高一数学课堂抄重点讲义(人教A版2019必修第二册)9.2.2总体百分位数的估计(讲义+例题+小练)(讲义+例题+小练)(原卷版+解析)

9.2.2总体百分位数的估计（讲义+例题+小练）百分位数：如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数。可表示为：一组n个\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"观测值按\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"数值大小排列。如，处于p%位置的值称第p百分位数。计算步骤下面的步骤来说明如何计算第p百分位数。第1步：以递增顺序排列原始数据（即从小到大排列）。第2步：计算指数i=np%第3步：l）若i不是整数，将i向上取整。大于i的毗邻整数即为第p百分位数的位置。2)若i是整数，则第p百分位数是第i项与第(i+l)项数据的平均值。除了以上方法，再介绍另外一种方法，这种方法是SPSS所用方法，也是SAS所用方法之一。第一步：将n个变量值从小到大排列，X(j)表示此数列中第j个数。第二步：计算指数，设(n+1)P%=j+g，j为整数部分，g为小数部分。第三步：1)当g=0时：P百分位数=X(j);2)当g≠0时：P百分位数=g*X(j+1)+(1-g)*X(j)=X(j)+g*[X(j+1)-X(j)]。例1．某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125.则这组数据的分位数是（

）A．100 B．111 C．113 D．1152．数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为________.3．某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”的效果进行评分，评分都在内，将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的70%分位数为___________.举一反三1.从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（

）……8442175331

5724550688

77047447672176335025

83921206766301637859

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69105671751286735807

44395238793321123429

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9966027954A．105 B．556 C．671 D．1692．某班学号的学生铅球测试成绩如下表：学号12345678成绩8.08.1可以估计这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为___________.3．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的75%分位数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．巩固提升一、单选题1．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（

）A．7 B．7．2 C．7．5 D．82．下表为12名毕业生的起始月薪：毕业生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880根据表中所给的数据计算75%分位数为（

）A．2950 B．3050 C．3130 D．30003．为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛．根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（

）A．B．C．D．954．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（

）A．86 B．87 C．88 D．895．为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试，得分（10分制）如图所示，以下结论正确的是（

）A．这30名学生测试得分的中位数为6B．这30名学生测试得分的众数与中位数相等C．这30名学生测试得分的平均数比中位数小D．从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识6．小李于年底贷款购置了一套房子，将通过年期每月向银行还数额相同的房贷，且截止年底，他没有再购买第二套房子．下图是年和年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（

）A．小李一家年用于饮食的支出费用与年相同B．小李一家年用于其他方面的支出费用是年的倍C．小李一家年的家庭收入比年增加了倍D．小李一家年用于房贷的支出费用比年减少了二、多选题7．某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法、讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校名学生的得分情况进行了统计，按照、、、分成组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（

）A．图中的值为B．这组数据的平均数为C．由图形中的数据，可估计分位数是D．分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有人获得该称号8．有“好事者”记录了高州某山地区八月1日至10日的最高温度，分别为：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34．（单位为），下列说法正确的有（

）A．众数为34 B．中位数与第50百分位数相等C．第80分位数是37 D．极差为6三、填空题9．数据、、、、、、、、的第百分位数是________．10．下列判断正确的是______（1）若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数．（2）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23．（3）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24．四、解答题11．为了了解市民的环保意识，某校高一（1）班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：每户丢弃旧塑料袋个数2345户数6171512(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数．12．“FMC”是由复旦大学阳属中学联合浦东分校､青浦分校､复旦中学举行的数学学科知识竞赛，欢迎在数学上有所特长､或是对数学学科感兴趣的同学们报名参加，现将某次参加“FMC”的学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考察该次竞赛的成绩分布.将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组.各小组的小长方形的高的比为1∶3∶6∶4∶2，第五组的频数为12.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：(1)该样本的容量是多少？(2)成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；(3)该样本的第75百分位数在第几组中？9.2.2总体百分位数的估计（讲义+例题+小练）百分位数：如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数。可表示为：一组n个\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"观测值按\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"数值大小排列。如，处于p%位置的值称第p百分位数。计算步骤下面的步骤来说明如何计算第p百分位数。第1步：以递增顺序排列原始数据（即从小到大排列）。第2步：计算指数i=np%第3步：l）若i不是整数，将i向上取整。大于i的毗邻整数即为第p百分位数的位置。2)若i是整数，则第p百分位数是第i项与第(i+l)项数据的平均值。除了以上方法，再介绍另外一种方法，这种方法是SPSS所用方法，也是SAS所用方法之一。第一步：将n个变量值从小到大排列，X(j)表示此数列中第j个数。第二步：计算指数，设(n+1)P%=j+g，j为整数部分，g为小数部分。第三步：1)当g=0时：P百分位数=X(j);2)当g≠0时：P百分位数=g*X(j+1)+(1-g)*X(j)=X(j)+g*[X(j+1)-X(j)]。例1．某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125.则这组数据的分位数是（

）A．100 B．111 C．113 D．115【答案】D【解析】【分析】根据第p百分位数的定义直接计算，再判断作答.【详解】由知，这组数据的分位数是按从小到大排列的第6个位置的数，所以这组数据的分位数是115.故选：D2．数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为________.【答案】28【解析】【详解】把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因为有12个数据，所以12×70%＝8.4，不是整数，所以数据的70%分位数为第9个数28.3．某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”的效果进行评分，评分都在内，将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的70%分位数为___________.【答案】80【解析】【分析】利用百分位数的概念以及频率分布直方图求解..【详解】因为前4组数据的频率之和为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，所以70%分位数为80.故答案为：80举一反三1.从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（

