2024数学高考前冲刺题《概率统计》含答案

黄金冲刺大题04概率统计（精选30题）12024·浙江绍兴·二模）盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X（如1122，则X2求XEX.的分布列及数学期望22024·江苏扬州·模拟预测）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负1方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为，且各局比赛结果相互独立.3(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.32024·江苏南通·某班组建了一支8师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每1位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传7球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？42024·重庆·模拟预测）中国在第752060年之前实现碳中和(“双碳目标”)“双碳目标”了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”(满分100分)(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2“问界粉”人数为的E分布列和数学期望．52024·福建三明·三模）111赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占，园艺类占，民族工艺类占.根据442224以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为，，，选手乙答对这三类题5551目的概率均为.2(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.62024·江苏南京·二模）某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x销售额y245683040606070(1)从ABCDE这5家超市中随机抽取360万元的超市个数为XXE(X)的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．nxynxyiiˆˆb1ˆˆybx．附：线性回归方程ˆbxˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：i，ni2nx2i172024·重庆·三模）1负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁2第局乙当裁判pPX判.记随机变量X,i,n，，X表示前局中乙当裁判的次数.niii第局甲或丙当裁判(1)求事件“n3且X1”的概率；pi(2)求；EX的实际含义.(3)求EX，并根据你的理解，说明当充分大时nYEXEY.附：设X，Y都是离散型随机变量，则EX82024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列中通过的概率依次为问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望EX；(2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得PYk取最大值时的整数k.92024·辽宁·二模）下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点．(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为2的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．102024·广东湛江·12格，…251532512Pn2,3,n,25．格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；Pnn1,24为等比数列．(2)证明：数列Pn112024·广东韶关·二模）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是131148奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．122024·河北邢台·A类题和BA类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（k0，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？PPkk､132024·湖南衡阳·模拟预测）某电竞平台开发了AB两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相n且n≥2)互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B（nN*关，每位玩家都有12n1次闯关时，33若闯关成功则得105分.从第2､5分.电竞游戏玩家甲先后玩AB两款游戏.32(1)电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关43的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为Xii,n，求EX关于i的解析i273式，并求EX的值.（精确到0.1，参考数据：0.059）.8142024·湖南邵阳·模拟预测）2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60车时间不超过1515分钟但不超过30分钟收费330分钟但不超过45分钟收费945分钟但不超过60分钟收费1860来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：0,1515,304545,60停车时间/分钟1414甲aa1613乙2bb设此次停车中，甲所付停车费用为X，乙所付停车费用为Y．(1)在XYX18的条件下，求XY的概率；Y，求随机变量的分布列与数学期望．(2)若152024·湖北·一模）2023年12月30/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第5052023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：关注度学生群体合计关注不关注71大学生高中生nn21035合计附：n0.10.050.00255.0240.010.0012.7063.8416.63510.828n(adbc)22，其中nabcd．(ab)(cd)(acbd)0.05(1)容量n的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．