高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 3 三角函数 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题-强基计划真题考前适应性训练】

专题03三角函数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2021•北京•高三强基计划）已知。为,的外心，与△08C的外接圆分

别交于点。，E.若DE=OA,则NOBC=（）

A.30°B.45°C.60°D.以上答案都不

对

2.（2020•北京•高三强基计划）设等边的边长为1,过点C作以A3为直径的圆的

切线交A8的延长线于点。，AD>BD,则△BCD的面积为（）

A6应-36口4夜-3g

1616

C.3夜-2®D.前三个答案都不对

16

3.（2020•北京•高三强基计划）函数

5/3+25/3cos0+cos20+\/5-2V3cos^+cos2^+4sin29的最大值为（）

A.夜+0B.20+为

C.忘+2百D.前三个答案都不对

4.（2020•北京•高三校考强基计划）使得〃sinl>l+5cosl成立的最小正整数〃的值为（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2020•北京•高三校考强基计划）在ABC中，44=90。,43=1,4。=6.点尸满足

PAPBPC,、

--------1---------1--------=0,则（)

|PA||P8|\PC\

A.ZAPC=120°B.ZAPB=120°

C.\PB\=2\PA\D.\PC\=2\PB\

sinoc

6-（2。2。・北京•高三校考强基计划）设d夕为锐角，且cos（a+小得,则tana的最

大值为（）

A.也B.BC.1D.V2

43

〃2

7.(2020•北京•高三校考强基计划)lim^arctan7T=()

3兀

D.

T

8.（2020•北京•高三校考强基计划）sinarctan1+arcsin—+arccosI=（）

A.1B.述C.逑D.也

1052

二、多选题

9.（2020•北京•高三校考强基计划）设A3C的三边长a,b,c都是整数，面积是有理

数，则。的值可以为（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2022•贵州•高二统考竞赛）如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该

直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中/1=/2=/3）,得到

四个小正方形ABC,。，记它们的面积分别为臬,SR,&•，S0,则以下结论正确的是（）

A.SA+SD=SB+Sc

B.SA，SD=SB，Sc

C.SA+SD..2SB

D.SD+SA<2SC

IL（2020糊北武汉•高三统考强基计划）设ABC的内角A&C的对边分别为若

|^cosC>（a+c）（bsinC-l）=0'则（）

A.B=-

3

B.B=-

4

C.的面积最大值为述

16

D.43C的周长最大值为亚

2

三、填空题

12.（2021•北京•高三强基计划）在锐角ABC中，tanAtan8+2tan8tanC+3tanCtanA

的最小值是.

13.（2022•江苏南京•高三强基计划）设则函数），=sii?xcosx的最大值为

14.（2022•江苏南京•高三强基计划）在二ABC中，角人民C的对边分别为0、氏c,已知

acosC-bcos2A=crsinAsinB-csinA>则tan4的值为.

15.（2022•江苏南京•高三强基计划）函数），=^/^N+^/15-3x的值域为.

16.（2021•全国,高三竞赛）设,且cos3e+sin3g+i=m（cos，+sinO+l）3,贝！]

实数〃?的取值范围是.

TT

17.（2020•浙江•高三竞赛）己知。,夕,/£0,-,则

cosa+2cosP+cosy-cos（a+/）—2cos（>?+7）的最大值为.

18.（2021•全国•高三竞赛）函数y=sinx，+tanx-ta吟）的最小正周期为.

59

19.（2021•全国•高三竞赛）已知一ABC满足2sinA+sinB=2sinC,则——+——的最

sinAsinC

小值是.

AT—s]*__!______5_

20.（2021•全国•高三竞赛）在工ABC中，一A,C'3一，则8C+A8的

tan-tan—tan——

222

值为・

21.（2021•浙江•高三竞赛）若则函数8sx+3的最小值为

k44Jsinx+cosx

22.（2022•福建•高二统考竞赛）已知a,夕，yw（0,i）,且,则cosa+cos尸+sin2y的

最大值为.

23.（2022•浙江•高二竞赛）已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

cosC=F，则角A的取值范围是_____.

2a

24.（2022•北京•高三校考强基计划）在..A8C中，S4比="|（"-6），其外接圆半径R=2，

且4卜irA-sirB,ulGa-bNinB,则sin」2'+sin,=.

