鲁教版八年级数学上册第十五章阶段强化专训附答案

鲁教版八年级数学上册第十五章专训一

轴对称与轴对称图形的关系

名师点金：轴对称图形是指一个图形，成轴对称是指两个图形的位置关系.在

某种情况下，二者可以相互转换.利用轴对称的性质可以求平面直角坐标系中关

于x轴、y轴对称的点的坐标，还可以利用轴对称的性质解决几何图形中的最短

路径等问题.

潮嫌逸度；轴对称的作图

1.下列图形中，右边图形与左边图形成轴对称的是（）

22S00mm

ABCD

2.如图，已知^ABC和直线MN,求作△A，B，C,使△ABC，和^ABC关

于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）

网卷逾设?二轴对称图形的再认识

3.（2015•河北）一张四边形纸片按图①，图②依次对折后，再按图③打出一

个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）

①②③（第3题）

ABCD

（第4题）

4.如图是4X4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从

其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对

称图形，这样的白色小方格有_______个.

浏蠢通度头轴对称及轴对称图形的性质的应用

类型1利用轴对称及轴对称图形的性质求面积（转化思想）

（第5题）

5.如图，AABC是轴对称图形，且直线AD是AABC的对称轴，点E,F

是线段AD上的任意两点，若aABC的面积为12c7水，则图中阴影部分的面积

是cm2.

类型2利用轴对称求与坐标有关的问题

6.已知点M（2a—b,5+a）,N（2b-1,-a+b）.

（1）若点M,N关于x轴对称，试求a,b的值；

（2）若点M,N关于y轴对称,试求（b+2a严16的值.

类型3利用轴对称解决四边形中的折叠问题

7.把一张长方形纸片ABCD按图中的方式折叠，使点A与点E重合，点C

与点F重合（E,F两点均在BD上），折痕分别为BH,DG.求证：ABHE^ADGF.

（第7题）

类型4利用轴对称的性质解决几何中的最值问题

8.如图，NAOB=30。，点P是NAOB内一点，OP=10,点M,N分别在

OA,0B上，求aPNlN的周长的最小值.

（第8题）

专训二：轴对称图形性质的应用

名师点金：本章中除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线

段和角，灵活运用线段的垂直平分线和角的平分线的性质可以求线段的长度，求

角的度数，证明数量关系等.

理界工应用于求线段的长

1.如图，在aABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂

足分别为F,G,已知4ADE的周长为12cm,则BC=.

（第1题）

2.如图，在AABC中，AB〉BC,AB=AC,DE是AB的垂直平分线，垂

足为D,交AC于E.若AABC的周长为41cm,一边长为15cm,求4BCE的周

长.

（第2题）

应用2应用于求角的度数

3.如图，在Rr^ABC中，ZC=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点

D,交AB于点E,连接AD,AD将NCAB分成两个角，且N1：N2=2：5,

求/ADC的度数.

（第3题）

:应帮手应用于证线段相等（作垂线段法）

4.如图，已知NAOB=90。，OM是NAOB的平分线，将三角尺的直角顶

点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA,OB交于点C,D.求证:PC=PD.偎

示：四边形的内角和等于360。）

（第4题）

:应用4应用于证不等关系（截取法）

5.如图，AD为AABC的中线，DE,DF分别是4ADB和AADC的角平分

（第5题）

专训三：活用“三线合一”巧解题

名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知

道其中“一线"，就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的

性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程.

攫芍工利用“三线合一”求角的度数

1.如图，房屋顶角NBAC=100。，过屋顶A的立柱ADLBC,屋檐AB=

AC.求顶架上的NB,ZC,ZBAD,NCAD的度数.

A

1题）

攫芍Z利用“三线合一”求线段的长

2.如图，在aABC中，AB=AC,AD=BD=BC,DELAB于点E,若CD

=6,且aBDC的周长为26,求AE的长.

:狡芍3.利用“三线合一”证线段、角相等

3.如图，已知aABC中，NA=90。，AB=AC,D为BC的中点，E,F分

别是AB,AC上的点，且BE=AF.

求证：DE=DF.

C（第3题）

激芍生利用“三线合一”证垂直

4.如图，在△ABC中，AC=2AB,AD平分NBAC,E是AD上一点，且

EA=EC.求证：EB1AB.

B

（第4题）

:投芍工利用“三线合一”证线段的倍数关系（构造三线法）

5.如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BF平分

ZABC,CD_LBF交BF的延长线于点D.试说明：BF=2CD.

