高中数学第四章数列4

4.4*数学归纳法

级

A,必备知识基础练

L利用数学归纳法证明不等式1号+卜••垸1s（心2,的过程中，由力当■变到n=k+\时,左边

增加了（）

A.1项B.A项C.2"'项D.2*项

2.（2021上海交大附中高一下入学检测）用数学归纳法证明“对任意偶数能被aH整除”时,

其第二步论证应该是（）

A.假设n=k（k为正整数）时命题成立,再证n=k+\时命题也成立

B.假设〃=2A（A为正整数）时命题成立,再证n=2k+l时命题也成立

C.假设〃斗■（“为正整数）时命题成立,再证n2k+l时命题也成立

D.假设n±k（k为正整数）时命题成立,再证nC（〃+1）时命题也成立

3.（2021上海黄浦高二期末）用数学归纳法证明：（"1）明企）…（"加）-2"XlX3X…X（2〃-l）

从n=k（Jd至Un=k+l,若设/U）=（-1）（4+2）…（k+心,则/U+1）=（）

A.F（A）+[2（24+l）]

B./U）•[2（2斤a）]

C.f（/d次担

k+1

D./U）•鬻

4.（多选题）对于不等式后,某学生的证明过程如下：

①当n=l时,VIEW1+1,不等式成立.

②假设〃=*（4GN"）时,不等式成立,即VH+k〈k+l,则n=k+1时，

V（fc+I）2+（fc+1）=V/c2+3fc+2<

7（fc2+3/c+2）+（/c+2）=J（k+2）2=QM）+\,

.•.当〃斗'+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是（)

A.证明过程全都正确

B.当n=l时的验证正确

C.归纳假设正确

D.从至！|n=k+\的推理不正确

5.（多选题）一个与正整数〃有关的命题，当nt时命题成立,且由时命题成立可以推得n=k电

时命题也成立，则下列说法正确的是（）

A.该命题对于n=6时命题成立

B.该命题对于所有的正偶数都成立

C.该命题何时成立与在取值无关

D.以上答案都不对

6.用数学归纳法证明1：一Q+2于”4时,第一步应验证的等式

是;从“〃=*'至Ij左边需增加的等式是

7.用数学归纳法证明1-22+324j+（T）"%=（_i）"T.丝罗（〃CN*）.

8.（2021陕西西安铁路一中高二期末）在数列｛a,,｝中,a4%子.

2an+3

（1）求出我a并猜想｛a｝的通项公式;

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

级

B.关键能力提升练

9.(2。21江西赣州高二期末)用数学归纳法证明不等式.+京川•扁的过程中，由

n=k递推到n=kn时,不等式左边()

A•增加了高

B•增加了/+康

11

C.增加了

2(fc+l)k+1

D•增加了康+金一击

10.(2021浙江温州期中)利用数学归纳法证明等式:1•n+2-(/7-1)+3•(")

+n•1工〃(〃+1)(〃⑵(〃6N),当n=k0'j',左边的和1・k地,(4T)城3•(A-2)于・・+k•1,记作则当

6

n=k+\时左边的和,记作S-,则Sk+「SH)

A,

B.l+2,3i+(A-l)

C.1+2+34”+（4+1）

D.1，2+3*“+（左七）

11.（多选题）用数学归纳法证明唱〉」；对任意后4（〃，4WN）都成立，则以下满足条件的4的

2n+1n+1

值为（）

A.1B.2C.3D.4

12.记凸衣边形的内角和为则凸k+\边形的内角和f（k+。=F（Q+.

2

13.是否存在a,6,C使等式（J?+（|）+=aM：n+c对一切”都成立?若不存在,

说明理由;若存在，用数学归纳法证明你的结论.

14.用数学归纳法证明枭卜洛.沟篙<焉』.

15.己知数列｛£(x)｝满足f\｛x)=^==UA)),E+I(X)=£(£(X)).

VI+X2

(1)求£(x),6(x),并猜想｛£(x)｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明猜想.

级

C学科素养创新练

16.已知数列｛&｝满足31=2,-na„+\(/?GN*).

(1)求诙金,a,并由此猜想出｛4｝的一个通项公式并用数学归纳法证明;

(2)用数学归纳法证明：当〃乂时，上+-+■­•J＜二.

Q1。2ann+2

参考答案

4.4’数学归纳法

1.D当〃=4时,不等式左边的最后一项为夏；,而当n=k+1时,最后一项为普=并且不等

式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2"项.

2.D根据证明的结论,〃为正偶数,故第二步的假设应写成:假设nCk,ACN*时命题正确，即当

n=^k,4WN"时,能被a2整除,再推证〃=24+2时正确.故选D.

3.B由数学归纳法证明(〃+1)(〃+2)…(〃切)-2"XlX3X…义(2A-1)(AGN)时，从“k”到

的证明，左边需增添的一个因式是竺誓丝之(2"1),则f("l)=/U)•[2(2^1)].

4.BCD〃=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等

式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.

5.AB由时命题成立可以推出n=k配时命题也成立，且。之时,命题成立,故对所有的正偶数都

成立.故选AB.

