2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷（含答案解析）

第1页（共1页）2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则z⋅zA．102 B．5 C．2 D．2．（5分）从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（）A．3 B．3+x2 C．8 D．3．（5分）已知平面向量a→=（1，2），b→=（3，4），那么A．（1155，255） B．（5C．（115，225） D．（5，24．（5分）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）A．30π B．31π C．32π D．33π5．（5分）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP→A．[﹣4，20] B．[﹣1，5] C．[0，20] D．[4，20]6．（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为（）A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.87．（5分）某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝a米，则该球体建筑物的高度为（）米．A．a4cos10° B．aC．asin10°2sin40° D．8．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面面积为（）A．33 B．63 C．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数z1，z2，z3是方程z3﹣1＝0的三个解，则下列说法正确的是（）A．z1+z2+z3＝1 B．z1z2z3＝1 C．z1，z2，z3中有一对共轭复数 D．z1z2+z2z3+z3z1＝﹣1（多选）10．（5分）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立（多选）11．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若AP→=13AB→+B．若P与C不重合，PB→⋅PC→=PAC．若AP→=−23AB→D．若AP→=mAB→+nAC→且m+n=1（多选）12．（5分）如图，在四边形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①；将△ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1﹣ABC，如图1．折法②：将△ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2．下列说法正确的是（）A．按照折法①，三棱锥D1﹣ABC的外接球表面积恒为4π B．按照折法①，存在D1满足AB⊥CD1 C．按照折法②，三棱锥A1﹣BCD体积的最大值为38D．按照折法②，存在A1满足A1C⊥平面A1BD，且此时BC与平面A1BD所成线面角正弦值为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，D是BC的中点，E是AC的中点，则AD→⋅14．（5分）从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为．15．（5分）已知向量a→，b→满足（a→+b→）⋅b→=0，|a16．（5分）如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4.8km，B是山坡SA上一点，且AB→=λAS→，λ∈（0，1）．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路．若从A出发沿着这条公路到达B的过程中，要求先上坡，后下坡．则当公路长度最短时，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）18．（12分）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．（Ⅰ）求甲最后没有得奖的概率；（Ⅱ）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率．19．（12分）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB（1）若C=π3，求（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．20．（12分）已知四棱锥C﹣ABED的底面是直角梯形，AB∥DE，∠D＝90°，AB＝2，DE＝1，AD=3，侧面△BCE是正三角形，侧棱长AC=（1）证明：平面BCE⊥平面ABED；（2）求直线CD与平面BCE所成角的余弦值．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足sin（1）当tanA＝2时，求tanC的值；（2）当a＝2，且C﹣A取得最大值时，求△ABC的面积．22．（12分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，∠DCB＝60°．E、F，G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．（1）当二面角A﹣BC﹣D从0°增加到90°的过程中，求线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；（2）设λ=AEAB，λ∈（0，1），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当λ为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则z⋅zA．102 B．5 C．2 D．【解答】解：（1+i）z＝﹣1+2i，则z=−1+2i1+i=(−1+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12×（﹣1+3i﹣2i∴z=12−32i，∴z⋅z=（故选：D．2．（5分）从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（）A．3 B．3+x2 C．8 D．【解答】解：12×25%＝3，故该组数据的下四分位数为第3个和第4个数的平均数，即3+x2故选：B．3．（5分）已知平面向量a→=（1，2），b→=（3，4），那么A．（1155，255） B．（5C．（115，225） D．