342312已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）162024·湖北·二模）吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x与损伤度y，数据如下表：吸烟量x损伤度y13485667(1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；n(2)在实际应用中，通常用各散点(r,y)到直线ybxa的距离的平方和Siay)来刻画“整体接近i2i1ˆ程度”.S越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程ybxˆ.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．n(xxyy)iiˆˆ附：bi1，ˆybx.n(ix)2i1172024·山东枣庄·一模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，1则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球2时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；,n5次答题后游戏停止的概率为nnN*a．n(2)设第an①求；an②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．182024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男女3020100901619x,x,x,,x，其平均数记为x，n在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为1233方差记为s21y,y,y,,ym，其平均数记为y，方差记为s2212为z，方差记为s．21n22yz(1)证明：s2ns21xzms22；m(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作N,2(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,B,C,D四为和个等级，试确定各等级的分数线（精确到1附：PX30217,32235219．192024·福建福州·模拟预测）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布0.2,0.2的零件为优等品，X0.6,0.6的零件为合格品．N0.22，规定X(1)从该生产线上随机抽取100(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这22个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01N,，则P0.6827，P0.9545，2（附：若随机变量0.9973）P33202024·河北保定·二模）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1A“抽取的学生期末统考中的数235623学成绩不及格”，B“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|B)，P(B|)，PB.(1)求PA和PAB.(2)若该班级共有360.005的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，期末统考中的数学成绩个性化错题本建立合计及格不及格未建立合计(3)2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数）.0.001的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定k的最小值若要使得依据2nadbc2nabcd，.参考公式及数据：abcdacbd0.010.0050.001a6.6357.87910.828212024·浙江绍兴·书接上回.麻将学习小组中的炎俊同学在探究完问题后返回家中观看了《天.”雀力值”和”能力值”来确定每位角色的超能力麻将水平，发现每位角色在一局麻将中的得分与个人值和该桌平均值之差存在着较大的关系.（注：平均值指的是该桌内四个人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值，个人值类似.）为深入研究这两者的关系，他列出了以下表格：x963个人值与平均值之差00369y36700得分3860023100109001180024100x,yx,y之间是否基本上满足线性关系，注意：保留至第一位非9的数.(1)①计算的相关系数r，并判断yx②求出与的经验回归方程.③以下为《天才麻将少女》中几位角色的”雀力值”和”能力值”：角色宫永照园城寺怜花田煌松实玄雀力值能力值242491034616试估计此四位角色坐在一桌打麻将每一位的得分（近似至百位）(2)在分析了更多的数据后，炎俊发现麻将中存在着很多运气的成分.为衡量运气对于麻将对局的影响，炎俊建立了以下模型，其中他指出：实际上的得分并不是一个固定值，而是具有一定分布的，存在着一个标准差.运气实际上体现在这一分布当中取值的细微差别.接下去他便需要得出得分的标准差.他发现这一标准差来源自两个方面：一方面是在（1）②问当中方程斜率b存在的标准差b；另一方面则是在不影响平均值（为评估得出的个人值）已知松实玄实X~N,2的情况下，实际表现“个人值”X符合正态分布规律..10.5PX0.02275，求（1）③中其得分的标准差.（四舍五入到百位）际表现个人值满足(3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”和”能4EX力值”均会提升至原来的.我们设进行了i轮之后，在前i轮内该参赛者的总得分为；若园城寺怜参i3EXn加了此比赛，求i2ii177xy1029000i24209320000.参考数据和公式：①；iii1i1nixiyri1②相关系数；nn2iy2ixi1i1nixiy$$$经验回归方程ybxa，bi1，aybx；n2ixi111bn，其中为回归数据组数.r2bn2PX0.6827PX0.9545，，，X~N,2③对于随机变量PX0.9973.R；x1时，1x1x，④fx2y2ff有标准差满足⑤对间接计算得出的值.fxy13.2104；6.82.6；2946524171519104⑥3136222024·江苏南通·模拟预测）“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)“灯谜”CB到稍难的C类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A3张写有B2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共n会遇到k1knk1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设ktn，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P.n4，k2，求P；①若nt②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时的值.