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文档简介
第01讲有限样本空间与随机事件
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课程标准课标解读
1.了解随机现象与随机试验的特点;通过本节课的学习,要求在理解概念的
2.理解样本点、样本空间的概念,会求所给试验的样本基础上,会判断事件的性质,能准确的
点和样本空间;求随机事件的样本空间,能准确选择恰
3.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念,会判当的方法(列举法、树状图法、列表法)
断某一事件的性质.分析随机实验的样本空间.
趣知识精讲
1.随机试验
(1)定义:把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.
(2)特点:①试验可以在相同条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个:
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本点和样本空间
(1)定义:我们把随机试验E的每个可能的基主结星称为样本点,全体样本点的集合称为试
验E的样本空间.
(2)表示:一般地,我们用。表示样本空间,用。表示样本点.如果一个随机试验有〃个可
能结果(01,(02,…,(On>则称样本空间。={3,0)2).•.»CO”}为有限样本空间.
3.事件的分类
(1)随机事件:①我们将样本空间Q的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本
点的事件称为基本事件.
②随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
③在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(2)必然事件:。作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发
生,所以Q总会发生,我们称Q为必然事件.
(3)不可能事件:空集。不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称g为不可能事
件.
【即学即练1】从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,是必然事件的是.
A.3个都是篮球B.至少有1个是排球
C.3个都是排球D.至少有1个是篮球
【答案】D
【解析】
从6个篮球、2个排球中任选3个球,显然必有一个篮球,根据这个事实对四个选项逐•判
断.
【详解】
解析:从6个篮球、2个排球中任选3个球,A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必
然事件,故选D.
【点睛】
本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.
【即学即练2】在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中不可能事件为
()
A.3件都是正品B.至少有1件次品
C.3件都是次品D.至少有1件正品
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件、必然事件即可得出结果.
【详解】
25件产品中只有2件次品,所以不可能取出3件都是次品.
故选:C
【即学即练3】同时掷两枚大小相同的骰子,用(x,y)表示结果,记事件4为“所得点数
之和小于5”,则事件A包含的样本点数是()
A.3B.4C.5D.6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本事件概念即可求解.
【详解】
因为事件A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},
共包含6个样本点.
故选:D.
【即学即练4】下列事件中,随机事件的个数是()
①2022年8月18日,北京市不下雨;②在标准大气压下,水在4℃时结冰;③从标有1,2,
3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;④xeR,则|x|的值不小于0.
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据各项的描述,判断随机事件、必然事件、不可能事件,进而确定随机事件的个数.
【详解】
①2022年8月18|-|,北京市不下雨,随机事件;
②在标准大气压下,水在4℃时结冰,不可能事件;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签,是随机事件;
④xeR,则因的值不小于0,必然事件;
.•.随机事件有①、③.
故选:B
【即学即练5】下列事件:①当x是实数时,X-1x1=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;
③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数;④
体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机事件的是()
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
【答案】C
【解析】
根据随机事件的定义,逐项检验,即可求得答案.
【详解】
对于①,当x是实数时,xT刈=2.方程:无解,故①不可能事件.
对于②,某班一次数学测试,及格率低于75%是随机事件.
对于③,从分别标有0」,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶
数是随机事件.
对于④,体育彩票某期的特等奖号码是随机事件.
故随机事件为:②③④
故选:C.
【点睛】
本题考查了判断事件是否为随机事件,解题的关键是掌握随机事件的定义,考查了分析能力,
属于基础题.
【即学即练6】给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;②‘'当X为
某一实数时,可使X2或''是不可能事件;③“明天天津市要下雨”是必然事件;④“从100个灯
泡(含有10个次品)中取出5个,5个全是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数是()
A.0B.1
C.2D.3
【答案】C
【解析】
利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题,③是偶然事件,利用不可能事件的概念判断
②正确,利用随机事件的概念判断④正确.