当"=1时，应当验证的第一个式子是从“，斗•”到“"4+1”左

边需增加的式子是三7-

£.K~V1/(AC+1)

7.证明①当时，左边=1』，

右边=(-1)°乂号2=1,

左边=右边,等式成立.

②假设〃引•(&")时，等式成立,即12~22笆4*.*_]广,=(_1严.”罗

则当时，

I2-22-^M2^­•+(-1)w-1)*(A+1)2

=(6•丝罗《］)g)2

二（一1）'（女+1）•

=（_]/.（〃+1）[（上+1）+1]

当n=k+\时,等式也成立,

根据①②可知,对于任何等式成立.

8.⑴解由3\品”-3n,得0上2合=-^―=比厘2-=y2-=-=

2a+3

n%+3^+37a2+3畀3248

猜想囱品

⑵证明①当n=\时，a==f=之,结论成立.

261+5

②假设当(AdN)时,结论成立,即a^,

3・7--93

那么,当〃41时⑷^幺+5____:,结论成立.

原+33k+18(fc+l)+5

由①和②可知对任意都有&忌成立.

9.D当〃4时,•忌〉卷，

1111

当n=k+\时,-A------k+

fc+14-1fc+1+2k+kk+k+lk+1+k+l

左边增加了康+康一3?

10.C依题意，&司•k电•(AT)+3•(A-2)六・・+k•1,

则S”二l•(左河)+2•k埼•(A-l)M•(A-2)片••4•2+(女网)•1,

:5八6=\•-k]+2•[4一(AT)]+3•[(^-1)一(4-2)]司•[(4-2)-(〃-3)]—・％•(2-

1)+(女丹)•1A包埒〜・+k+(k+l).

“.CD取封，则慧=表缶据>含不成立;

取我，则慧.，岩号，葛>会不成立;

Tfvroniii2“T7n32"-lni^.>.

取Z?^3,则F—=-,—=~—>—成立；

2n+l9n+142n+ln+1

.，益丝公成立•

取内训制号，3

猜想当后3时，息>3(向)成立.

32n-1、n

证明：当〃力时，益公——>---成乂.

42n+ln+1

设当n=k(k>AeN)时,有会>备成立,

2^-1

2幺+1-1_3X^7?十1

则当n=k+1时，有:

2〃+1+1

鼻+3

令嗡，则2k+1-l=甯芍8

2k+1+lt+3：

因为啮？故含,3w84k+l

4k+3

k+1

k+12k-l\八rc«M2k+1-lk+1k+1

因为怒-:为,所以师i>用=而即，

k+2(4k+3)(k+2)

所以当n=k+\时,不等式也成立，由数学归纳法可知答>三对任意的"23都成立.故选CD.

2"+1n+1

12.n由凸左边形变为凸公1边形时，增加了一个三角形图形，故F(〃+l)=/W+4

(Q+b+C=L

13.解取e,2,3可得8Q+4b+2c=5,

(27Q+9/?+3C=14,

解得a=,

o吟Z吟o

下面用数学归纳法证明(£)2+(§2+=型:泞=(n+1誉+1).

即证\1->2i+''-+n^n{n+\')(2/7+1),

6

①当n=\时,左边=1,右边=1,.,.等式成立；

②假设当〃斗(MN*)时等式成立，

即广储六••％2上左(4+1)(24+1)成立，

6

则当n=k+l时，等式左边=12+2»“％2+(户])2

3k(k+l)(2k+\)+(k+02

6

上次(4+1)(2•1)用(奸1)2]

6

上(奸1)(2尸+7W6)上(4+1)(4+2)(24+3),

66

故当n=k+\时等式成立.

由数学归纳法,综合①②当〃eN*等式成立，

故存在使已知等式成立.

3Z6

14.证明①:当/?-1时,3-三二二<0,

9218

•4,1

.•.|<0=焉，即当n=\时,不等式成立.

②假设当n=k(kGN>时，不等式成立,即;x：x福，

3572fc+lv/c+l

.|M//,12246、/、/2k2(k+l),12(/c+l)2V/c+l

则m当n=k+\时，-X-X-X-X---X————<-7=X————=-----.

3572k+l2(k+l)+l历I2(fc+l)+l2k+3

..(2标)2_(1)2_

•2k+3J(k+1)+1

4(〃+l)(k+2)-(2k+3)2_-1

(2/c+3)2(k+2)-(2〃+3)2(k+2)U，

...(2而)24(】)2

2k+3J(k+1)+1

.•.喏<悬击,即当n=k+\时，原不等式也成立.

ZACTJyl

综合①②可知,对于任意心；|X(X弊…X悬<焉成立.

Xx

15.国箪(1)fl(x)=f\[f(x)],2,(x)=f\[£(x)]斐W==..

猜想：£(x)七.

vl+nxz

(2)下面用数学归纳法证明£(x)帚

Vl+nx2

①当n=\时，f\(x)=-f==y显然成立.

V1+X2

②假设当〃4(KN*)时,猜想成立,即f(x)^=,

y/1+kx2

x

则当n=k+l时,E“=/；[£(x)吐1G=,*、-即对n=k+\时,猜想也成立.

结合①②可知,猜想M号=可对一切"WN"都成立.

V1+71