A

BZ-----（第5题）

.投芍0利用“三线合一”证线段的和差关系（构造三线法）

6.如图，在AABC中，ADLBC于点D,且NABC=2NC.试说明：CD=

AB+BD.

A

（第6题）

专训四：巧用特殊角构造含30。角的直角三角形

名师点金：在解决有关三角形的问题时，遇到含有120。角的等腰三角形或

含有30。角的三角形时，常常通过连线，延长或作垂线的方式，构造含30。角的

直角三角形，将角的关系转化为边的关系来解决问题.

猛芍1直接运用含30。角的直角三角形的性质

c

D

AEB

（第1题）

1.（2015•青岛）如图，在/XABC中,ZC=90°,ZB=30°,AD>AABC

的角平分线，DE_LAB,垂足为E,DE=1,则BC=（）

A巾B.2C.3。.小+2

2.如图，已知aABC中，AB=AC,ZC=30°,AB±AD,AD=4cvn.求

BC的长.

A

BDC

（第2题）

找芍Z连线段构造含30。角的直角三角形

3.如图，在aABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D为BC的中点，DE±AC

于E,AE=8,求CE的长.

A

BDC（第3题）

4.如图，已知在AABC中，AB=AC,ZA=120°,DE垂直平分AB于点

D,交BC于点E.求证：CE=2BE.

（第4题）

:蓬芍多延长两边构造含30。角的直角三角形

5.如图，四边形ABCD中，AD=4,BC=1,ZA=30°,ZB=90°,ZADC

=120°,求CD的长.

D

4/--------------JB（第5题）

慈芍生作垂线构造含30。角的直角三角形

6.如图，四边形ABCD中，ZB=90°,DC〃AB,AC平分NDAB，ZDAB

=30。.求证：AD=2BC.

D.r

（第6题）

7.如图，在aABC中，BD=DC,若AD，AC,NBAD=30。.求证：AC=

；AB.

BDC（第7题）

答案

专训一

1.B

2.解：如图.

（第2题）

3.C4.4

5.6点拨：:△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，.../XABD与

△ACD关于直线AD对称..,.5用口=59=为2.又；点E,F是AD上的任

意两点，...△BEF与aCEF关于直线AD对称....SABEF=SACEF.，S瞰=SAABE

+SABEF+SABDF—SAABD=；S^ABC=；义12=6(cm2).

6.解：(I)'.•点M,N关于x轴对称，

2a—b=2b—l,[a=~8,

:A解得〈

.5+a=—(—a+b),[b=-5.

（2厂・♦点M,N关于y轴对称,

2a—b=—(2b—1)a=­1,

解得b=3.

5+a=—a+b,

.,.(b+2a)20l6=[3+2X(-l)]20l6=l.

7.证明：由折叠可知NABH=NEBH=£/ABD,ZCDG=ZFDG=1

ZCDB,NHEB=NA=NGFD=NC=90。，AB=BE,CD=DF.VAB/7CD,

/.ZABD=ZCDB.

，ZEBH=ZFDG.VAB=CD,:.BE=DF.

在△BHE和△DGF中，

NEBH=NFDG,

BE=DF,ABHE^ADGF(ASA).

ZHEB=ZGFD,

点拨：用轴对称性质解决折叠问题的关键是折叠前后重合的部分全等，所以

对应角相等、对应线段相等.

八R4

P,

（第8题）

8.解：如图，分别作点P关于OA,0B的对称点Pi,P2,连接PP2,交

0A于M,交0B于N,连接PM,PN,OPi,OP2,此时APNIN的周长最小，

△PMN的周长=PM+MN+PN=PIM+MN+NP2=PIP2,VZPIOP2=2ZAOP

+2ZBOP=2ZAOB=60°,OP=OPi=OP2,△OP1P2为等边三角形.

.,.PiP2=OPi=OP2=OP=10.

.•.△PMN的周长的最小值为10.

专训二

1.12cm

2.解：因为aABC的周长为41cm,一边长为15c〃z,AB>BC,所以AB

=15cm,所以BC=11c加.根据线段垂直平分线的性质可得BE+CE=AE+CE

=AC,所以4BCE的周长=BE+CE+BC=26a”.

3.解：VZ1：Z2=2：5,.•.设Nl=2x,则N2=5x.

VDE是线段AB的垂直平分线，，AD=BD.