）……8442175331

5724550688

77047447672176335025

83921206766301637859

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9966027954A．105 B．556 C．671 D．169【答案】C【解析】【分析】由随机表及编号规则确定抽取的6件产品编号，再从小到大排序，应用百分位数的求法求75%分位数.【详解】由题设，依次读取的编号为，根据编号规则易知：抽取的6件产品编号为，所以将它们从小到大排序为，故，所以75%分位数为.故选：C2．某班学号的学生铅球测试成绩如下表：学号12345678成绩8.08.1可以估计这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为___________.【答案】【解析】【分析】利用百分位数的计算方法即可求解.【详解】将以上数据从小到大排列为，，，，，，，；%，则第25百分位数第项和第项的平均数，即为.故答案为：.3．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的75%分位数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】(1)20人(2)(3)【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例．(1)由频率分布直方图知，分数在[50，90）的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人(2)测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为(3)由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为．巩固提升一、单选题1．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（

）A．7 B．7．2 C．7．5 D．8【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案．【详解】解：因为，所以第80％分位数为第8个数，故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8.故选：D．2．下表为12名毕业生的起始月薪：毕业生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880根据表中所给的数据计算75%分位数为（

）A．2950 B．3050 C．3130 D．3000【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】由小到大排列12个数据为2710，2757,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；因为，所以75%分位数为，故选：D3．为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛．根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（

）A．B．C．D．95【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图分别求出成绩在，的频率，进而得解.【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在的频率为成绩在的频率为，又，所以40%成绩较高的学生的分数在之间，且最低分数为故选：C4．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（

）A．86 B．87 C．88 D．89【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义直接得出.【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.故选：C.5．为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取30名学生参加防控知识测试，得分（10分制）如图所示，以下结论正确的是（

）A．这30名学生测试得分的中位数为6B．这30名学生测试得分的众数与中位数相等C．这30名学生测试得分的平均数比中位数小D．从这30名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识【答案】D【解析】【分析】利用中位数，众数，平均数的计算方式可判断各个选项.【详解】对于A，这30名学生测试得分的中位数为，故A错误；对于B，这30名学生测试得分的众数为5，故B错误；对于C，这30名学生测试得分的平均数为，故C错误；对于D，因为抽取的30名学生测试得分普遍偏低，所以预测该校学生对疫情防控的知识掌握不够，建议学校加强学生疫情防控知识的学习，增强学生日常防控意识，故D正确．故选：D6．小李于年底贷款购置了一套房子，将通过年期每月向银行还数额相同的房贷，且截止年底，他没有再购买第二套房子．下图是年和年小李的家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（

）A．小李一家年用于饮食的支出费用与年相同B．小李一家年用于其他方面的支出费用是年的倍C．小李一家年的家庭收入比年增加了倍D．小李一家年用于房贷的支出费用比年减少了【答案】B【解析】【分析】根据条件可知年和年用于房贷的支出费用相同，由此根据的比例分配图可计算出年和年家庭收入情况，然后即可分析各选项是否正确.【详解】由于小李每月向银行还数额相同的房贷，故可知年用于房贷方面的支出费用跟年相同，故D选项错误；设一年房贷支出费用为，则可知小李的家庭收入为年小李的家庭收入为所以小李一家年的家庭收入比年增加了故C选项错误；年，年用于饮食的支出费用分别为故A选项错误；年，年用于其他方面的支出费用分别为故B选项正确；故选：B二、多选题7．某市为了考察一所高中全体学生参与第六届全国中小学生“学宪法、讲宪法”宪法小卫士活动的完成情况，对本校名学生的得分情况进行了统计，按照、、、分成组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（

）A．图中的值为B．这组数据的平均数为C．由图形中的数据，可估计分位数是D．分以上将获得金牌小卫士称号，则该校有人获得该称号【答案】BC【解析】【分析】由直方图的面积之和为可判断A选项；求出平均数可判断B选项；求出分位数可判断C选项；计算出该校获得金牌小卫士称号的人数可判断D选项.【详解】对于A选项，由频率分布直方图可知，解得，A错；对于B选项，这组数据的平均数为，B对；对于C选项，，，所以，设这组数据分位数为，则，则，解得；对于D选项，由频率分布直方图可知，该校获得金牌小卫士称号的人数为人，D错.故选：BC.8．有“好事者”记录了高州某山地区八月1日至10日的最高温度，分别为：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34．（单位为），下列说法正确的有（

）A．众数为34 B．中位数与第50百分位数相等C．第80分位数是37 D．极差为6【答案】ABC【解析】【分析】根据众数的定义可判断A；求出中位数与第50百分位数可判断B；求出第80分位数可判断C；求出极差可判断D，进而可得正确选项.【详解】将温度数据按从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，对于A：众数为34，故选项A正确；对于B：中位数为，，所以第50百分位数为，所以中位数与第50百分位数相等，故选项B正确；对于C：，所以80分位数是，故选项C正确；对于D：极差为，故选项D不正确，故选：ABC.三、填空题9．数据、、、、、、、、的第百分位数是________．【答案】【解析】【分析】利用百分位数的定义可求得结果.【详解】将这组数据由小到大排列依次为、、、、、、、、，共个数，因为，故这组数据的第百分位数是.故答案为：.10．下列判断正确的是______（1）若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数．（2）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23．（3）若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24．【答案】（1）（3）【解析】【分析】结合百分位数概念直接判断即可.【详解】对于（1），因为一组样本数据各不相等，假设该组数据有10个数，25%分位数为第三个数，75%分位数为第八个数，故其75%分