（取11k11n1nk）k232024·安徽·模拟预测）某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答1题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响.2(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．(2)记甲第i次答题所得分数iXiN的数学期望为EX．i*EX与之间的关系式；i1（ⅰ）求EX，EX，EX，并猜想当i2时，EX123in320（ⅱ）若EX，求n的最小值．ii1242024·辽宁·某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P，统计其中A种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.设该区域中A种的数目重复进行这个试验共20i次试验中A种的数目为随机变量Xi,20.i为M，B种的数目为N（M，N均大于100.X(1)求的分布列；11EXj(2)记随机变量XX.已知EXXEX，DXXDXDX20iijiijiji11DXDX1；EXEX（i）证明：，120xii,20的平均值（ii）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为Xxi,20.数据ii.采用和s分别代替EX和DX，给出M，N的估计值.1x30，方差s2x2HP,n,Q（其中P为总数，Qx（已知随机变量服从超几何分布记为：xn为某类元素的个数，为抽取QQPnDx1n）PPP1252024·广东广州·一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n(nnN)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，*则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率3412分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若n3，用X表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的均值；A3(2)记A团队第kknkN*)位成员上场且闯过第二关的概率为pkN*pk中元素的k128k最小值为，规定团队人数nk01n.，求0262024·广东深圳·二模）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．(1)从混合放在一起的零件中随机抽取33个零件中来自甲工厂的个数为XX的分布列和数学期望；(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业A“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”B“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明：PABPAB．0PB1272024·湖南·二模）某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均1为，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X，已知X的分布列如下：2a0,0p1（其中）X0123apa1pap)2aP,,,B(1)记事件i表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次i0123表示王同学在这三天内去甲运动场1锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当p时，试根据全概率公式求PB的值；25(2)是否存在实数p，使得EX？若存在，求p的值：若不存在，请说明理由；3(3)记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，0PM1.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情.P∣NP∣N况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：282024·山东济南·二模）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向1移动的概率均为.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在1,0,1,0,0,1,0,1四点处.4xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX；(1)设粒子在第2秒末移动到点x,y，记np.n(2)记第秒末粒子回到原点的概率为n（i）已知(Ckn)2Cn2n求3,p4以及；p2nk0bpS为数列bn的前M0nN*SMn（iin2nnn1nnne6πne4是常返的.已知n!证明：该粒子是常返的.，2πn2πnan292024·山东潍坊·二模）数列ann1a称为naaaa的二阶差数列，记为，…n1n1n2的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为．如果nap是等比数列，则称数列阶等比数列pN*．apap一个数列的阶差数列为nn(1)已知数列an满足11，an12an1．123（ⅰ）求a，a，a；（ⅱ）证明：a是一阶等比数列；n203778215(2)已知数列b为二阶等比数列，其前5项分别为,,,，求b及满足b为整数的所有n值．nnn9999302024·浙江杭州·模拟预测）在概率较难计算但数据量相当大､UnionBoundA,,A（布尔不等式）进行估计概率.已知UnionBound不等式为：记随机事件，则n1nPA2nPA.其误差允许下可将左右两边视为近似相等据此解决以下问题：i.1i1nknt(1)有个不同的球，其中个有数字标号.每次等概率随机抽取个球中的一个球.抽完后放回.记抽取次球Pt，现在给定常数p，则满足Ptp后k个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为的t的最小值nk为多少？请用UnionBound估计其近似的最小值，结果不用取整.这里相当大且远大于；(2)然而实际情况中，UnionBound精度往往不够，因此需要用容斥原理求出精确值.n1k1a1aa2..kA,,APA2nPAAaaan机事件11nk112k斥原理求出的精确的t的最小值是多少（结果不用取整）？相当大且远大于.nkx1x1ex（12）问参考数据：当相当大时，取1.