25.（2022•北京•高三校考强基计划）在梯形ABCD中，AO〃8C,M在边CO上，有

NABM=NCBD=NBCD,则——取值范围为__________.

BM

26.（2022•北京•高三校考强基计划）若一ABC三边长为等差数列，则cosA+cosB+cosC

的取值范围是.

27.（2021•全国•高三竞赛）在ABC中，2cosA+3cos8=6cosC,贝iJcosC的最大值为

四、解答题

28.（2021•全国•高三竞赛）求证：对任意的〃eN+，都有

11I17t

arctan-+arctan—++arctan------+arctan----=—.

371+n+w7n+\4

29.（2022•新疆•高二竞赛）直角三角形。跖的三个顶点分别在等边三角形ABC的边

S

AB,BC,CA±.,且NDEF=90°,NEDF=30°,求不也■的最小值.

30.（2019•河南•高二校联考竞赛）锐角三角形ABC中，求证：

cos（B-C）cos（C一A）cos（A-3）..8cosAcosBcosC.

【高中数学竞赛真题.强基计划真题考前适应性训练】

专题03三角函数真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2021•北京•高三强基计划）已知。为，4?。的外心，AaAC与aOBC的外接圆分

别交于点。，E.若DE=OA,则NOBC=（）

A.30°B.45°C.60°D.以上答案都不

对

【答案】B

【分析】利用圆周角和圆心角的关系可求NOBC的大小.

【详解】如图，连结BE.

由于DE=OA=OB=OC,

于是弧80分别与弧OE、弧OC相等，进而可得弧即与弧OE相等、弧。。与弧CE相

等，

进而NE3C=ZOBD=90°--NAOB=90°-NECB,

2

从而“EC=90。，因此BC是△OBC外接圆的直径，进而NO3C=45。.

2.（2020•北京•高三强基计划）设等边.ABC的边长为1,过点C作以A3为直径的圆的

切线交A8的延长线于点。，AD>BD,则△BCD的面积为（）

6应-364&-36

--------------oO.---------------

1616

3近-2百

C.D.前三个答案都不对

16

【答案】C

【分析】利用射影定理可求。。=必，故可求△放»的面积.

4

【详解】如图，设题中圆的圆心为。，8与圆。切于点7,连结CO,m,

则OC=3,OT=L,于是0。=逅，

224

“1m1163血-26

从而S=—BD•OC=-x------x—=-----------.

A8RCCOn2242216

\7

故选：C.

3.（2020•北京•高三强基计划）函数

，3+2>/§cose+cos26+J5-2GCOS6+COS2e+4sin29的最大值为（）

A.近+岔B.2&+6

C.&+26D.前三个答案都不对

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值.

【详解】题中代数式为

6+cos（9+710-（73COS+1）2=瓜。泮I+J10_（4cos，+1）2+与

v3v3

4即xM+卡

2V10+2

等号当*严=6nc。，*需时可以取得'因此所求最大值为

2而+2

故选：D.

4.（2020•北京•高三校考强基计划）使得“sin1＞1+5cosl成立的最小正整数n的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先证明成立，再结合f（x）=x+54r=的单调性可

估算/_+5、三二的取值范围，从而可得最小正整数n的值.

sin1Vsin"1

【详解】根据题意，有〃＞」一+5、口4V-1,

sinlVsm_1

记y（x）=x+54^i，则函数/*）在a，+8）上是单调递增函数.

设g(x)=sinx-x+，x3,则：

O

=cosx-l+-x2=—x2—2sin2—=?f--sin—V—+sin—1,

222122JV22)

当xe(o，^时，有•|>sin5，故g'(x)>0,

故g(x)为[o,])上的增函数，故g(x)>g(0)=0osinx-x+\x3>o.

接下来利用当xe(0,9时，sinxx-9以及正弦函数的单调性估计sini.

511.1.乃G

—=1—<sin1<sin—<—，

6632

有4vx专卜岛上，肥+而（鸿⑹

因此使得不等式成立的最小正整数n的值为5.

故选：C.

5.（2020•北京•高三校考强基计划）在ABC中，44=90。,48=1,47=百.点/＞满足

PAPBPC

----+-----+-----=0,则（)

|P4|\PB\\PC\

A.ZAPC=120°B.ZAPB=\2O°

C.\PB\=2\PA\D.\PC\=2\PB\

【答案】ABCD

【分析】根据题设条件可得P为ABC的费马点，如图，以A民BC为边作等边三角形

一ABE,.BCD，可证故可判断各项的正误.

