上海市南汇中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

南汇中学2023学年第二学期高一年级数学期中2024.05一、填空题（本大题共12小题，每小题3分）1．若点，，则向量的坐标是________．2．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为________．3．函数在上的定义域为________．4．已知，且，则________．5．设向量，，且，则的值为________．6．若向量，的夹角，，，则_______．7．将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为________．8．已知顶点在原点的锐角，始边在轴的非负半轴，，终边绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为________．9．在中，，，为的中点，在线段上，则的最小值为________．10．若函数，与的图像交于，两点，则________．11．已知函数的表达式是，若对于任意都满足，则实数的取值范围是________．12．已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是________．二、选择题（本大题共4小题，每小题3分）13．已知非零向量，，则是成立的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要14．已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（）．A． B． C． D．15．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（）．A． B． C． D．16．对于函数，有以下4个结论：①函数的图像是中心对称图形；②任取，恒成立；③函数的图像与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；④函数与直线的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等．其中正确的个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题共5小题，共52分）17．（本题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）已知、是同一平面内的两个向量，其中，．（1）求与的夹角；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．18．（本题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）在中，为边上一点，设．（1）若，试用，的线性组合表示；（2）若，且，，求的值．19．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）设为常数，函数．（1）设，求函数的严格增区间；（2）若函数为偶函数，求此函数在上的值域．20．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7）落户上海的某休闲度假区预计于2024年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点处，出口在点处，游客可从入口沿着观景通道到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道到达出口（为内一点）．（1）若是以为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知函数，函数，设．（1）求证：是函数的一个周期；（2）当时，求函数在区间上的最大值；（3）若函数在区间内恰好有奇数个零点，求实数的值．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、选择题13.C14.B15.B16.B15．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦型函数的性质,函数示意图如下:

所以,则,可得.故选:.三．解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）（2）20．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7）落户上海的某休闲度假区预计于2024年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点处，出口在点处，游客可从入口沿着观景通道到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道到达出口（为内一点）．（1）若是以为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．【答案】（1）3分钟（2）当时,面积的最大值为平方米.【解析】(1)由题设,米,米,

在中,由余弦定理得,所以米.

游客可从入口沿着观景通道到达出口，所需时间为分钟,游客沿便捷通道到达出口所需时间为分钟，

所以该游客从入口步行至出口,走便捷通道比走观景通道可以快分钟.

(2),设则,在中,

由正弦定理得得,

所以面积

当时,面积的最大值为平方米.21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知函数，函数，设．（1）求证：是函数的一个周期；（2）当时，求函数在区间上的最大值；（3）若函数在区间内恰好有奇数个零点，求实数的值．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】(1)证明:因为

所以是函数的一个周期.(2)当时，在区间上的解析式为,

令,,则,则可转化为,,

由二次函数的性质可得函数的最大值为,

所以当时，在区间上的最大值为.

(3)当时，设,令,则