黄金冲刺大题04概率统计（精选30题）12024·浙江绍兴·二模）盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X（如1122，则X2求XEX.的分布列及数学期望1【答案】(1)；2(2)分布列见解析，1.1）根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；（2）确定X的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望．1）设事件A“取出的2个小球上的数字不同”，C12C12CC12C1212PA则.1C144（2）X的所有可能取值为0，1，2.2A22A22①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有种，2A222130PX.则A2A22A22②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有种，2A22AA2213PX.则442A22A22③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有种，2A222132PX.则A所以X的分布列为X012131313P11313所以X的数学期望EX01.12322024·江苏扬州·模拟预测）甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负1方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为，且各局比赛结果相互独立.3(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.7【答案】(1)；2731781(2)分布列见解析，.1）写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出；（2）算出X为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可.1）设“三局比赛后，甲得3分”为事件A，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，331317所以PAA33，3277故三局比赛甲得3分的概率为.272,3,4,5（2）依题意知X的可能取值为，1229PX22，33142C12PX3，32744131102C121PX4C3，3812941041，PX51PX2PX3PX41278181故其分布列为：X234542910814181P27241041317期望EX2.34592781818132024·江苏南通·某班组建了一支8师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每1位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传7球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】(1)9种3(2).491）法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；（2球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.1）法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C；13再选出副队长，方法数也是C13，故共有方法数为C13C139（种）.方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A244312C，故甲不担任队长的选法种数为1239（种）13若甲任队长，方法数为答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.1（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，467其概率为；17第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：，1613.477983②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，42第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，717第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，3213这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为，47798333所以，前三次传球中满足题意的概率为：.9898493答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.4942024·重庆·模拟预测）中国在第752060年之前实现碳中和(“双碳目标”)“双碳目标”了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”(满分100分)(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2“问界粉”人数为的E分布列和数学期望．【答案】(1)73.3分35(2)分布列见解析；期望为1）根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；（2）确定抽取的“问界粉”人数，再确定的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.1）由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，0.500.40220所以本次调查客户打分的中位数在[70，80）内，由701073.3，0.700.403所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；（2）根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则的所有可能取值分别为0，1，2，C03CC277C13CC177C23CC071P0)PP2)其中：，，，210152101521015所以ξ的分布列为：012771以数学期望E)012福建三明·三模）111赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占，园艺类占，民族工艺类占.