【详解】
对于①,三个球全部放入两个盒子,有两种情况:1+2和3+0,故必有一个盒子有一个以上
的球,所以该事件是必然事件,①正确;
对于②,x=0时•/=(),所以该事件不是不可能事件,②错误;
对于③,“明天天津市要下雨”是偶然事件,所以该事件是随机事件,③错误;
对于④,“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个,5个全是次品”,发生与否是随机的,
所以该事件是随机事件,④正确.故正确命题有2个.
故选:C.
【即学即练7】从1,2,3,…,10这10个数中,任取3个数,那么“这3个数的和不大于
9”这一事件包含的样本点的个数是()
A.4B.5
C.6D.7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用列举法可得事件包含的样本点的个数.
【详解】
样本空间为{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,
4)},样本点个数为7.
故选:D
【即学即练8】(I)一批小麦种子全部发芽是事件:
(2)某人投篮3次,投中4次是事件.
【答案】随机不可能
【解析】
【分析】
根据随机事件和不可能事件的概念求解即可.
【详解】
种子发芽是随机的,故是随机事件;
投篮3次,不可能中4次,是不可能事件;
故答案为:随机;不可能.
【即学即练9】在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:
①“在这200件产品中任意选9件,全部是一级品”;
②“在这200件产品中任意选9件,全部都是二级品”;
③“在这200件产品中任意选9件,不全是一级品”.
其中是随机事件;是不可能事件.(填上事件的编号)
【答案】:①③:②
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件的定义即可得出结果.
【详解】
解析:因为二级品只有8件,故9件产品不可能全是二级品,
所以②是不可能事件.
故答案为:①③;②
【即学即练10】从含有6件次品的50件产品中任取4件,观察其中次品数,其样本空间为
【答案】{0,123,4}
【解析】
【分析】分析取出的4件产品的次品个数即可求解.
【详解】由分析可知取出的4件产品的次品个数为0,1,2,3,4.
所以样本空间为{0,123,4},故答案为:{0,1,2,3,4}.
【即学即练11】现有10个同类产品,其中7个是正品,3个是次品.有以下事件:从这10
个产品中任意抽取4个产品,①4个产品都是正品;②至少有1个次品:③4个产品都是次
品;④至少有1个正品.其中随机事件为,不可能事件为,必然事件为
.(填序号)
【答案】①②③④
【解析】
【分析】事件不可能发生为不可能事件,事件必然发生为必然事件,有可能发生,也有可能
不发生,为随机事件.
【详解】10个同类产品,其中7个是正品,3个是次品.,从中任意抽取4个产品,则至少
有一个是正品,故④为必然事件,而不可能4个产品都是次品,故③为不可能事件,可能会
4个产品都是正品,可能会至少有1个次品,所以①②是随机事件
故答案为:①②:③;④
【即学即练12】一只口袋内装有5个大小相同的球,白球3个,黑球2个,从中一次摸出2
个球.
(1)共有多少个样本点?
(2)“2个都是白球”包含几个样本点?
【答案]⑴10个;(2)3个.
【分析】(1)将袋中的5个求分白球、黑球编号,用列举法写出所有可能结果即可得解.
(2)利用(1)写出摸出的2个球都是白球结果即可得解.
【解析】(1)用1,2,3表示3个白球,用a,b表示2个黑球,则从袋中一次摸出2个球的
不同结果:
(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),
所以共10个样本点.
(2)由(1)知,“2个都是白球”含有的结果是:(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点.
Q能力拓展
考法01
随机现象的判定
【典例1】以下现象是随机现象的是()
A.标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾
B.长和宽分别为。,匕的矩形,其面积为axZ,
C.走到十字路口,遇到红灯
D.三角形内角和为180。
【答案】C
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
A.标准大气压下,水加热到i(xrc,必会沸腾,是必然事件;
B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为4X0,是必然事件;
C.走到十字路口,遇到红灯,是随机事件;
D.三角形内角和为180。,是必然事件.
故选C
【点睛】
本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,
属于基础题.
【典例2】以下现象不是随机现象的是()
A.抛掷一枚硬币,出现反面B.某人买彩票中奖
C.标准大气压下,水加热到100℃D.明天下雨
【答案】c
【解析】
根据随机现象的概念逐一判断即可得解.