（5，2【解答】解：∵平面向量a→=（1，2），∴a→⋅b→=∴b→在a→上的投影向量的坐标为a→⋅b故选：C．4．（5分）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）A．30π B．31π C．32π D．33π【解答】解：圆台的上、下底面半径分别是r＝1，R＝5，且圆台的母线长为5，则圆台的高为52则该圆台的体积是13故选：B．5．（5分）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP→A．[﹣4，20] B．[﹣1，5] C．[0，20] D．[4，20]【解答】解：AP→•AB→=|AP→||AB→|cos＜AP→，AB所以|AP→|cos＜AP→，AB→＞当点P在点N处时，AP→在AB→上的投影最小为﹣|AN→当点P在点M处时，AP→在AB→上的投影最大为|所以AP→•AB→的取值范围为[故选：A．6．（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为（）A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.8【解答】解：根据题意，由分层抽样定义，可得高三（1）班抽取的人数为4545+30高三（2）班抽取的人数为3045+30设高三（1）班（6人）答对题目数依次为x1，x2，…，x6，高三（2）班（4人）答对题目数依次为y1，y2，y3，y4，则16可得i=16则这10人答对题目的平均数110(i=1故选：D．7．（5分）某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝a米，则该球体建筑物的高度为（）米．A．a4cos10° B．aC．asin10°2sin40° D．【解答】解：由题意如图所示：由圆的切线性质：可得∠OBA＝30°，∠OCA＝10°，设球的半径R，设AB＝x，则Rx=tan30°=33，可得且Rx+a=tan10°，可得R＝xtan10°+atan10°=3Rtan10°+a可得R=atan10°所以球体的高度为2R=故选：B．8．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面面积为（）A．33 B．63 C．23【解答】解：在正四棱锥S﹣ABCD中，连接AC，则AC=2=SA=SC，△SAC是正三角形，由SC的中点为E，得AE⊥而SC⊥α，SC∩α＝E，则AE⊂α，在△SBC中，cos∠BSC=SB2令平面α与直线SB交于F，连EF，AF，则SC⊥EF，SF=SEcos∠BSC=22同理平面α与棱SD相交，令交点为G，连EG，AG，于是四边形AFEG为平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面，由对称性知△AEG≅△AEF，在△SEF中，EF=SFsin∠BSC=2而AE=ACsinπ3=62，在由余弦定理得AF=(在△AEF中，cos∠EAF=A所以所得截面面积SAFEG故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数z1，z2，z3是方程z3﹣1＝0的三个解，则下列说法正确的是（）A．z1+z2+z3＝1 B．z1z2z3＝1 C．z1，z2，z3中有一对共轭复数 D．z1z2+z2z3+z3z1＝﹣1【解答】解：由z3﹣1＝0，得（z﹣1）（z2+z+1）＝0，即z﹣1＝0或z2+z+1＝0，解得z＝1或z=−12+z=−12+32由题意知，不妨取z1所以z1+z所以z1z2所以z=−12+故选：BC．（多选）10．（5分）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立【解答】解：2次实验结果中，共{正反，反正，正正，反反}四种情况，事件M＝{正反，反正}，事件N＝{正反，反正，正正}，显然M与N不互斥，故A正确；P（M）=12，P（N）=34，P（MN）=12，P（MN）≠P（M）P（N），故n＝2，则3次实验结果中，共{正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反}八种情况，事件M＝{正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正}，事件N＝{正正正，正正反，正反正，反正正}，显然M与N不互斥，故C错误；P（M）=68=34，P（N）=12，P（MN）=38，P（MN）＝P（M）P（N故选：AD．（多选）11．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若AP→=13AB→+B．若P与C不重合，PB→⋅PC→=PAC．若AP→=−23AB→D．若AP→=mAB→+nAC→且m+n=1【解答】解：选项A，设D为BC中点，则AD→若AP→=1即点P位于中线AD上，且是靠近点D的三等分点，故P是△ABC的重心，A正确；选项B，由PB→⋅PC即PC→⋅AB→=则P在AB的高线所在的直线上，选项B正确；选项C，若AP→=−2即CP→=23BC→，故点选项D，如图，延长AP交BC于点M，由AP→=mAB则可得5AP→=5mAB→+5nAC→故有5AP→=AM→，则则△PBC的面积是△ABC面积的45，选项D故选：ABD．（多选）12．（5分）如图，在四边形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①；将△ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1﹣ABC，如图1．折法②：将△ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2．下列说法正确的是（）A．按照折法①，三棱锥D1﹣ABC的外接球表面积恒为4π B．按照折法①，存在D1满足AB⊥CD1 C．按照折法②，三棱锥A1﹣BCD体积的最大值为38D．按照折法②，存在A1满足A1C⊥平面A1BD，且此时BC与平面A1BD所成线面角正弦值为6【解答】解：对于A：由题意，△ACD≅△ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，则AC的中点O到A，B，C，D的距离相等，故O为棱锥D1﹣ABC外接球的球心，AC为直径，所以外接球的半径为1，所以该外接球的表面积为4π×12＝4π，故A正确；按照折法①，在折起过程中，点D1在平面ABC内的投影D1'在线段BD上（不包括端点）而线段BD（不包括端点）不存在D1'使得CD'⊥AB，故不存在D1满足AB⊥CD1，故B选项错误；按照折法②，取BD的中点H，A1H=12，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1﹣BCD体积取得最大值，此时体积V=13AH•S△BCD=13×1当A1C=2时，A1C2+A1B2=BC2故此时A1C⊥A1B，A1C⊥A1D，又因为A1B∩A1D＝A1，A1B，A1D⊂平面A1BD，故A1C⊥平面A1BD，∠A1BC为BC与平面A1BD所成线面角，则sin∠A1BC=故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，D是BC的中点，E是AC的中点，则AD→⋅BE→【解答】解：由题意可得AD→⋅BE→=12（=14（AB→•BA→+AB→=14[﹣4+2×2×（−12）+2×2×（−1=−3故答案为：−314．