根据442224以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为，，，选手乙答对这三类题5551目的概率均为.2(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.3【答案】(1)5441(2)10001）利用全概率公式，即可求得答案；（2XX甲总得分为Y的每个值相应的概率，即可得答案.Ai2,3,i1）记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件记随机任选1题，甲答对为事件BP1,P2,P3,PB|1,PB|2,PB|3，5PAPB|A3PBPAPB|APAPB|A则112231425142512453；5（2）设乙答对记为事件C，则PCPAPC|APAPC|APAPC|A11223311111112，424222设每一轮比赛中甲得分为X，31521031PX1PBCPBPC则，313152121PX0PBCBCPBCPCB1，52315215P(XPBC1，三轮比赛后，设甲总得分为Y，33210327127则PY，PY2332C，1010002200123102315279PY13231CC，10210002727279441所以甲最终获得奖品的概率为PPY3PY2PY.10002001000100062024·江苏南京·二模）某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：超市ABCDE广告支出x销售额y245683040606070(1)从ABCDE这5家超市中随机抽取360万元的超市个数为XXE(X)的分布列及期望；(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．nxynxyiiˆˆb1ˆ，ˆybx．附：线性回归方程ˆbxˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：ini2nx2i19【答案】(1)X的分布列见解析，期望E(X)5ˆ7x17(2)；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可.1ABCDE这5家超市中随机抽取360万元的超市有CDE这3家超市，则随机变量X的可能取值为1，2，3C13CC223C23CC1235，P(XC31P(X，P(X，3535C3105X的分布列为：X1233351P10103319数学期望E(X)123．105105245683040606070（2）x5，y52，55nxynxyii601603003605605552416253664552ˆbi17，n2nx2i1ˆ527517．yx关于的线性回归方程为ˆ7x17；ˆ7x17x10ˆ7．在中，取，得预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．72024·重庆·三模）1负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁2第局乙当裁判pPX判.记随机变量X,i,n，，X表示前局中乙当裁判的次数.niii第局甲或丙当裁判(1)求事件“n3且X1”的概率；pi(2)求；EX的实际含义.(3)求EX，并根据你的理解，说明当充分大时nYEXEY.附：设X，Y都是离散型随机变量，则EX34【答案】(1)；1113p()()i1(2)；i32p(3)，答案见解析。i1）把事件“n3且X1”分拆成两个互斥事件的和，再分别计算各事件的概率即可.Xi1XXi1XXi1pip与的关系式，利用构造i1（2）把事件分拆成互斥事件与的和，列出i1i1法求出数列通项即得.EX，再利用期望的性质求出（3）求出EX，iPnX11）当n3时，1PXX0PXX23231113P(XP(X0|XP(X0)P(X1|X0))1).2322322224X1i（2）当i2时，PX1PXX1PXii1ii11PX∣1PX1X1PX0PX1X∣00PXi1PX10，i1ii1i1it1i12121212111即i1i1i1p(i1)，即，i32311312p01{p}又，因此是首项为，公比为的等比数列，i31113p()()i1.所以i321113pPX1()()i1，则EX1PX10PXi.（3）因为iiii032nnnniiXXEXE(X)E(X)ii且，则i1i1i1i1n1113n291)()i1](n)]，3232i1nnEXn当充分大时，n稳定在局中乙当裁判的平均次数稳定在，这是因为各局中双方获胜的概331率均为，2所以经过足够多局之后，某局中甲、乙、丙当裁判得概率比值稳定在1:1:1，1np或由（2）问结果得稳定在附近，则乙当截判的平均次数稳定在.i33【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.82024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列中通过的概率依次为问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望EX；(2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得PYk取最大值时的整数k.EX1.7【答案】(1)分布列见解析，(2)31）确定X的可能值，利用独立事件的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望；4（2）确定Y所有可能取的值为3，得出YB，利用二项公布的概率公式计算出各概率后可得，5PYPYk1k1也可以解不等式得出结论．1）由题意知，X所有可能取的值为2,3，PXPX210.50.6PX310.510.60.2，X的分布列如下：X1230.50.30.2PEX10.520.330.21.7；45（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率PPXPX20.50.30.8，方法一：45Y所有可能取的值为2,3，且YB，03441PY0C031，5512541542125125PY131C1，2145448PY232C1，5125304464PY333C1，55125PY0PYPY12PY3，PYk取得最大值时，整数的值为．k3所以使得方法二：4k3k14YB由得PYkCk3,k2,3，5554k13kCk3PYPYk1k44k44141k2,3，434554k所以所以k141kk3k1C355PYPY32PY1PY1，PYk取得最大值时，整数的值为．k3所以使得92024·辽宁·二模）下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点．(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为2的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．E(X)0【答案】(1)分布列见解析，1(2)(3)9491）由题目分析即可得出分布列，再用数学期望公式计算即可；（2）分析出所有满足投掷骰子两次，棋子的坐标为2的所有情况，即可求出概率；（3根据条件概率公式计算即可．1X2,31）设X为投掷骰子一次棋子的坐标，由题可知，且概率都相同为，6分布列如下：X420123161616161616P1E(X)(42120．