【详解】由随机现象的概念可知A、B、D都是随机现象,C为确定性现象.故选:C.
【点睛】本题考查了随机现象的概念,属于基础题.
【典例3】有下面的试验:
①如果a,匕GR,那么“功=加。;
②某人买彩票中奖;
③实系数一次方程必有一个实根;
④在地球上,苹果抓不住必然往下掉;
其中必然现象有()
A3B.④C.①③D.①④
【答案】D
【解析】
【详解】
如果a,那么一定有。切故①是必然现象.某人买彩票中奖,可能发生,也可
能不发生,故②是随机现象.③实系数一次方程必有一个实根,这有可能发生,也可能不发
生(如实系数方程0k5没有实数根),故③是随机现象.在地球匕苹果抓不住必然往下掉,
这必然发生,故④是必然现象,故选D.
【典例4】判断下列现象是必然现象还是随机现象.
(1)掷一个质地均匀的骰子出现的点数;.
(2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色;.
(3)在10个同类产品中,有8个正品、2个次品,从中任意抽出2个检验的结果..
【答案】随机现象随机现象随机现象
【解析】
【分析】由随机现象和必然现象的定义判断.
【详解】
(1)掷一个质地均匀的骰子其点数有可能出现1〜6,点数是不能确定的;因此是随机现象.
(2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色,有可能是黄色,也有可能是绿
色,故是随机现象.
(3)抽出的2个产品中有可能全部是正品,也有可能是一个正品一个次品,还有可能是两
个次品,故是随机现象.
故答案为(1)随机现象;(2)随机现象;(3)随机现象.
【点睛】本题考查必然现象和随机现象的概念.事件出现的结果是不确定的,则为随机现象,
必定发生的则为必然现象.
考法02
随机事件的判定:
【典例5】给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;②“当x为
某一实数时,可使Y<0”是不可能事件;③“明天兰州要下雨”是必然事件;④“从100个灯
泡中取出5个,5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的序号是()
A.①②③④B.①®③C.①②④D.①②
【答案】C
【解析】
根据必然事件、不可能事件和随机事件的概念,结合题意逐一判断即可.
【详解】
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生,是必然事件,
①正确;
②“当x为某一实数时,可使不可能发生,没有哪个实数的平方小于0,是不可能事
件,②正确;
③“明天兰州要下雨,,是随机事件,故③错;
④“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”有可能发牛.,有可能不发生,是随机事件,故
④正确.
故选:C.
【点睛】
本题考查了必然事件、不可能事件和随机事件的概念,属于基础题.
【典例6】在200件产品中,192有件一级品,8件二级品,则下列事件:
①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品;
②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;
③在这200件产品中任意选出9件,不全是一级品;
④在这200件产品中任意选出9件,至少一件是一级品.
其中的随机事件有()
A.①©B.③④C.②④D.①②
【答案】A
【解析】
【分析】
按照随机事件、必然事件、不可能事件的定义一一判断.
【详解】
由于在200件产品中,192有件一级品,8件二级品,
则①“在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品”,这件事可能发生,也可能不发生,
故是随机事件.
②“在这20()件产品中任意选9件,全部是二级品”,这件事根本不可能发生,故是不可能
事件.
③“在这200件产品中任意选出9件,不全是一级品”,这件事可能发生,也可能不发生,故
是随机事件.
④“在这200件产品中任意选出9件,其中不是一级品的件数小于100”,是一定要发生的事
件,故是必然事件
故选:A.
【典例7】在10件同类商品中,有8件红色的,2件白色的,从中任意抽取3件,下列事件
是随机事件的是()
A.3件都是红色B.3件都是白色
C.至少有1件红色D.有1件白色
【答案】AD
【解析】
根据随机事件定义,结合题意即可判断.
【详解】
在10件同类商品中,有8件红色的,2件白色的,从中任意抽取3件,
对于A,抽取3件有可能都是红色,也有可能出现白色,所以A是随机事件;
对于B,因为只有2件是白色,所以不可能出现3件是白色,即B为不可能事件,所以B
不是随机事件,
对于C,因为只有2件是白色,所以取出的3件中至少有1件是红色,所以C为必然事件,
所以C不是随机事件,
对于D,抽出3件中白色可能有0,1,2三种可能,所以有1件白色是随机事件,即D为
随机事件,
综上可知,随机事件为AD,
故选:AD.
