空间向量运算的坐标表示高二上数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示第一章空间向量与立体几何1课前预习素养启迪运算坐标表示(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3))加法a+b=

.减法a-b=

.数乘λa=

,λ∈R数量积a·b=

.1.空间向量运算的坐标表示(a1+b1,a2+b2,a3+b3)一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(λa1,λa2,λa3)a1b1+a2b2+a3b3[问题1]已知向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b的充要条件是什么?a1b1+a2b2+a3b3=02.空间向量的平行与垂直的坐标表示(x2-x1,y2-y1,z2-z1)3.空间向量的模及夹角的坐标表示(1)空间向量的模的坐标表示[问题2]向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),a≠0,b≠0,x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的充要条件,对吗?答案:不对,由a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0得不到<a,b>为锐角,因为当<a,b>=0时,a·b=x1x2+y1y2+z1z2>0也成立,所以x1x2+y1y2+z1z2>0是<a,b>为锐角的必要不充分条件.1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(

)A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)C.a·b=10 D.|a|=6D2.已知a=(2,1,-3),b=(4,2,λ),若a⊥b,则实数λ等于(

)B3.a=(1,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,5,x),若a,b,c三向量共面,则实数x=

.

54.已知a=(1,2,0),b=(-2,0,1),若2a+b与ka+3b平行,则k=

.62课堂探究素养培育空间向量的坐标运算[例1]已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,2a·(-b),(a+b)·(a-b).解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2),a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6),a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7,2a·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14,(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.=-8.空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法(1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算.(2)熟练应用有关的公式:①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-b)2=a2-2a·b+b2;③(a+b)·(a-b)=a2-b2.(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算2a·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可先求出2a,-b,再求数量积.[针对训练](1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件(c-a)·2b=-2,则x=

;

解析:(1)据题意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.2120°空间向量平行、垂直的坐标表示[例2]已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),分别求满足下列条件的实数k的值.(1)(ka+b)∥(a-3b);[例2]已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),分别求满足下列条件的实数k的值.(2)(ka+b)⊥(a-3b).(1)判断向量是否平行、垂直,可根据向量平行、垂直的坐标表示转化为判断代数等式是否成立.(2)根据向量的平行、垂直求参数,可转化为解关于参数的方程(组).[针对训练]已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为

.

利用空间向量的坐标运算判断证明平行、垂直求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行、垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直,则要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明.[针对训练]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD,A1C1的中点.求证:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;[针对训练]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD,A1C1的中点.(2)A1G⊥平面EFD.夹角与距离的计算通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,以便写点的坐标时更便捷.建立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再写出相应向量的坐标表示,把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.[针对训练](1)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).①求cos∠BAC;[针对训练](1)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).②求△ABC中BC边上中线的长度;(2)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积.A解析:因为a=-2c,b·a=1×(-2)+(-1)×1+1×3=0,所以a∥c且a⊥b.C2.(2022·浙江温州高三测试)已知a=(1,2,5),b=(x-2,1,x),若a∥b,则x等于(

)3.已知空间向量a=(-1,2,4),b=(1,-4,2),c=(x,4,z),(1)若(a+2b)⊥c,且x=2,则z=

;

3.已知空间向量a=(-1,2,4),b=(1,-4,2),c=(x,4,z),(2)若a,b,c共面