【详解】根据题意，PA,PB,PC方向上的单位向量之和为零向量,

因止匕NAP8=ZBPC=NCPA=120。，进而P为ABC的费马点.

如图，以A8,8C为边作等边三角形SBE,BCD,

则N8P£）=/3Cr）=60。，故B,P,C。四点共圆，

故4PBe=NPDC,故NPBA=ZADB，

PADA1

故△BA。n2，

PBBD2

同理，/XPBCsABECn里=里=L,

PCBC2

因此所有选项均正确.

故选：ABCD.

sinct

6.（2020•北京•高三校考强基计划）设%〃为锐角，且cos（a+夕）=-^,则tana的最

sinp

大值为（）

A.立B.立C.1D.72

43

【答案】A

【分析】利用基本不等式可求最大值.

sina

【详解】解法一：由cos（a+0=得cosacos£sin夕一sinasin2/?=sin«

sin°

所以cos/7sin/?-tanasin24=tana.

_cos/?sin/7_tan/?_1\[2

因为a,4均为锐角，所以ta""-i+siY尸\+2tan21一刀一：广V

tanp

当且仅当tan£=*时取等号，所以tanc的最大值是乎.

sincc

解法：：山cos(a+0=T=得：

sinp

cos(a+J3)sin夕=sina=；［sin(a+2/3)-sina\=sina,

于是sina=gsin(a+2夕)〈g,

等号当a=arcsing,夕=；arccosg时取得，

因止匕tana的最大值为tanarcsin」=E.

34

"2

7.(2020•北京•高三校考强基计划)limVarctan-y=()

A,光3兀

B.兀c.2D.

44T

【答案】A

【分析】利用裂项相消法可求数列的和，再根据基本极限可求题设中数列的极限.

2(左+1)_(4_])

【详解】根据题意，有arctan—=arctan———~-=arctan(&+1)-arctan伏-1),

k1+(%+1)(A一1)

于是limVarctan—=limVarctan(^+1)-arctan(A:-1)J

=lim(arctan(n+l)+arctann-arctan1-arctan0)

3兀

T

故选:A.

8.(2020•北京•高三校考强基计划)sinarctan1+arcsin—+arccosj=()

A.1B.递C.—D.@

1052

【答案】A

【分析】利用复数的乘法可求3个角的和的正弦值.

【详解】arctanl,arcsin@,arccos亚分别是复数l+i,2+i,3+i的辐角，

510

于是题中代数式为复数z=(l+i)(2+i)(3+i)=10i的辐角的正弦值，为1.

故选：A.

二、多选题

9.(2020•北京•高三校考强基计划)设ABC的三边长mb,c都是整数，面积是有理

数，则。的值可以为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】CD

【分析】由特例可得。的值可以取3,4,再利用整数的性质可判断a的值不可能为1,

2,故可得正确的选项.

【详解】取三边为3,4,5的三角形，其面积为6,此时a的值可以取3,4.

当a=1时，有|a-b|<c<|。+b|=>c=6,

此时,/3C的面积为!”从-1,注意到4/-l=3(mod4),不为完全平方数，

4

因此一"C的面积不可能是有理数.

当a=2时，不妨设2WZ>4c,~^\a-b\<c<\a+b^c=b^c=b+\.

情形一若，=3则43c的面积为〃匚.

若后=7=/,其中2，g为互质的正整数，则/,2-])=。2,

于是从-1为完全平方数，而正整数的完全平方数的最小间隔为22=3,因此该情形

不成立.

情形二若c=b+l,则cosC=四老二3包=32,

4b4b

于是面积为有理数，等价于sinC为有理数，即J(44—(—28+3)2=川2/+126—9为完

全平方数，注意到12〃+120-9=3(mod4),因此的面积不可能是有理数.

综上所述，”的值不可能为1,2,可能为3,4.

故选：CD.

10.(2022•贵州•高二统考竞赛)如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该

直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作(其中31=/2=/3),得到

四个小正方形,记它们的面积分别为SA，SB，SC，S",则以下结论正确的是()

A.$八+S。=Sg+Sc

B.S〃=SR，Sc

C.SA+SD..2SB

D.SD+SA<2SC

【答案】BC

【详解】设Nl=N2=N3=a,最大正方形的边长为1,

2

小正方形AB,。,。的边长分别为.Va=cosa,b=sinacosa,

c=sinacosa,1=sin2a,

4422

SA+SD=sina+cosa>2sinacosa,

22

SB=Sc=sinacosa,SA+SD>2sB，

所以C正确；

4444

SASD=sinsina,SBSc=sin£zsina,

所以S八品=SsSc.,所以B正确,

故选：BC.