【点睛】本题考查了随机事件的判断,属于基础题.
考法03
事件的性质判定
【典例8】从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是()
A.3件都是正品B.3件都是次品
C.至少有1件次品D.至少有1件正品
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义对选项中的事件逐一判断即可.
【详解】
从10件正品,2件次品,从中任意抽取3件
A:3件都是正品是随机事件,
B:3件都是次品不可能事件,
C:至少有I件次品是随机事件,
D:因为只有两件次品,所以从中任意抽取3件必然会抽到正品,即至少有一件是正品是必
然事件,故选D.
【点睛】本题主要考查了随机事件、不可能事件、必然事件的定义与应用,意在考查对基本
概念掌握的熟练程度,属于基础题.
【典例9】下列事件:①一个口袋内装有5个红球,从中任取一球是红球;②抛掷两个骰子,
所得点数之和为9;③fNO(xeR);④方程3x+5=0有两个不相等的实数根:⑤巴
西足球队在下届世界杯足球赛中夺得冠军.其中随机事件的个数为().
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件的定义判定.
【详解】
①③是必然事件;②⑤是随机事件;④是不可能事件.
故选B.
【点睛】本题考查事件的定义,考查必然事件、随机事件、不可能事件的概念,属于基础题.
【典例10】下列事件中不可能事件的个数为()
①抛一块石块下落;
②如果那么a-b>0;
③没有水分,种子能发芽;
④某电话机在1分钟内收到2次呼叫;
⑤在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化.
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义判断即可.
【详解】
①②是必然事件,④是随机事件,③⑤是不可能事件.
所以不可能事件的个数为2.
故选:B.
【典例11】下列事件是随机事件的是()
①当xW10时,lg%>l;
②当无eR,炉+1=0有解;
③当aeR,关于x的方程f+a=0在实数集内有解;
④当sina>sin/?时,a>/?.
A.①②B.②③C.③④D.①④
【答案】C
【解析】
根据随机事件的概念对四个事件分别进行分析即可得到结论。
【详解】
对于①,由于X210时,IgxNl恒成立,故事件①为必然事件;
对于②,由于V+1=0无实数根,故事件②为不可能事件;
对于③,当awR,关于x的方程Y+a=0在实数集内可能有解,也可能无解,故事件③为
随机事件;
对于④,当sina>sin£时,a>尸可能成立,也可能不成立,故事件④为随机事件,
综上,事件③④为随机事件.
故选:C.
【点睛】本题考查对随机事件概念的理解,是基础题。
【典例12】已知非空集合A8,且集合A是集合8的真子集,则下列命题为真命题的是()
A.“若xeA,则xe8”是必然事件B.“若x任A,则xeB”是不可能事件
C.“若则xeA”是随机事件D.“若了e8,则xeA”是必然事件
【答案】ACD
【解析】
利用集合间的基本关系,将问题转化为元素与集合的关系,即可得答案.
【详解】
对A,符合真子集的定义,故A正确;
对B,“若x史A,则也可能成立,故B错误;
对C,“若xeB,则xwA成立,也可能xeA,故C正确;
对D,“若则x/A”,由文氏图可以理解,故D正确;
故选:ACD.
【点睛】本题考查利用集合间的关系,判断事件的类型,考查对概念的理解.
考法04
求样本点与样本空间:写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法:
(1)列举法:适用样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必
须按一定的顺
序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个
数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对“,也可用坐标法,列表法的优点是准确、全
面、不易遗漏.
(3)树状图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成
的结果可以用树状图进行列举.
【典例13】有4张卡片,上面分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,
则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为()
A.2B.3
C.4D.6
【答案】C
【解析】
【分析】从从这4张卡片中随机抽取2张卡片,取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括的
结果,可以通过列举得到.
