函数概念高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

函数概念

函数概念的起源与发展史莱布尼茨1646－1716德国数学家

1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”（函数）一词，后又经德国数学家康托尔在集合论的基础上，揭示了函数的本质，中国清代数学家李善兰1859年在翻译《代数学》一书时，将function翻译成函数，将函数一词引入中国，他翻译到“凡式中含天，为天之函数”。康托尔1845－1918德国数学家李善兰1811－1882清代数学家复习引入在初中，我们学习了哪些重要的函数类型？

一次函数一元二次函数反比例函数xyOxyOxyOx0y0x0y0x0y0函数的基本特征：对于每一个

x

的取值，都有唯一确定的

y

值和它对应.情境导入

一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距地面的高度h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是时间

t的变化范围是数集高度

h的变化范围是数集数集A中的任意一个时间t，按照对应关系

，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.情境导入

下图是2012—2021年我国城镇居民恩格尔系数变化情况：时间（年）2012201320142015201620172018201920202021恩格尔系数（%）3230.13029.729.328.627.727.629.228.6数集

A中的任意一个时间，按照表格，在数集

B中都有唯一确定的系数和它对应.

你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？

以上两个实例中变量的对应关系有什么共同点呢？（1）都有两个非空数集

A，B；（2）两个数集间都有一种确定的对应关系；

（3）对于数集

A

中的任意一个数，数集

B中都有唯一确定的数和它对应.函数的定义

给定实数集

R

中的两个非空数集

A和

B,如果存在一个对应关系f,使对于集合

A中的每一个数x

,在集合

B中都有唯一确定的数

y

和它对应，那么就把对应关系

f

称为定义在集合

A上的一个函数，

记作

y

=

f(x)，x∈A.其中集合

A

称为函数的定义域，x称为自变量.与

x值对应的

y值称为函数值.集合

称为函数的值域.思考：集合

B与函数值域的关系？函数的三要素定义域、对应关系、值域（1）定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.比如，

的定义域为

特别地，若涉及实际问题，函数的定义域还必须使得实际问题有意义.

如描述弹簧的伸长量

x与弹力

y的函数

，由于自变量

x是伸长量，定义域就不可能包含负数了.函数的三要素定义域、对应关系、值域（3）值域是全体函数值组成的集合.（2）对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程.比如，

与

是同一个函数.

用

表示函数

当

时的函数值.例如，对于函数

来说，

，其中

84就是函数

当

时的函数值.例

1

下列各组中的两个函数是否为同一个函数？（1）（2）（3）（4）

（1）因为

的定义域是

R，

的定义域是

，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；解

（2）因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；

（3）因为

的定义域是

，

的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；

（4）

和

虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数.定义域对应关系决定值域函数的

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称它们是同一函数.

（2）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为

0，即

，解得.

（3）为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，解

例

2

求下列函数的定义域：（1）（2）（3）

（1）为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，即

解得

所以函数

的定义域是

；

即

解得

所以函数

的定义域是

；

所以函数

的定义域是

（3）

f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数集合；

f(x)为奇次根式型函数时，定义域为

R；已知解析式求函数的定义域：

（1）

f(x)为整式型函数时，定义域为

R；

（2）

f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；

（4）若

，定义域为不等式

的解集；

（5）若

y=f(x)是由几个部分的式子构成时，定义域为使各部分式子都有意义的实数的集合；函数的定义域用集合或区间表示.已知解析式求函数的定义域：（即求各集合的交集）

（6）若是实际问题，定义域为使实际问题都有意义的实数的集合.当

时，

解

例

3

已知函数（1）求

的值；

（2）若

，求

a的值.

（1）

（2）当

时，

，解得