6（2）投掷骰子两次，棋子的坐标为2的情况有：①第一次坐标为4（点数为52个单位（点数为4②第一次坐标为2（点数为31③第一次坐标为0（点数为12个单位（点数为3④第一次坐标为2（点数为44个单位（点数为5119故投掷骰子两次，棋子的坐标为2的概率为P4．36（3）设事件A“掷两次点数和为奇数”，B“投掷股子两次棋子的坐标为正”，2C1336C1312由题可知，PA，投掷股子两次，所掷两次点数和为奇数，且棋子的坐标为正的点数情况有：1296和1,6和3,4和1，1和2，共8种情况，故P(AB)8，362P(AB)P()4991P(B|)则在所掷两次点数和为奇数的条件下，棋子的坐标为正的概率．2102024·广东湛江·12格，…251532512Pn2,3,n,25．格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；Pnn1,24为等比数列．(2)证明：数列Pn65【答案】(1)分布列见解析；期望EX(2)证明见解析；；1）写出X的所有可能取值并求出对应的概率，即可列出分布列，计算求出期望值；3525（2）依题意根据跳格规则可得PPn2n1，即可得出证明；n1）根据题意可知，X的所有可能取值为0，1，2；CC22251C12CC13635CC232530PX2，PXPX则，；10251010可得X的分布列如下：X0121353P10101336.期望值为EX012105105（2）依题意，当3n23时，棋子跳到第格有两种可能：n第一种，棋子先跳到第n2格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第n1格，再摸出两球颜色相同；C13CC1235又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为，25C23C+C2225摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为；253525因此可得PPn2P；n1n323P所以PPn1Pn2Pn1Pn1P，n2nn1555nP35n1因此可得，PPn2n135PPnn1,24是公比为-的等比数列.即数列n112024·广东韶关·二模）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是131148奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．11【答案】(1)24(2)分布列见解析；EX11）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件AABC，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求B；射击一次获得一等奖为事件C，分析可知PBC即可.1XB，（2）根据题意判断，根据二项分布求概率、期望公式计算即可4.1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件A；射击一次获得一等奖为事件B；1射击一次获得一等奖为事件C，所以有ABC，所以PB，314121813181124PC，所以.PAPBPBPCC（2）获得三等奖的次数为X，X的可能取值为0，1，2，3，4；18141214记“获得三等奖”为事件D，所以PD，04131381132714004所以PXC，PXC，44256446422313542713123224334PXCC，PXC，44256644425612840131404PX，所以44256X012348127642731P2561286425611XB，.EX显然，4414122024·河北邢台·A类题和BA类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（k0，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？PPkk【答案】(1)0.6(2)61）由独立事件的乘法概率求出即可；kPk1（2）由二项分布中最大值的计算求出即可，可设，利用组合数的性质求出k即可.kPk1PA，小张在题库中1）设小张回答A类题正确的概率为任选一题，回答正确的概率为P，，小张回答类题正确的概率为PBB由题意可得P()=P(B)=0.45，1212P=P()+P(B)=´0.9+´0.45=0.6，所以3333所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.10()(10k-k（2）由（1）可得k=Ck0.6´0.4，kPk1设，kPk10.6kk0.410kkk10.6C10kk10.40.49kCk10即，11k0.60.410k10.6C101Ck1010!k!10k!10!232k1!9k!所以，10!k!10k!10!3k1!11k!2k1310k即，311k2k285335k解得，又kZ，所以k6时，最大.Pk､132024·湖南衡阳·模拟预测）某电竞平台开发了AB两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相n且n≥2)互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B（nN*关，每位玩家都有12n1次闯关时，33若闯关成功则得105分.从第2､5分.电竞游戏玩家甲先后玩AB两款游戏.32(1)电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关43的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为Xii,n，求EX关于i的解析i273式，并求EX的值.（精确到0.1，参考数据：0.059）.856【答案】(1)；i1102310，9.80(2)EX3i1）利用独立事件的乘法公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；2310323103（2EXEXEXEX10i1iii即可EX.出81）记事件表示第次通过第一关，事件表示第次通过第二关，AiBiii设甲可以进入第三关的概率为P，PAABB2PPABPAABPABB由题意知11121112121PAPBPAPAPBPAPBPBPAPAPBPB1112111212123233232244343333224433561111.431223103（2）依题意得X2X5Xi，i1i33231032103EXiEXEX所以，i1i3231010，EXEXi1iX又随机变量的可能取值为10，5，其分布列为1X1105132P3203103所以EX1，得EX110，1032所以为等比数列.其中首项为，公比为.EXi3i1i110210210*i10.所以EX,iN，即EXi33337102所以EX109.8.833142024·湖南邵阳·模拟预测）2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60车时间不超过1515分钟但不超过30分钟收费330分钟但不超过45分钟收费945分钟但不超过60分钟收费1860来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：0,1515,304545,60停车时间/分钟1414甲乙aab16132b设此次停车中，甲所付停车费用为X，乙所付停车费用为Y．