【详解】由题意知,从从这4张卡片中随机抽取2张卡片,取出的2张卡片上的数字之和为
奇数包括(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共有四种结果,故选C.
【点睛】
本题考查排列组合的实际问题,这是一个最简单的组合数问题,在解题时,注意这里是一次
抽取两张,不用考虑顺序.
【典例14]一个家庭有两个小孩儿,则可能的结果为()
A.{(男,女),(男,男),(女,女)}
B.{(男,女),(女,男)}
C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
D.{(男,男),(女,女)}
【答案】C
【解析】
【详解】
随机试验的所有结果要保证等可能性.两小孩儿有大小之分,所以(男,女)与(女,男)是不同的结
果,故选C.
【典例15]袋中有5只球,其中有3只红球,编号为1,2,3,有2只黄球,编号为4,5.
现从中任意取一只球,试验A:观察颜色;试验8:观察号码.
试验A的样本空间为.
试验B的样本空间为.
【答案】{红,黄}{123,4,5}
【解析】
【分析】
由样本空间的定义即可求解.
【详解】
解:由题意,试验A的样本空间为{红,黄};试验B的样本空间为{1,2,3,4,5).
故答案为:{红,黄};{123,4,5}.
【典例16】抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间
【解析】掷两枚硬币,第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用
y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示,于是,试验的样本空间。={(正面,正面),(正
面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}
如果我们用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝上”,那么样本空间还可以简单表
示为<={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}
如图所示,画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程
【典例17】在0,1,2,9这10个数字中任意选取一个,写出试验的样本点和样本空
间.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用样本点和样本空间的定义进行求解即可.
【详解】
在0,1,2,9这10个数字中任意选取一个,
试验的样本点为:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;
样本空间。={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
【典例18]己知集合出={-2,3},N={-4,5,6),从两个集合中各取一个元素构成点的坐标.
(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验样本点的总数;
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点;
(4)说出事件4={(-2,-4),(-1-2)}所表示的实际意义.
【答案】⑴答案见解析;(2)12:(3)(3,5),(3,6),(5,3),(6,3);(4)得到的点是第三象限内的点.
【分析】
(1)将样本点一一列出在花括号内可得样本空间;
(2)由样本空间可得样本点的个数;
(3)找出横纵坐标都大于0的样本点即可;
(4)根据事件A中样本点的坐标可得实际意义.
【解析】(1)样本空间为
{(-2T),(-2,5),(-2,6),(3,T),(3,5),(3,6),(Y,-2),(5,-2),(6,-2),(<3),(5,3),(6,3)}
(2)由知这个试验样本点的总数为12.
(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为(3,5),(3,6),(5,3),(6,3).
(4)事件A={(-2,T),(T-2)}表示得到的点是第三象限内的点.
【典例19]树形图(TreeDiagram)是一种有层次地枚举各种可能情况的可视化方法.树形图
有助于我们直观地探求某些样本空间.例如,考察有两个孩子的家庭,记“从中任意抽取一个
家庭,两个孩子是一男一女”为事件4我们画出如图所示的树形图,可知样本空间。={(男,
男),(男,女),(女,男),(女,女)},事件A={(男,女),(女,男)}.
z\
第1个A男△女
第2个男女男女
试用树形图的方法分析下列习题
一只不透明的口袋内装有大小相同的3个球,且分别标有1,2,3三个号码.记“从袋中不放
回地抽取2个球,第一个球的号码是1”为事件4,“从袋中不放回地抽取2个球,第二个球
的号码是2”为事件A试分别写出。,A,8及AB所包含的样本点.
【答案】Q={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)),A={(1,2),(1,3)},5={(1,2),(3,2)},
4?={(1,2)}
【解析】
【分析】利用树状图把情况列出来,再根据树状图写出夏,A,8及A8所包含的样本点.
【详解】
样本空间0={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3』),(3,2)},事件4={(1,2),(1,3)},事件
3={(1,2),(3,2)},事件钻={(1,2)}
第一次123
AAA
第二次2313I2
M分层提分
题组A基础过关练
1.下列现象中,是随机现象的有()
①在一条公路上,交警记录某一小时通过汽车超过300辆.
