专题4.14 因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：（2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。（5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法。【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A．不是将多项式化成整式乘积的形式，故A选项不符合题意；B．是将多项式化成整式乘积的形式，故B选项符合题意；C．不是将多项式化成整式乘积的形式，故C选项不符合题意；D．不是将多项式化成整式乘积的形式，故D选项不符合题意；故选：D．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A、因为是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A不符合题意；B、因为不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B不符合题意；C、因为是因式分解，故C符合题意；D、因为不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D不符合题意；故选C．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：，，的最大公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵，，，∴最大公因式是．故选D．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.，，有公因式，故不符合题意；B.，，没有公因式，符合题意；C.，，有公因式，故不符合题意；D.与有公因式，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解 3．若关于的二次三项式的因式是和，则的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．解：由题意得：，．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式能分解为，则______，______．【答案】；．【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可．解：∵．∴展开式乘积中不含、项，∴，解得：．故答案为：，．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：；(2)；【答案】(1)；(2)【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式（2）解：原式【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：；(2)；；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式，进而分解因式得出答案．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式 5．因式分解：﹣2a3+12a2﹣18a(2)9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【答案】(1)﹣2a（a﹣3）2(2)（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：

（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）；（2）．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）将和看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成和两组，可利用完全平方公式分解，再和组合，由平方差公式分解即可．（1）解：．（2）．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(2)；【答案】(1)；(2)【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式（2）原式【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法 7．将下列各式分解因式：；(2)；(3)【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵，即，∴；（2）解：∵，即，∴；（3）解：，∵，即，∴原式．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：；(2)．【答案】(1)或；(2)或【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：，或，或；（2）解：，，或，或．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：．【答案】【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式====．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：a2－ab＋ac－bc；(2)x3＋6x2－x－6.【答案】(1)(a－b)(a＋c)；(2)(x＋1)(x－1)(x＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式(2)原式类型五、因式分解综合 9．将下列各式分解因式．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）==；（2）==；（3）===；（4）====.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）；（2）；（3）．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用 10．阅读材料，回答下列问题：若，求，的值．解：∵，∴，即，又，，∴，，∴，．(1)若，求，的值；(2)已知的三边，，满足．判断的形状，并说明理由．【答案】(1)；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a，b的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵，∴，即，又，，．（2）∵，，即，又，∴，，．是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：，求的值求的值若，求非负数k的值【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）将代数式用提公因式法因式分解为，再将，代入计算即可；（2）将变形为，再将，代入计算即可；（3）类似的方法将变形为，代入计算后求出的值，继而根据计算出符合条件的k的值即可．（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴；（3）解：∵，∴当时，，．∵k为非负数，∴．当时，，（舍去），∴．【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：因式分解：；求多项式的最小值；已知、、是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a，b，c的值即可．（1）解：；；（2），∵，∴多项式的最小值为；（3）由题意得：，∴．∴．又∵，，，∴，，，∴，，，∴的周长为．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若，求m和n的值．解：因为，所以．所以．所以．所以．问题：(1)若，求的值；(2)已知a，b，c是等腰的三边长，且a，b满足