2024八年级数学下册专题1.8以二次根式为载体的材料阅读题大题专练重难点培优含解析新版浙教版

Page1专题1.8以二次根式为载体的材料阅读题大题专练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________留意事项：本试卷试题共24题，解答24道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共24小题）1．（盂县月考）阅读与计算：古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：假如一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积为：（海伦公式），若中，，，，请利用上面公式求出的面积．【分析】先求出，再代入海伦公式中计算即可．【解析】，，，，．2．（罗湖区校级期中）在解决问题：“已知，求的值”．，，，，．请你依据小明的解答过程，解决下列问题：（1）化简：；（2）若，求的值．【分析】（1）依据平方差公式计算；（2）利用分母有理化把化简，依据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．【解析】（1）；（2），则．3．（薛城区期中）阅读理解：学习了二次根式后，你会发觉一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．接着进行以下的探究：设（其中，，，都是正整数），则有．，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探究并解决下列问题：（1）当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得，；（2）利用上述方法，填空：；（3）假如，且，，都是正整数，求的值．【分析】（1）仿照阅读理解解答；（2）依据完全平方公式计算即可；（3）分，或，两种状况，依据（1）的结论计算，得到答案．【解析】（1），；（2）；（3），，而，都为正整数，，或，，当，时，，当，时，，综上所述，的值为14或46，故答案为：（1）；；（2）1；2．4．（西湖区校级月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探究并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：，．（2）利用所探究的结论，找一组正整数、、、填空：；（3）化简【分析】（1）将用完全平方公式绽开，与原等式左边比较，即可得答案；（2）设，则，比较完全平方式右边的值与，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案；（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．【解析】（1），，故答案为：，．（2）设则，若令，，则，故答案为：21，4，1，2．（3）5．（安岳县校级月考）在二次根式中如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知，求的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将与分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解析】（1）的有理化因式可以是，．故答案为：，；（2）①当，时，．②原式．6．（丰台区校级期中）视察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第个等式：；（2）．【分析】（1）依据题意给出的规律即可求出答案．（2）利用分母有理化得到、、的值，再利用计算的结果找出变更规律得到，最终依据二次根式加减法计算即可．【解析】（1）；故答案为：．（2）．．故答案为：7．（市中区校级一模）视察下面的式子：，，（1）计算：，；猜想（用的代数式表示）；（2）计算：（用的代数式表示）．【分析】（1）分别求出，，的值，再求出其算术平方根即可；（2）依据（1）的结果进行拆项得出，再转换成即可求出答案．【解答】（1）解：，；，；，；，，故答案为：，，；（2）解：，．8．（沭阳县期末）小明在学习二次根式后，发觉一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，擅长思索的小明进行了以下探究：设（其中、、、均为整数），则有：，，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探究并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、得：，；（2）利用所探究的结论，用完全平方式表示出：．（3）请化简：【分析】（1）利用完全平方公式绽开得到，从而可用、表示、；（2）干脆利用完全平方公式，变形得出答案；（3）干脆利用完全平方公式，变形化简即可．【解析】（1），，．故答案为，；（2）；故答案为：；（3），．9．（乐亭县期末）先阅读，再解答由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：（1）的有理化因式是；（2）化去式子分母中的根号：，．（3）（填或（4）利用你发觉的规律计算下列式子的值：【分析】（1）依据有理化因式的定义求解；（2）利用分母有理化计算；（3）通过比较它们的倒数大小进行推断，利用分母有理化得到；，然后进行大小比较；（4）先依据规律化简第一个括号中的式子，再利用平方差公式计算即可．【解析】（1）的有理化因式是．故答案为；（2），．故答案为，；（3），，，，．故答案为；（4）原式．10．（惠城区期末）视察下列各式及其验算过程：，验证：；，验证：．（1）依据上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用为大于1的整数）表示的等式并赐予验证．【分析】（1）利用已知，视察，，可得的值；（2）由（1）依据二次根式的性质可以总结出一般规律；【解析】（1），，，验证：，正确；（2）由（1）中的规律可知，，，，验证：；正确；11．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发觉含根号的式子可以写成另一个式子的平方，即．（1）将写成另一个式子的平方；（2）化简：；（3）化简：．【分析】（1）依据题意给出的方法即可求出答案．（2）（3）依据题意给出的方法以及完全平方公式即可求出答案．【解析】（1）；（2）原式、（3）原式12．