②若。为实数,!H!l|a+l|>0.
③发射一颗炮弹,命中目标.
④检查流水线上一件产品,这件产品是次品.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机现象和必然现象的定义判断得解.
【详解】
当。为实数时,|a+l|K)恒成立,是必然现象,其余3个均为随机现象.
所以是随机现象的有3个.
故选:C
2.“连续抛掷两个质地均匀的骰子,记录朝上的面的点数“,该试验的结果共有().
A.6种B.12种C.24种D.36种
【答案】D
【解析】
【分析】
由第一次的点数和第二次的点数,组成一个事件,写出所有可能即得.
【详解】试验的全部结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),
(6,5),(6,6),共36种.
故选D.
【点睛】本题考查样本空间,解题时书写样本点时要注意有先后顺序.
3.下列事件中,是必然事件的是()
A.对任意实数x,有NK)
B.某人练习射击,击中10环
C.从装有1号,2号,3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D.某人购买彩票中奖
【答案】A
【解析】
【分析】
根据必然事件的概念,考察必然发生的事件,即为所选项.
【详解】
选项B,C,D中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件;
A选项,当xwR时,总有/NO发生,是必然事件.
故选:A.
【点睛】
本题考查必然事件的概念与判定,属基础题.
4.下列事件:
①任取三条线段,这三条线段恰好组成直角三角形;
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点;
③实数a,6都不为0,但/+从=0;
④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温.
其中为随机事件的是()
A.(D@③B,①③④C.①②④D.②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机事件概念逐一判断,即可选择.
【详解】
任取三条线段,这三条线段不一定能组成直角三角形,所以①为随机事件;
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线不一定交于一点,所以②为随机事件;
因为当实数。,人都不为0时/+〃片0,所以③为不可能事件;
明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温,所以④为随机事件;
故选C.
【点睛】
本题考查随机事件概念,考查基本分析判断能力,属基础题.
5.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,
观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为()
A.5B.6C.7D.8
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意一一列举出基本事件即可得出选项.
【详解】
因为是有放回地随机摸3次,
所以随机试验的样本空间为a={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),
(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个.
故选:D
6.下列试验能构成事件的是()
A.掷一次硬币B.标准大气压下,水烧至100°C
C.从100件产品中任取3件D.某人投篮5次,恰有3次投中
【答案】D
【解析】
【分析】
根据事件可以分为必然事件、随机事件和不可能事件即可判断.
【详解】
解:所谓事件,实际上就是在一定条件下所出现的某种结果.在一定条件下必然发生的事件,
叫做必然事件.在一定条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.随机事件在一定的条件
下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
A,B,C三个选项不能划分为三种事件的其中一个,故选:D.
7.下列事件为确定事件的有()
(1)在一标准大气压下,200c的水结冰
(2)边长为“,匕的长方形面积为加
(3)抛一个硬币,落地后正面朝上
(4)平时的百分制考试中,小白的考试成绩为105分.
A.I个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不可能事件、必然事件、随机事件的概念进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
(1)在一标准大气压下,20。。的水结冰,这是不可能发生的事件,故是不可能事件.
(2)边长为人的长方形面积为必,这是必然发生的事件,故是必然事件
(3)抛一个硬币,落地后正面朝匕这件事可能发生,也可能不发生,属于随机事件.
(4)平时的百分制考试中,小白的考试成绩为105分,这是不可能发生的事件,故是不可
能事件.
故选:A.
8.下列事件中是随机事件的个数有()
①连续两次抛掷两个骰子,两次都出现2点;
②在地球上,树上掉下的雪梨不抓住就往下掉;
③某人买彩票中奖;
④己经有一个女儿,那么第二次生男孩;
⑤在标准大气压下,水加热到90℃是会沸腾.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据随机事件就是在指定条件下,可能发生也可能不发生的事件,依据定义即可判断,得到
答案.
