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函数eq\r(50x)+eq\r(121y)=13的性质与图像※.函数的定义域∵eq\r(121y)=13-eq\r(50x)≥0,∴eq\r(50x)≤13,即:0≤x≤eq\f(169,50).则函数的定义域为:[0,eq\f(169,50)].※.函数的单调性对方程两边同时对自变量x求导,得:eq\f(50,2eq\r(50x))+eq\f(121y',2eq\r(121y))=0,eq\f(121y',eq\r(121y))=-eq\f(50,eq\r(50x)),y'=-eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121y),eq\r(50x))<0即函数y在定义域上为单调减函数。当x=0时,ymax=eq\f(169,121);当x=eq\f(169,50)时,ymin=0。则函数的值域为:[0,eq\f(169,121)]。本题也可通过复合函数性质来判断函数单调性,因为eq\r(50x)+eq\r(121y)=13,所以eq\r(121y)=13-eq\r(50x),又因为函数y1=eq\r(50x)为增函数,则取负号后为减函数,即f(eq\r(121y))为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=-eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121y),eq\r(50x))=-eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121),eq\r(50))*eq\f(eq\r(y),eq\r(x)).∴y"=-eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121),eq\r(50))*(eq\f(eq\r(y),eq\r(x)))'.=-eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121),eq\r(50))*eq\f(\f(\r(x),2\r(y))y'-\f(\r(y),2\r(x)),x)=-eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121),eq\r(50))*eq\f(-\f(\r(x),2\r(y))(eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121),eq\r(50))*eq\f(eq\r(y),eq\r(x)))-\f(\r(y),2\r(x)),x)=eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121),eq\r(50))*eq\f(\f(\r(x),2\r(y))(eq\f(50,121)*eq\f(eq\r(121),eq\r(50))*eq\f(eq\r(y),eq\r(x)))+\f(\r(y),2\r(x)),x)>0,所以函数y在定义域上为凹函数。※.函数的五点图x00.841.692.533.38eq\r(50x)06.489.1911.21313-eq\r(50x)136.523.811.80y1.3960.3510.110.020※.函数的示意图y(0,1.396)(0.84,0.351)(1
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