.,.ZB=Z2=5x..*.ZADC=Z2+ZB=10x.

在Z\ADC中,2x+10x=90°,解得x=7.5。，

.,.ZADC=10x=75°.

4.证明：如图，过点P作PELOA于点E,PFLOB于点F,

A

M

c

工

oDFB

(第4题)

•,.ZPEC=ZPFD=90°.

又•.•OM是NAOB的平分线，

，PE=PF.

VZAOB=90°,ZCPD=90°,

，ZPCE+ZPDO=360°-90°-90°=180°.

而ZPDO+ZPDF=180°,

.,.ZPCE=ZPDF,

rZPCE=ZPDF,

在APCE和APDF中，1NPEC=NPFD,

IPE=PF,

/.△PCE^APDF(AAS)..*.PC=PD.

5.证明：在DA上截取DH=BD,连接EH,FH.

•.,AD是BC边上的中线，/.CD=BD=DH.

'.•DE平分NADB,，NBDE=/HDE.

又；DE=DE,.,.△BDE^AHDE(SAS).

，BE=HE.同理4CDF乌△HDF(SAS),

，CF=HF.

在aHEF中，VHE+HF>EF,/.BE+CF>EE

专训三

1.解：因为AB=AC,NBAC=100。，ADLBC,所以NB=NC=40。，ZBAD

=ZCAD=50°.

2.解:♦△BDC的周长=BD+BC+CD=26,CD=6,

.,.BD+BC=20.

VAD=BD=BC,

/.AD=BD=BC=10.

，AB=AC=AD+CD=10+6=16.

VAD=BD,DE±AB,AE=EB=；AB=8.

3.证明：连接AD.；AB=AC,D为BC的中点，

.,.AD±BC,

.,.ZADB=90°.

VAB=AC,ZBAC=90°,

.,.ZB=ZC=45°.

在AABD中，ZBAD=180°-ZB-ZADB=45°,

/.ZB=ZBAD,•，,BD=AD.

又•.,BD=CD,，AD=CD,

/.ZDAC=ZC=45O,.*.ZB=ZDAC.

又•.•BE=AF,/.ABDE^△ADF(SAS),ADE=DF.

(第4题)

4.证明：如图，过点E作EF_LAC于F.；EA=CE,

/.AF=^AC.

又AB=3AC,

，AF=AB.

VAD平分NBAC,

:.ZFAE=ZBAE.

又•.•EA=EA,

...AAEF^AAEB(SAS).NABE=ZAFE=90°,

即EB±AB.

E

(第5题)

5.解：如图，延长BA,CD交于点E.

「BF平分NABC,CD1BD,

，NDBC=NDBE,NBDC=NBDE=90。，

XVBD=BD,

/.△BDC^ABDE.

/.BC=BE.

XVBD1CE,，CE=2CD.

VZBAC=90°,ZBDC=90°,ZAFB=ZDFC,

/.ZABF=ZACE.

又•.•AB=AC,NBAF=NCAE=90。，

/.△ABF^△ACE(ASA).；.BF=CE.

ABF=2CD.

A

（第6题）

6.解：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E,连接AE,则

AE=AB,所以NAEB=NABC.

因为ADLBC,所以AD是BE边上的中线，即DE=BD.

又因为NABC=2NC,

所以NAEB=2NC.

而/AEB=NCAE+NC,所以NCAE=NC.所以CE=AE=AB,故CD=

AB+BD.

专训四

1.C

2.解：VAB=AC,ZC=30°,AZB=ZC=30°.

又•.'ABLAD,.,.ZADB=60°.

又,/ZADB=ZC+ZCAD,

，ZCAD=30°=ZC.ACD=AD=4cm.

VAB±AD,ZB=30°,

，BD=2AD=8cm.，BC=BD+CD=12cw.

3.解：连接AD,VAB=AC,D为BC的中点，

AAD1BC,ZBAD=ZCAD=|zBAC=1x120°=60°.

在用4ADE中，ZEAD=60°,AZADE=30°,，AD=2AE=16.在AABC

中，AB=AC,ZBAC=120°.

.,.ZB=ZC=30°,；.AC=2AD=2X16=32.

，CE=AC—AE=32—8=24.

(第4题)

4.证明：如图，连接AE.

VAB=AC,ZBAC=120°,

/.ZB=ZC=30o.

「DE垂直平分AB,.,.BE=AE./.ZBAE=ZB=30°.