【详解】
由题意,随机事件就是在指定条件下,可能发生,也可能不发生的事件,
①连续两次抛掷两个骰子,两次都出现2点可能发生,也可能不发生,所以是随机事件,
②在地球上,树上掉下的雪梨不抓住就往下掉,这是一定发生的事件,不是随机事件;
③某人买彩票中奖,此事可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;
④已经有一个女儿,那么第二次生男孩,此事可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;
⑤在标准大气压下,水加热到90℃是会沸腾,此事一定不发生,不是随机事件.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了随机事件,必然事件、不可能事件的概念及判断,其中熟记随机事件的基本
概念是解答此类问题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
9.在10名学生中,男生有x名,现从10名学生中任选6人去参加某项活动:①至少有1
名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能
事件,③为随机事件,则》=()
A.5B.6C.3或4D.5或6
【答案】C
【解析】
利用必然事件、不可能事件、随机事件的性质求解.
【详解】
依题意知,10名同学中,男生人数少于5人,但不少于3人,故x=3或4.
故选C
【点睛】
本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的性质的灵活运用.
10.下列事件:①任取这三条线段,这三条线段恰好组成直角三角形;②从一个三角形的三
个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点;③实数4,人都不为0,但/+〃=0;④明
年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温.其中为随机事件的是()
A.①©③④B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】B
【解析】
根据随机事件的基本概念,逐项判定,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,对于①中,任取三条线段,这三条线段可能组成直角三角形,也可能组不成直角三
角形,故①为随机事件;
对于②中,从一个三角形的三个顶点各任画•条射线,三条射线可能不相交、交于一点、交
于两点、交天三点,故②为随机事件;
对于③中,若实数0,匕都不为,则“2+从一定不等于0,故③为不可能事件;
对于④中,由于明天12月28还未到来,故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月
28日的最高气温,也可能低于今年12月28日的最高气温,还可能等于今年12月28日的
最高气温,故④为随机事件.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了随机事件基本概念及应用,其中解答中熟记随机事件的基本概念,逐项判定
是解答的关键,属于基础题.
11.下列事件是确定事件的是()
A.2022年世界杯足球赛期间不下雨
B.没有水,种子发芽
C.对任意xeR,有x+l>2x
D.抛掷一枚硬币,正面向上
【答案】B
【解析】
根据确定事件的定义判断即可”
【详解】
解:不可能事件和必然事件统称确定事件,对于A,2022年世界杯足球赛期间不下雨时随
机事件;
对于B,没有水,种子发芽为不可能事件,即为确定事件;
对于C,对任意xeR,有x+l>2x,为随机事件;
对于D,抛掷一枚硬币,正面向上,为随机事件;
故选:B
【点睛】本题考查确定事件的概念的理解,属于基础题.
12.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,那么“这2个数的和大于4”包含的样本点
数为()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】c
【解析】
【分析】
列出2个数的和大于4的样本点即可求解.
【详解】
从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,
则试验的样本空间为。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有:(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个.
故选:C.
13.下列说法正确的是()
A.某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的概率为0.7
B.一位同学做掷硬币试验,掷6次,一定有3次“正面朝上”
C.某地发行福利彩票,回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报
D.概率等于1的事件不一定为必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】
对四个命题分别进行判断即可得出结论
【详解】
A,某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的概率不一定为0.7,是一个随机事件,
故错误
B,是一个随机事件,一位同学做掷硬币试验,掷6次,不一定有3次“正面朝上”,故错误
C,是一个随机事件,买这种彩票,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故错误
D,正确,比如说在0和5之间随机取一个实数,这个数不等于3.35264的概率是1,但不是
必然事件,故正确
综上所述,故选D
【点睛】
本题考查了事件发生的概率问题、必然事件,只要按照其定义进行判定即可,较为简单
14.分别标有数字1,2,3,4的4张卡片,从这4张卡片中随机抽取2张卡片,则取出的2张卡
片上的数字之和为奇数的取法数为()
A.2B.3C.4D.6
【答案】C
【解析】
【详解】
由题意知,从这4张卡片中随机抽取2张卡片,取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括
(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共有4种结果.故选C.
