备考2025届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系

第2讲两条直线的位置关系1.[命题点1]已知点A（－m－3，2），B（－2m－4，4），C（－m，m），D（3，3m＋2），若直线AB⊥CD，则m的值为1或－1.解析解法一∵A，B两点的纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行，又AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3.当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而当m＝－1时，点C，D的纵坐标均为－1，则CD∥x轴，此时AB⊥CD，满意题意.当AB与x轴不垂直，即m≠－1时，kAB＝4－2－kCD＝3m+2－∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即2－（m+1）·2（m+1综上，m的值为1或－1.解法二由题意可得AB·CD＝0，所以（－m－1，2）·（3＋m，2m＋2）＝0，解得m＝±1.2.[命题点2/2024武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝（B）A.23 B.25 C.2 D.4解析直线x＋2y＋1＝0与x＋2y＋3＝0间的距离d1＝｜3－1直线3x－4y＋c1＝0与3x－4y＋c2＝0间的距离d2＝｜c1－c2｜32＋（－4）2＝｜c1－c2｜5.由菱形的性质知d3.[命题点2]｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜的最小值为13.解析设点P（x，y），l1：3x＋4y－12＝0，l2：3x＋4y＋1＝0，则点P到l1的距离d1＝｜3x+4y－12｜5，点P到l2的距离d2＝｜3x+4y+1｜5，则｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜＝5l1与l2之间时，｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜最小，最小值为直线l1与l2之间的距离的5倍，即d＝|-12-14.[命题点2，3/2024江西景德镇一中模拟]在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A的坐标为（－4，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x－y＋1＝0，∠B的角平分线所在的直线方程为2x＋y－2＝0，则直线BC的方程为18x－y－38＝0.解析设点B坐标为（a，b），因为点A的坐标为（－4，2），所以AB的中点M（a-42，b+22），所以a－42－b+22＋1因为点B在直线2x＋y－2＝0上，所以2a＋b－2＝0.由a－b－4=0，2a＋b－2=0设点A（－4，2）关于直线2x＋y－2＝0的对称点为A'（m，n），则2×m所以A'（125，265），所以直线BC的方程为y＋2＝265+2125－2·（x－2），即5.[命题点3]已知直线l：x－y－1＝0.若直线l上存在一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的确定值最大，则点P的坐标为(103若直线l上存在一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小，则点Q的坐标为(52解析如图1，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，PB，PB'，易得b－4a×1=－1，a2－b易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜≤｜AB'｜，当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.于是直线AB'的方程为y－1－1－1＝x－45－4，即2x＋联立直线l与AB'的方程，解得x即点P的坐标为（103，73）如图2，设点C关于l的对称点C'的坐标为（m，n），连接CC'，QC，QC'，QA，易得nm－3×1=－1，m+3∴点C'的坐标为（1，2），∴直线AC'的方程为y－12－1＝x－41－易知｜QA｜