上海市徐汇中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题

徐汇中学2023学年第二学期高三数学练习卷2024.03一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知集合，集合，则__________.2.不等式的解集是__________.3.已知椭圆的离心率为，则实数=__________.4.若复数满足（其中是虚数单位），则__________.5.某班级测验均分ξ~N(70，σ2)，根据检测结果可知P(60≤ξ≤80)＝0.90，若该班级40名学生，则60分以下的人数大约为__________.6.的二项展开式中项的系数为__________.7.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，当cm时，该容器的容积为__________cm³8.公司库房中的某种零件的60%来自甲公司，40%来自乙公司，两个公司的正品率分别为98%和95%.从库房中任取一个零件，它是正品的概率为__________.9.若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为为__________.10.已知，若函数图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是__________.11.已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是__________.12.设均为正数且，则使得不等式总成立的k的取值范围为__________.二、选择题(本大题共有4题,满分18分，13-14题每题得4分，15-16题每题得5分)

13.设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件14.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（）A．与垂直 B.与平面垂直C．与平行 D.与平面平行15.定义曲线为椭圆（）的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴；②曲线有对称中心；③曲线与椭圆C有公共点.其中正确的结论个数为（）A.0B.1C.2D.316.已知函数，其中为正整数，且为常数．若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，则a的取值范围是（）三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.（1）求直线和平面所成角的大小；（2）求该几何体的表面积.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知向量，.设.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.2024年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动如下：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，且顾客有放回地抽取3次。超市设计了两种抽奖方案.方案一：若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券。方案二：若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖。（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3题满分8分.已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线（）与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且.（1）求曲线的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）当四边形的面积时，求的值.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知实数，，.(1)求；(2)若对一切成立，求的最小值；(3)证明：当正整数时，.参考答案一、填空题1.；2.；3.或；4.10；5.2；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是__________.【答案】【解析】, 是首项为,公比为3的等比数列,代入不等式得,,即,根据二次函数和指数函数的增长幅度,又知为正整数,在时最大,之后越来越小,,故答案为:.12.设均为正数且，则使得不等式总成立的k的取值范围为______．【答案】【解析】因为均为正数且,则,

不妨设,其中.所以,

因为,则,令.

则,所以，,

所以，,

令,其中,则,

所以,函数在上单调递减,所以,,

所以,.故答案为:.二、选择题13.；14.；15.；16.15.定义曲线为椭圆（）的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴；②曲线有对称中心；③曲线与椭圆C有公共点.其中正确的结论个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】【解析】曲线上取点,则该点关于轴对称的点也在曲线,故曲线关于轴对称,同理可证曲线关于轴对称,则该点关于原点对称点也在曲线,故曲线关于原点对称,故(1)(2)正确;

曲线,则,而椭圆中,,故曲线与椭圆无公共点,(3)错误;综上,正确的有2个,故选:.16.已知函数，其中为正整数，且为常数．若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，则a的取值范围是（）【答案】【解析】函数的导数,当时,恒成立,函数在上单调递增,若函数在内均存在唯一零点,只需即可,即

为正整数,,对一切成立,当时,,当且仅当时等号成立,故选:.三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）①方案一，方案二②选择方案一20.已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线（）与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且.（1）求曲线的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）当四边形的面积时，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)由条件得,整理得,即曲线的方程为;

(2),代入得整理得,

设,则

所以,所以,因为,所以,,

又因为在曲线上,代入得（整理得,

当时,可得,解得,所以直线的方程为;

(3)因为点到直线的距离

设四边形面积为的面积为,

则

所以

将代入得,当时,,解得,所以,所以21.已知实数，，.(1)求；(2)若对一切成立，求的最小值；(3)证明