15,从12个同类产品(其中10个是正品,二个是次品)中任意抽取3个的必然事件是()
A.3个都是正品B.至少有1个是次品C.3个都是次品D.至少有:个是正品
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析:在一定条件下一定发生的事件,叫做必然事件.从12件同类产品中,其中10
件是正品,2件是次品,任意抽取3件,其中至少有一件是正品,故选D.
考点:本题主要考查必然事件的概念.
点评:在一定条件下一定发生的事件,叫做必然事件.
题组B能力提升练
1.(多选)在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中不是随机事件的是
()
A.3件都是正品B.至少有1件次品
C.3件都是次品D.至少有1件正品
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据题意25件产品中只有2件次品,所以不可能取出3件都是次品,且至少有1件正品,
即可得解.
【详解】
25件产品中只有2件次品,所以不可能取出3件都是次品,
则“3件都是次品“不是随机事件,是不可能事件,
又25件产品中只有2件次品,从中任取3件产品,则“至少有1件正品”为必然事件,
而A,B是随机事件,
故选:CD
2.(多选)袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中取出两个,下列事件
是样本点的是()
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球标号都大于3
D.取出的两球标号的和为8
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据样本点的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A:取出的两球标号为3和7是样本点,故选项A正确;
对于B:取出的两球标号的和为4,指取出的两球标号为1和3,是样本点,故选项B正确;
对于C:取出的两球标号都大于3,指取出的两球标号为5和7,是样本点,故选项C正确;
对于D:取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5,是两个样本点,
故选项D不正确:
故选:ABC.
3.(多选)已知集合A是集合8的真子集,下列关于非空集合A,5的四个命题:
①若任取xeA,则xeB是必然事件:
②若任取xeA,则是不可能事件;
③若任取xeB,则XGA是随机事件;
④若任取xe8,则xeA是必然事件.
其中正确的命题是()
A.①B.②C.③D.④
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据集合A是集合B的真子集,可知集合A中的元素都在集合B中,集合B中存在元素不是
集合A中的元素,再根据随机事件,必然事件,不可能事件的定义判断即可求解.
【详解】
因为集合A是集合8的真子集,所以集合A中的元素都在集合B中,集合B中存在元素不是
集合A中的元素,作出其韦恩图如图:
对于①:集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,任取xwA,则xeB是必然事件,
故①正确;
对于②:任取X£A,则xe5是随机事件,故②不正确;
对于③:因为集合A是集合8的真子集,集合8中存在元素不是集合A中的元素,集合8中
也存在集合A中的元素,所以任取则xeA是随机事件,故③正确;
对于④:因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,任取x/B,则xeA是必然事
件,故④正确;所以①③④正确,
故选:ACD.
4.(多选)下列事件是随机事件的是()
A.函数2r+a的图象关于直线x=1对称
B.某人给其朋友打电话,却忘记了朋友电话号码的最后一个数字,就随意拨了一个数字,
恰巧是朋友的电话号码
C.直线y=fcv+6是定义在R上的增函数
D.某人购买福利彩票一注,中奖500万元
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据必然事件,随机事件的特点,逐项判断,求出二次函数的对称轴;随机拨了一个数字;
k的正负决定了函数的增减性;以及彩票的特点,买了一注就中奖;即可确定随机事件和必
然事件.
【详解】
A.根据二次函数尸加+"+c的对称轴为k-二,可得益)=x2—2x+a图像关于
X=1对称,是必然事件;
B.因为忘记最后一个数字,随意拨了一个数字,故是随机事件;
C.因为女的不确定,所以也有可能是减函数;
D.彩票由很多张,买了一张中奖,当然是随机事件;
所以A为必然事件;B,C,D为随机事件.
故选:BCD
5.先后抛掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,),,则事件“朝上的面的
点数x,y满足log2xy=1”包含的样本点有.
【答案】(1,2),(2,4),(3,6).
【解析】
【分析】
利用列举法求解.
【详解】
先后抛掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,y,
则事件“朝上的面的点数x,y满足log2X),=l”包含的样本点有(1,2),(2,4),(3,6).
故答案为:(1,2),(2
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