人版高数必修四第9讲-两角和和差的正余弦和正切公式学生版

...wd......wd......wd...两角和与差的正余弦、正切公式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、两角和的余弦公式：的推导：复习：两点间的距离公式：设，推导过程：设角、角为任意角如左图在平面直角坐标系中作,则作单位圆，设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C再作由三角函数定义知：，,，，由：;展开并整理得:上述公式称为两角和的余弦公式记为二、两角和与差的正弦公式：sin(α+β)=cos［-(α+β)］=_______________________________________________sin(α-β)=sin［α+(-β)］=____________________________________________________两角和与差的正切公式：当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=_________________________________________________如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=tan(α-β)=公式汇编：1．两角和与差的三角函数；；。2．二倍角公式；；。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进展降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。〔2〕化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。〔1〕降幂公式；；。〔2〕辅助角公式，=公式的推导：令，则，于是有：其中由，和共同确定类型一：正用公式例1.:，求的值.举一反三：【变式1】，，则.【变式2】，则.【变式3】和是方程的两个根，求的值.【高清课堂：三角恒等变换397881例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5)Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.例2．，,，求的值.举一反三：【变式1】，是第二象限角，且，求的值.【变式2】函数的最大值为〔〕A．B．C．D．【变式3】【变式4】，，，，求的值。类型二：逆用公式例3.求值：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.举一反三：【变式1】化简.【变式2】，那么的值为〔〕A．B．C．D．例4.求值：〔1〕；〔2〕举一反三：【变式】求值：〔1〕；〔2〕.类型三：变用公式例5．求值：；〔2〕举一反三：【变式1】求值：=．【变式2】在中，,，试判断的形状.类型四：三角函数式的化简与求值例6.化简：〔1〕；(2〕【点评】①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角〔如和差角，倍半角等〕的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进展观察。②三角变换中一般采用“降次〞、“化弦〞、“通分〞的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.举一反三：【变式1】化简：〔1〕；〔2〕；〔3〕【变式2】假设，且，则___________.【答案】由，，得，.例7．，，且，求的值.举一反三：【变式1】，为锐角，则的值是〔〕A.B.C.或D.【变式2】，，求。一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)2．在△ABC中，假设sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为()A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是()A．sin2x B．cos2yC．－cos2x D．－cos2y4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．15．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值是()A．0 B．－eq\r(2)C．eq\r(2) D．26．△ABC中，cosA＝eq\f(3,5)，且cosB＝eq\f(5,13)，则cosC等于()A．－eq\f(33,65) B．eq\f(33,65)C．－eq\f(63,65) D．eq\f(63,65)二、填空题7．假设cosα＝eq\f(1,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，则cos(α＋eq\f(π,3))＝________.8．cosx－cosy＝eq\f(1,4)，sinx－siny＝eq\f(1,3)，则cos(x－y)＝________.三、解答题9．sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.求证：cos(α－γ)＝eq\f(1,2).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________根基稳固1．假设eq\r(3)sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是()．A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6C．2<m<6 D.2≤m≤42.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()．A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)3．(2012·齐齐哈尔高一检测)假设cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()．A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)4．cos15°＋sin15°＝________.5．(2012·成都高一检测)假设cosθ＝－eq\f(12,13)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.6．α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.7．：sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，0<α<eq\f(π,2)，π<α＋β<eq\f(3,2)π，求cosβ的值．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)8．(2012·蚌埠高一检测)假设eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值为()．A．－eq\f(π,6) B.－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)9．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,8)，则cosα＋eq\r(3)sinα的值为________．10．向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝eq\f(2\r(5),5)，求cos(α－β)．能力提升一、选择题1.，，则〔〕Α.B.C.D.2.函数的最小正周期是〔〕Α.B.C.D.3.在△ΑBC中，，则△ABC为〔〕Α.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定4.设，，,则大小关系〔〕Α.B.C.D.5.函数是〔