，ZEAC=120°-30°=90°.

又•.•NC=30°,，CE=2AE.又•；BE=AE,

，CE=2BE.

5.解：延长AD,BC交于点E.

VZA=30°,ZB=90°,/.ZE=60°.

又•:NADC=120°,ZEDC=180°-120°=60°.

.•.△DCE是等边三角形.

设CD=CE=DE=a,则有2(1+a)=4+a,解得a=2.

ACD的长为2.

6.证明：过点C作CELAD交AD的延长线于E.

•.•DC〃AB,ZDAB=30°,AZCDE=30°.

在R/Z^CDE中，NCDE=30。，，CD=2CE.

又「AC平分NDAB,

，/DAC=NBAC,

又•.•DC〃AB,，NBAC=NDCA,

/.ZDAC=ZDCA,/.AD=CD.

XVCE1AE,CB1AB,AC平分/DAB,

.,.BC=CE,/.AD=2BC.

7.证明：过点B作BELAD交AD的延长线于点E,则NDEB=90。.

VZBAD=30°,，BE=；AB.

VADIAC,AZDAC=90°,

:.ZDEB=ZDAC.XVBD=CD,ZBDE=ZCDA,

/.△BED^ACAD,

ABE=AC,.，.AC=；AB.

点拨：由结论AC=；AB和条件NBAD=30。，就想到能否找到或构造直角

三角形，而显然图中没有含30。角的直角三角形，所以过点B作BELAD交AD

的延长线于点E,这样就得到了直角三角形ABE,这是解决本题的关键.

八年级数学上册期中达标测试卷

一、选择题（1〜10小题各3分，11〜16小题各2分，共42分）

1.4的算术平方根是（）

A.±y[2B.y[2C.±2D.2

2.下列分式的值不可能为0的是（）

4x—24x-92x+1

AC.个D.

X-2B-+Ix—2X

3.如图，若△ABC丝△CD4,则下列结论错误的是（）

A.Z2=Z1B.Z3=Z4

C.ZB=ZDD.BC=DC

（第3题）（第5题）

4.小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为50.47g,用四舍五入法将50.47精确到0.1

为（）

A.50B.50.0

C.50.4D.50.5

5.如图，已知N1=N2,AC=AE,添加下列一个条件后仍无法确定

ADE的是（）

A.ZC=ZEB.BC=DE

C.AB=ADD.NB=ND

6.如图，点A,D,C,E在同一条直线上，AB//EF,AB=EF,NB=/F,AE

=10,AC=7,则A。的长为（）

A.5.5B.4C.4.5D.3

（第6题）（第8题）

2

7.化简台x7+亡1的结果是（）

A.x+1B.।,C.x—1D.—

X十1X—1

8.如图，数轴上有A,B,C,。四点，根据图中各点的位置，所表示的数与5

—4TT最接近的点是（）

A.AB.BC.CD.D

9.某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，

已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所

用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，则可列方程为（）

A-3-00=--2-00-R-3-0-0-=-2-00-

xx+30x-30x

„300200_300200

r----=---D--=----

x+30xxx—30

10.如图，这是一个数值转换器，当输入的x为一512时，输出的丁是（）

,_____,________星无理数______

।输入力｛取立方根।—一输出1

是有理数

（第10题）

A.一姐B.姬C.-2D.2

11.如图，从①8C=EC；@AC=DC；@AB=DE；④NAC£>=NBCE中任取三

个为条件，余下一个为结论，则可以构成的正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

'A

M

（第11题）（第12题）

12.如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ,已知PQ=5,

NQ=9,则MH的长为（）

A.3B.4C.5D.6

“2-11

13.若△+丁则“△”是（）

14.以下命题的逆命题为真命题的是（）

A.对顶角相等

B.同位角相等，两直线平行

C.若a=b,则序="2

D.若a>0,b>0,则/+/>（）

15.注十二^的值可以是下列选项中的（）

A.2B.1C.0D.-1

16.定义：对任意实数x,田表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3,=[—

1.2]=—2.对65进行如下运算:①[洞=8；②[m]=2；③[啦]=1,这样

对65运算3次后的结果就为1.像这样，一个正整数总可以经过若干次运算

后使结果为1.要使255经过运算后的结果为1,则需要运算的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

二、填空题（17小题3分，18,19小题每空2分，共11分）

17.如图，要测量河两岸相对的两点A,8间的距离，先在的垂线8尸上取

两点C,D,使BC=CO,再作出8尸的垂线OE,使点A,C,E在同一条直

线上，可以证明△ABCgaEOC,从而得到因此测得。E的长就

是A8的长，判定aABC之△EOC,最恰当的理由是.