(1)在XYX18的条件下，求XY的概率；Y，求随机变量的分布列与数学期望．(2)若5【答案】(1)7598(2)分布列见解析，E1）根据概率的性质求出a,b，求出XY18的概率及XY的概率可得答案；（2）根据X、Y的值可得的取值，再求取值对应的概率可得分布列、期望.14118aa31，解得a1）根据题意可得，416116bb1b，解得，3甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得XYY18，18，111P1其概率为；8648甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元可得X14161P2其概率为；24甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得XY18，111P3其概率为；43121117所以XY18的概率PPPP，12348241248可得在XY18的条件下，111P3481275XY的概率为；PPP712348（2）的取值为0，3，6，9，15，18，1131111113P0，46834386481131P34386487，1131P64383245，14161143141115P9，6832431118638485P15P18，，11141638648随机变量的分布列为03691518134875553P4824244848所以随机变量的数学期望1375553598018.E36915484824244824152024·湖北·一模）2023年12月30/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第5052023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：关注度学生群体合计关注不关注71大学生高中生nn21035合计附：n0.10.050.00255.0240.010.0012.7063.8416.63510.828n(adbc)22，其中nabcd．(ab)(cd)(acbd)0.05(1)容量n的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．342312已知小华同学答出三个问题的概率分别是，，，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）【答案】(1)nmin40(2)选择方案一，理由见解析1）先补全22列联表，求得2nn关于的表达式，再利用独立性检验得到关于的不等式，解之即可得解；（2）利用独立事件的概率公式分别求得方案一与方案二中小化晋级的概率，再比较即可得解.1）关注度学生群体合计关注不关注15712大学生高中生nnnnnn101153n1010325合计nn5H零假设为：关注航天事业发展与学生群体无关，0nnnn225510n8n根据列联表中的数据，经计算得到2，7nnn2n631010550.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，因为依据小概率值8n23.841n30.25，所以63min40由题可知，n是10的倍数，（2）记小华同学答出三个问题的事件分别A，B，C，342312则PA，PBPC，，P1记选择方案一通过的概率为，P1PABCPABCPABC则PABC3213111213211743243243243224；P2记选择方案二通过的概率为，131313则PPABPBCPAC2132213129343324272；1P，小华应该选择方案一.2162024·湖北·二模）吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x与损伤度y，数据如下表：吸烟量x损伤度y13485667(1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；n(2)在实际应用中，通常用各散点(r,y)到直线ybxa的距离的平方和Siay)来刻画“整体接近i2i1ˆ程度”.S越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程ybxˆ.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．n(xxyy)iiˆˆ附：bi1，ˆybx.n(ix)2i11【答案】(1)；，31001111(2)yx142071）列举出试验的全体基本事件，利用古典概率及条件概率公式计算得解.（2）利用表格中数据求出最小二乘法公式中的相关量，求出回归直线方程，再利用方程求出估计值.1）这4名吸烟者中，损伤度为8的吸烟者的吸烟量为4，从4名吸烟者中任取2名，全部基本事件有4),6),(4,(4,6),6)，其中有1名吸烟者的吸烟量为4的共有3种情形，记事件A：有1名吸烟者的吸烟量为4，事件B：有1名吸烟者的吸烟量为6，361216P(AB)P()13,P(AB)P(B|)则P()，所以另1吸烟者的吸烟量为6的概率为3867.1456（2）x4，y6，4444(xx)(yy)((021021，(ix)2(3)20222214，iii1i14(xx)(yy)ii11141114207ˆˆbx因此bi1，ˆy64，4(ix)2i1100111120所以经验回归直线方程为yx，当y10时，x，14710011所以损伤度为10时，估计吸烟量为.172024·山东枣庄·一模）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，1则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球2时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；,n5次答题后游戏停止的概率为nnN*a．n(2)设第an①求；an②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．9【答案】(1)401n235(2)①anC4n1，②存在，最大值8a92561）根据全概率公式即可求解，1n（2）根据题意可得anC4n1，即可利用作商求解单调性，即可求解最值.21）记M“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，i“i1,2,3；第次摸出红球，并且答题正确，i”Bj“第j次摸出黑球，并且答题正确”，j2,3；Ck“k2,3第次摸出红球或黑球，并且答题错误，，k”MABCBACACBBCACABCBA所以．12312312312312312331321141212又P1；PBA；PCAB1，21312521042PAPBAPCAB121312PABCPABPCAB所以1231231231413．102803同理：PBACPACBPBCAPCABPCBA1231231231231238039所以PMPABC6．