（5分）从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为710【解答】解：由题可知则A和B至多有一个入选的概率为P=C故答案为：71015．（5分）已知向量a→，b→满足（a→+b→）⋅b→=0，|a→+【解答】解：设c→则b→则c→设|c则|a所以|a→+b→|+|故答案为：41016．（5分）如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4.8km，B是山坡SA上一点，且AB→=λAS→，λ∈（0，1）．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路．若从A出发沿着这条公路到达B的过程中，要求先上坡，后下坡．则当公路长度最短时，λ的取值范围为【解答】解：根据题意，作出圆锥的侧面展开图，由两点之间线段最短，显然当公路长度最短时，观光公路为图中的A'B，过点S作A'B的垂线，垂足为H，如图：圆锥的底面半径为1km，AS＝4.8km，则AA'=2π，则∠A′SB=记点P为A'B上任意一点，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A'B，当H在线段AB上时，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，此时满足从A出发沿着这条公路到达B的过程中，先上坡，后下坡；反之，当H不在线段A′B上时，不能满足从A到B的过程中，先上坡，后下坡；过点A′作A′M⊥SA，交SA于点M，当B在AM之间时，满足从A到B的过程中，先上坡，后下坡；如图：由于∠A′SB=5π12，则SMSA'=6−2若从A到B的过程中，先上坡，后下坡，必有λ∈（0，4−2故答案为：（0，4−2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【解答】解：（1）由图知第一组频率为1﹣（0.03+0.04+0.02）×10＝0.10，所以第一组矩形的高为m0.1010因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（2）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x=65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为1000×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝520，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的1000名学生中有520名学生获奖．18．（12分）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．（Ⅰ）求甲最后没有得奖的概率；（Ⅱ）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率．【解答】解：（Ⅰ）第一关没通过的概率为0.3，第一关通过第二关没通过的概率为0.7×（1﹣0.5）＝0.35，故甲没有得奖的概率P＝0.3+0.35＝0.65．（Ⅱ）记甲和乙通过了第二关时最后获得二等奖为事件E，通过了第二关时最后获得一等奖为事件F，则P（E）＝0.5×（1﹣0.3）＝0.35，P（F）＝0.5×0.3＝0.15，∵甲和乙最后所得奖金总和为700元，∴甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，则甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为P1＝0.35×0.15＝0.0525，乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为P2＝0.35×0.15＝0.0525，∴甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率为：P＝P1+P2＝0.0525+0.0525＝0.105．19．（12分）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB（1）若C=π3，求（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．【解答】解：（1）∵C=π3，又cosA+sinB=3（sinA∴cosA+sin（2π3−A）=3sinA+3∴cosA+32cosA+12sinA=3sinA+3（−∴(1+3∴tanA＝1，又A∈（0，π），∴A=π（2）∵cosA+sinB=3（sinA+cosB∴3sinA﹣cosA＝sinB−3cosB∴2sin（A−π6）＝2sin（B∴A−π6=B−π3或A∴A＝B−π6或A+B又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD=π在△BCD中，由正弦定理可得|CD|sin∠CBD∴|CD|12=2sinC，∴又sinC＝sin（7π6−2B），又△∴0＜A=B−π6＜π20＜B＜π20＜C=∴7π6−2B∈（π6∴sinC＝sin（7π6−2B）∈（∴|CD|=1sinC20．（12分）已知四棱锥C﹣ABED的底面是直角梯形，AB∥DE，∠D＝90°，AB＝2，DE＝1，AD=3，侧面△BCE是正三角形，侧棱长AC=（1）证明：平面BCE⊥平面ABED；（2）求直线CD与平面BCE所成角的余弦值．【解答】（1）证明：取BE的中点F，连接AE、AF、CF，在直角梯形ABED中，AE＝AB＝BE＝2，所以AF=3又CF=3，AC=6，所以AF2+CF2＝AC2，即CF⊥由题意知，CF⊥BE，且AF∩BE＝F，AF、BE⊂平面ABED，所以，CF⊥平面ABED，又CF⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面ABED．（2）解：过D作DH⊥BE交BE于H，因为平面BCE⊥平面ABED，平面BCE∩平面ABED＝BE，DH⊂平面ABED，所以DH⊥平面BCE，设点D到平面BCE的距离为d，则d＝|DH|＝|DE|sin60°=32，连接在△DEF中，因为DE＝EF＝1，∠DEF=2π由余弦定理可知DF=3，又△DCF为直角三角形，于是DC=设直线CD与平面BC