高考数学一轮复习点点练17平面向量的概念及线性运算

点点练17__平面向量的概念及线性运算一基础小题练透篇1．[2023·江西省丰城中学期中考试]下列命题中正确的是()A．若a、b都是单位向量，则a＝bB．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A、B、C、D四点构成平行四边形C．若a∥b，且b∥c，则a∥cD．eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是两平行向量2．[2023·河南省豫北中原名校大联考]已知A，B，C，D为平面上四点，则“向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))”是“直线AB∥CD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在△ABC中，点D在边AB上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))，设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC．eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)bD．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b4．已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝15.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．46.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，则eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))7．下列叙述错误的是________．①若a∥b，b∥c，则a∥c.②若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同．④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.⑤eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.⑥若λa＝λb，则a＝b.8．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．二能力小题提升篇1.[2023·山西省名校模拟]已知△ABC的重心为O，则向量eq\o(BO,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2．已知向量a和b不共线，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，若A、B、D三点共线，则m＝()A．3B．2C．1D．－23．[2023·河南省安阳市联考试题]在△ABC中，点F为AB的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，BE与CF交于点P，且满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，则λ的值为()A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,7)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)4.[2023·湖南省常德市临澧县第一中学试题]如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,13)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．eq\f(37,39)B．eq\f(11,13)C．eq\f(9,13)D．eq\f(7,13)5．[2023·广东东莞联考]给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中为真命题的是________．6.[2023·上海市模拟]已知正六边形ABCDEF，M、N分别是对角线AC、CE上的点，使得eq\f(AM,AC)＝eq\f(CN,CE)＝r，当r＝________时，B、M、N三点共线．三高考小题重现篇1.[全国卷Ⅱ]设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|2．[全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))3．[全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))4．[全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2eq\r(2)C．eq\r(5)D．2四经典大题强化篇1.[2023·山东省济宁市育才中学试题]设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．2．[2023·江西萍乡一模]如图，已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，tan∠AOB＝－eq\f(4,3)，∠BOC＝45°，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，求eq\f(m,n)的值．点点练17平面向量的概念及线性运算一基础小题练透篇1．答案：D解析：选项A中单位向量方向可以不同，故a＝b不一定成立；选项B中A、B、C、D四点可能共线，不能组成平行四边形；选项C中当b＝0时，a、c为任意向量；选项D正确，相反向量是一对平行向量．故选D.2．答案：B解析：若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线或AB∥CD，若AB∥CD，则eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，故“向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件．故选B.3．答案：B解析：eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))）＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)a，故选B.4．答案：D解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb（λ，μ∈R）及A，B，C三点共线得eq\o(AB,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))，所以λa＋b＝t（a＋μb）＝ta＋tμb，即可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝tμ，))所以λμ＝1.5．答案：B解析：∵O为BC的中点，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）＝eq\f(1,2)（meq\o(AM,\s\up6(→))＋neq\o(AN,\s\up6(→))）＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M，O，N三点共线，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，∴m＋n＝2.6．答案：C解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)（eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).7．答案：①②③④⑤⑥解析：对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.8．答案：4解析：∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)（eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))），又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O为CD的中点．又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.二能力小题提升篇1．答案：C解析：设E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，由于O是三角形ABC的重心，所以eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×（eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).2．答案：A解析：因为A、B、D三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ,6＝mλ))，解得m＝3.3．答案：C解析：由题意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ（eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝（1－λ）eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝（1－λ）·2eq\o(AF,\s\up6(→))＋λ·eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝（2－2λ）eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)λeq\o(AC,\s\up6(→))，因为F，P，C三点共线，所以2－2λ＋eq\f(2,3)λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4).故选C.4．答案：D解析：因为eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以3eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，又因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,13)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,13)eq\o(AN,\s\up6(→))，又因为B，P，N三点共线，所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BN,\s\up6(→))（λ≠0），即eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ（eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）（λ≠0），所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AN,\s\up6(→))＋（1－λ）eq\o(AB,\s\up6(→))（λ≠0），所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,13),m＝1－λ))，解得m＝eq\f(7,13).故选D.5．答案：②③解析：①两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，故①为假命题．②因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，故②为真命题．③因为a＝b，所以a，b的模相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的模相等且方向相同，所以a，c的模相等且方向相同，故a＝c，则③为真命题．④当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故④是假命题．6．答案：eq\f(\r(3),3)解析：连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，AD⊥CE，AD∥CB，G点为EC的中点，且AG＝eq\f(3,2)a，则eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，又eq\f(AM,AC)＝eq\f(CN,CE)＝r，（r>0），则eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(CM,\s\up6(→)),1－r)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(CN,\s\up6(→)),r)，故eq\f(\o(CM,\s\up6(→)),1－r)＝eq\f(\o(CN,\s\up6(→)),2r)＋eq\f(3,2)eq\o(CB,\s\up6(→))，即eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1－r,2r)eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(3（1－r）,2)eq\o(CB,\s\up6(→)).若B、M、N三点共线，由共线定理知，eq\f(1－r,2r)＋eq\f(3（1－r）,2)＝1，解得r＝eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3)（舍）.三高考小题重现篇1．答案：A解析：由向量加法的平行四边形法则可知|a＋b|与|a－b|为以a，b为邻边的平行四边形的对角线，因为|a＋b|＝|a－b|，所以四边形为矩形，故a⊥b.2．答案：A解析：作出示意图如图所示．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）＋eq\f(1,2)（eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))）＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).3．答案：A解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3（eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))）.整理，得3eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋4eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).4．答案：A解析：设圆C的半径为r.如图，建立平面直角坐标系．在Rt△BCD中，BD＝eq\r(5)，eq\f(1,2)BD·r＝eq\f(1,2)BC·CD，∴r＝eq\f(2,\r(5)).∴圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝eq\f(4,5).令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝\f(2,\r(5))cosα，,y－1＝\f(2,\r(5))sinα，))α∈[0，2π），则x＝2＋eq\f(2,\r(5))cosα，y＝1＋eq\f(2,\r(5))sinα，则圆上任一点P（2＋eq\f(2,\r(5))cosα，1＋eq\f(2,\r(5))sinα）.由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，得（2＋eq\f(2,\r(5))cosα，1＋eq\f(2,\r(5))sinα）＝λ（0，1）＋μ（2，0）＝（2μ，λ），∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2,\r(5))cosα＝2μ，,1＋\f(2,\r(5))sinα＝λ.))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,\r(5))sinα＋1，,μ＝\f(1,\r(5))cosα＋1，))∴λ＋μ＝（eq\f(2,\r(5))sinα＋1）＋（eq\f(1,\r(5))cosα＋1）＝eq\f(2,\r(5))sinα