61238040nn5n次，且第次摸出最后（2）①第n1次答题正确恰好为4次，答题错误一球时答题正确．4n51n．1112所以anC4n1C4n12221n2②由①知aCn4n1，n112n!1CC4nan1an4!n4!2n所以令．2n4nn1!14n124!n5!nn11，解得，解得n8；n9．2n42n4aaaaaaa所以，56789101135aaa89所以的最大值是．n256182024·安徽合肥·二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男女3020100901619x,x,x,,x，其平均数记为x，n在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123方差记为s21y,y,y,,ym，其平均数记为y，方差记为s22123为z，方差记为s．21n22yz(1)证明：s2ns21xzms22；m(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作N,2(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为个等级，试确定各等级的分数线（精确到1,B,C,D四为和附：P【答案】(1)证明见解析；(2)平均数为96分，标准差为18分；30217,32235219．X(3)将X114定为A等级，96X114定为B等级，78X96定为C等级，X78定为D等级．1）利用平均数及方差公式即可求解；（2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解；（3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解.1nm2iz2yiz1）s2mni1i11nmixxz2yiyyz2mni1i11nmix(xz)2xx(xz)22yiy(yz)2yy(yz)i22imni1i1nn2ix(xz)2(xz)ix2(xz)1x2x3xnnx0，i1i1n2yiy(yz)0同理所以．i11s2ns2x(xz)2msy2(yz)2.mn（2）将该班参加考试学生成绩的平均数记为z，方差记为s，21则z30100209096，50132222所以s23025696)20361(9096)50又32218，所以s18．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．96,18，（3）由（2）知，所以全年级学生的考试成绩X服从正态分布N96,182969618PX0.5P9618X所以．114P(X0.16．P(78X96)P(96X114)0.34,PX故可将X114定为A等级，96192024·福建福州·模拟预测）甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布0.2,0.2的零件为优等品，X0.6,0.6的零件为合格品．X114定为B等级，78X96CX78定为等级，定为D等级．，规定N0.22X(1)从该生产线上随机抽取100(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这22个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01N,，则P0.6827，P0.9545，2（附：若随机变量0.9973）P33【答案】(1)约31个(2)约为0.611）利用正态分布的对称性即可求解；（2）利用条件概率求解即可．0，0.2，1）依题意得，P0.6X0.6P3X0.9973所以零件为合格品的概率为，P0.2X0.2PX0.6827零件为优等品的概率为，所以零件为合格品但非优等品的概率为P0.99730.68270.3146，所以从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数为1000.314631．（2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C，这批产品通过检测为事件D，则DABC，且A与互斥，BCPDPAPBCPAPBPCB所以C220.68272C210.68270.31460.68271.62920.68272，所以这批零件通过检测时，P(AD)0.682721检测了2个零件的概率为P(A|D)0.61．P(D)1.62920.682721.6292答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61．202024·河北保定·二模）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1A“抽取的学生期末统考中的数235623学成绩不及格”，B“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P(A|B)，P(B|)，PB.(1)求PA和PAB.(2)若该班级共有360.005的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，期末统考中的数学成绩个性化错题本合计及格不及格建立未建立合计(3)2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数）.0.001的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定k的最小值若要使得依据2nadbc2nabcd，.参考公式及数据：abcdacbd0.010.0050.001a6.6357.87910.828116【答案】(1)PA，PAB3(2)表格见解析，有关；5(3)41）利用条件概率公式结合全概率公式即可得到答案；（2）由（1）所计算的概率即可完成列联表，再由独立性检验的知识即可得到结论；（3）利用独立性检验的知识可得9k10.828，在结合4kZ，即可得到答案.23561）因为P(A|B)，P(B|)，11所以P(A|B)1P(A|B)，P(B|)1P(B|)，3621，所以PA由于P(A|B)P(B)P(B|)P()，解得PA.331P()P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)，解得PAB.6（2）期末统考中的数学成绩个性化错题本合计及格不及格建立未建立合计204482412362412H;0期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关.零假设为20844362根据列联表中的数据，经计算得到297.879x0.005.241212240.005H0根据小概率值题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.kabcdkakdkbkc2kabcdadbc210.82892k9k10.828，解得（3）.kabkcdkackbdabcdacbd要使新列联表中的数据都为整数，则需4k10.8284Z.5又因为4k4.8，所以4k的最小值为5，故k