视察下列各式及验证过程：验证：验证：（1）通过对上述两个等式及其验证过程的分析探讨，你发觉了什么规律？并证明你的发觉．（2）自己想一个数，验证你的发觉．【分析】（1）由上述两个等式及其验证过程的分析探讨可知，，依据二次根式的性质可以总结出一般规律；（2）进行验证即可．【解析】（1）由题目可知，，验证：．（2）．13．（芜湖期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发觉一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如，然后小明以进行了以下探究：设（其中，，，均为整数），则有，所以，，这样小明找到了一种类似的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探究解决下列问题：（1）当，，，均为整数时，若，则，；（2）请找一组正整数，填空：；（3）若，且，，均为正整数，求的值．【分析】（1）依据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边绽开，即可求出、的值；（2）依据（1）可令，，那么，，即可求解；（3）由（1）可得，那么，依据，均为正整数，得出，或，，分别代入，计算即可．【解析】（1），，，．故答案为，；（2）令，，由（1）可得，，．故答案为9，4，2，1（答案不唯一）；（3）由（1）可得，，，，均为正整数，，或，，，或．14．（遂溪县期末）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：（1）视察上面的解题过程，化简：①②（2）利用上面供应的解法，请计算：．【分析】（1）视察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发觉除第一项和最终一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和其次个括号的乘积即可．【解析】（1）①；②；（2）．15．（饶平县校级期中）已知：，，分别求下列代数式的值：（1）（2）．【分析】（1）求出和的值，把所求代数式化成含有和的形式，代入即可；（2）通分后把和的值代入求出即可．【解析】，，，，（1）（2）．16．（庐阳区校级期中）视察下列等式：①②③（1）写出式⑤：；（2）试用含为自然数，且的等式表示这一规律，并加以验证．【分析】（1）依据规律解答即可；（2）依据完全平方公式以及二次根式的性质解答即可．【解析】（1）式⑤：．故答案为：．（2）第个等式为．为自然数，且，．17．（昭通期末）在日历上，我们可以发觉其中某些数满足确定规律，如图是2024年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：，，不难发觉，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．【分析】（1）干脆选择一组数据代入计算得出答案；（2）利用3个数据之间的关系进而计算得出答案．【解答】（1）解：答案不唯一，如：；（2）证明：设中间那个数为，则：，．18．（渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．例如：当时，求的值．为解答这道题，若干脆把代入所求的式中，进行计算，明显很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由，可得，即，．原式．请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）变形已知条件得到，两边平方得到，再利用降次和整体代入的方法表示原式化为，然后把的值代入计算即可；（2）变形已知条件，利用平方的形式得到或，再利用降次和整体代入的方法化简原式，从而得到原式的值．【解析】（1），，，即，，原式；（2），，，即，或，原式．19．（吴江区期中）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）计算：①已知，求的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将与分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解析】（1）的有理化因式可以是，，故答案为：，；（2）①当，时，．②原式．20．（曲阜市期末）“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将分母有理化得；的有理化因式是；（2）化简：；（3）化简：．【分析】（1）分子、分母都乘以即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得；（2）分子、分母都乘以求解可得；（3）原式变形为，再进一步斤算可得．【解析】（1），，即的有理化因式是，故答案为：，；（2），故答案为：．（3）原式．21．小琪在学习二次根式后，发觉一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，例如：．（1）在括号内填上适当的数：3；（2）若，求的值．【分析】（1）把16分成7和9，写成一个完全平方公式形式即可；（2）绽开平方项，进而可以求出的值．【解析】（1）（3）；故答案为3；；（2），即．22．（永安市期中）阅读下列解题过程：；；；则：（1）；（2）视察上面的解题过程，请干脆写出式子；（3）利用这一规律计算：的值【分析】（1）依据题目中的例子，可以求得所求式子的值；（2）依据题目中的例子，可以写出所求式子的值；（3）依据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．【解析】（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3）．23．（新罗区校级月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发觉一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，擅长思索的小明进行了以下探究：设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探究并解决下列问题：（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：，；（2）利用所探究的结论，找一组正整数、、、填空：；（3）化简：．【分析】（1）仿按例题