也能够说q的充分条件不必要条

件是p）

②若/nq,但q=p,则p是q的必要不充分条件（也能够说q的必要不充分条件条

是p）;

③若p=>“，且q=p,则p是4的充要条件（也能够说q是p的充要条件），记作paq；

④若p=>4，且则〃是q的既不充分也不必要条件；

※重要结论与注意：小范畴=>大范畴，但是大范畴不能推出小范畴

8、逻辑联结词：且、或、非

且：p且q（pAq）“同真为真；一假即假”

或：p或q（pvq）“同假为假；一真即真”

非：非PG，）：“rp与0的真假相反”

注意：若（pvq）为真，（pAq）为假，则你所得到的结论是？“p、q一真一假”

9、①全称命题：陈说某集合中的所有元素都具有（不具有）某种性质的命题，无一例外，

强调“整体、全部”.

全称命题0：Vxe",p（x）,它的否定："：mxowMJpQo）

常见的全称量词：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给、所有的

②特称命题：陈说某集合中有（存在）一个元素具有（不具有）某种性质的命题，强调“个

别、部分”的特别性.

特称命题°：叫,eM,p（x0）,它的否定"：VxeMJp（x）

常见的特别量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的

结论：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

10、如何判定全称命题和特称命题的真假？

①对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x都验证使O（x）成立；若要判定为假

命题，只需举一个反例.

②对特称命题，若要判定为真命题，只需找一个元素必使0（加）成立；若要判定为假

命题，需证明对每一个X,p（x）不成立.

11、常见词语的否定

词语词语的否定

等于不等F

大于W

小于N

是不是

都是不都是（都不是要区分）

至多一个至少两个

至少一个一个都没有

任意某个

所有的某些

第二章圆锥曲线与方程

（一）椭圆

1、椭圆方程的第一定义：

阿阊+阿尸2卜2a（固定）|招尸2]=2c（焦距）。2=从+。2（a最大）

注：定义中要重视“括号”内的限制条件

2、椭圆的几何性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形

标准方程

范畴-a<x<a^.-b<y<h-h<x<hSL-a<y<a

()(

A](-a,0)、A2(a,0)Aj(O,-7>A20,tz)

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