A

（第17题）

18.已知：笆族2.683,则巾示I,AJO.OOO72-.

19.一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km

所用的时间与以最大航速逆流航行60km所用的时间相同，如果设江水的流

速为xkm/h,根据题意可列方程为,江水的流速为

____km/h.

三、解答题（20小题8分，21〜23小题各9分，24,25小题各10分，26小题12

分,共67分）

20.解分式方程.

（1）]=2-7；

x—2x—2

(2)l+2x-l-2x=4^-r

21.已知(3x+2y—14)2+q2x+3)­6=0.求:

(l)x+y的平方根；

(2)y—x的立方根.

yp"-2x~1x-1

22.有这样一道题：“计算？_[+号-x的值,其中x=2020”甲同学把“x

=2020”错抄成“x=2021”，但他的计算结果也是正确的.你说说这是怎么回

事？

23.如图，AB〃C。，AB=CD,AD,8c相交于点O,BE//CF,BE,b分别

交A。于点E,F.求证：

(1)A^BO^AZ)CO；

(2)BE=CF.

（第23题）

24.观察下列算式：

回2x4x6x8+16=4(2x8)2+标=16+4=20；

(2hj4x6x8xl0+16=7(4x10)2+灰=40+4=44；

(3)^/6x8x10x12+16=4(6x12)2+班=72+4=76；

软8x10x12x14+16=^(8x14)2+.=]]2+4=116；....

(1)根据以上规律计算：-\/2016x2018x2020x2022+16；

(2)请你猜想#2〃(2〃+2)~(2〃+4)~(2〃+6)+16(〃为正整数)的结果(用含n

的式子表示).

25.下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.

12.5分式方程的应用

小红家到学校的路程是38km，小红从家去学校总是

先乘公共汽车，下车后步行2km,才能到校，路途所用的

时间是1h,已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍.

求小红步行的速度.

..38-22.f38-262

冰，水：—―--H----1庆庆：-----=9X—

vxxI-yy

根据以上信息，解答下列问题：

(1)冰冰同学所列方程中的X表示,

庆庆同学所列方程中的y表示_________________________________

(2)从两个方程中任选一个，写出它的等量关系；

(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题.

26.如图①，AB=7cm,AC±AB,BDLAB,垂足分别为A,B,AC=5cm.点P

在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点8运动，同时，点。在射线8。上

运动.它们运动的时间为fs(当点P运动至点B时停止运动，同时点Q停止

运动).

(1)若点。的运动速度与点P的运动速度相等，当7=1时，与△BP。是

否全等？并判断此时线段PC和线段P。的位置关系，请分别说明理由.

(2)如图②，若“ACLAB,改为“NCAB=NOBA=60。"，点Q的运动速

度为xcm/s,其他条件不变，当点P,。运动到某处时，有△ACP与△BPQ

全等，求出相应的x,f的值.

（第26题）

答案

一、l.D2.A3.D4.D5.B

6.D'JAB//EF,

NA=Z£.

又ZB=ZF,

，△ABC丝A£FD(ASA).

.'.AC=DE=7.

：.AD=AE~DE=10-7=3.

7.A8.D9.C10.All.B12.B

“1a2—1a+1

Z.△=--------=----.

a—1aa

14.B15.D16.A

二、17.ASA18.26.83；0.02683

J20=60

30+x30-x'

根据题意可得

12060到用

30+x-30-x，解得x-l。，

经检验，x=l0是原方程的解，

所以江水的流速为lOkm/h.

三、20.解：(I)去分母，得3=2(x—2)一工

去括号，得3=2x—4—x.

移项、合并同类项，得x=7.

经检验，x=7是原方程的解.

(2)去分母，得2(l—2x)—3(l+2x)=-6.

去括号，得2—4x—316x=-6,

移项、合并同类项，得一10%=-5.

解得x=1.

经检验，尤=:是原方程的增根，

原分式方程无解.

21.解：•.•(3彳+2〉一14)2+。2%+3旷一6=0,(3x+2y~14)2^0,22^+3y一620,

3x+2y—14=0,2x+3y—6=0.

3x+2y—14=0,‘%=6,

解得

-.J=-2.