IL（2020糊北武汉高三统考强基计划）设ABC的内角A8,C的对边分别为〃也c.若

｛晨S离a+c〉SsinC-D=0'则（）

A.B=-

3

B.B=-

4

c.45c的面积最大值为地

16

D.的周长最大值为亚

2

【答案】AC

【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及基本不等式化简即可。

【详解】由&8SC+”+c）（bsinC-1）=0=sinBcosC+\/3sinJ?sinC—sin（B+C）—sinC=0

化简得：sinC-2sin（B-方）-1=0

因为0<3<应0<。<4

所以2sin（fi--|-l=0^B=-

故A正确

▽山c_1-"8（a+c丫_38

乂由5人肥=/ac'Sin8W-“［；—J=^-

当且仅当a=c=3时取等号

2

三角形的周长L诋=。+"+。=百+"

由余弦定理得+/一〃=（«+c）2-2ac-h2=>/;2=3-3ac

因为a+cW2旅nac4?（当且仅当a=c=3时取等号）

42

所以/乎，〃“=¥，排除D

故选:AC

三、填空题

12.（2021•北京•高三强基计划）在锐角ABC中，tanAtan3+2tan3tanC+3tanCtanA

的最小值是.

【答案】6+2夜+26+2指

【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.

【详解】记题中代数式为M,我们熟知三角形中的三角恒等式：

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,

于是M=tanAtan+2tantanC+3tanCtanA

>_________（1+VI+扬2_________

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA

=（1+夜+回=6+2&+26+2#，

等号当tanAtanB=近tanBtanC=V3tanCtan4ntan4:tanB:tanC=0：6：1时取

得，因此所求最小值为6+20+2行+2指

故答案为：6+2⑪+2下）+2瓜

13.（2022•江苏南京•高三强基计划）设xe（og）,则函数ynsi/xcosx的最大值为

【答案】竽

【详解】y=sin2xcosx=-cos3x+cosx,

令f=COSX£（0」），所以y=--+f,

r2

y=-3/+1f

故答案为：吟

14.(2022•江苏南京•高三强基计划)在...ABC中，角人民C的对边分别为a、8、c,已知

acosC-bcos2A=asinAsinB-csinA，则tanA的值为.

【答案】1

【详解】由正弦定理边化角：

sinAcosC-sinSeos2A=sin2/4sinB-sinCsinA，

sinA(sinC+cosC)=sinB,

sinA(sinC4-cosC)=sinAcosC+sinCeosA,

得sinAsinC=cosAsinC,

山sinCw0,得tanA=1,

故答案为：L

15.(2022•江苏南京•高三强基计划)函数y=77^4+V15-3%的值域为.

【答案】[L2]

Jx-4=sin，[sin0>0「支~

【详解】令L,由八得。w2k兀，J+兀,

\/5^x-cos0[cos。20L2-

则y=sine+&-cose=2sin(e+(),0e24万,■^■+2%万，

所以蚱[1,2].

故答案为：

jr

16.(2021•全国•高三竞赛)设0<d<5，-S-cos3+sin3+1=/M(COS+sin+1)3,则

实数m的取值范围是.

3播-41'

【答案】

-2-'4

cos3+sin304-1

【详解】解析:

(cos6+sin。+Ip

(cos9+sin。乂cos2夕一cos夕sing+sin?夕)+1

(cos9+sin6+1)3

令x=cos6+sin8,贝Ijx=0sin(8+?Jw(1,&],且sin8cos0=，

J।

于是I2)2+3x-x32+x-x22-x31,

m=-----------------=-------------=------------=----------=--------------

(x+1)32(x+l)32(x+l)22(x+l)2(x+l)2

显然，”是（1,&］上的减函数，所以/（应即加€,笑-4,：

_rJ

3a-41、

故答案为:

"1-'4

/

JT

17.（2020•浙江•高三竞赛）己知0,-,则

cosa+2cos0+cosy-cos(a+y)—2cos(y?+y)的最大值为.

【答案】36

【详解】cosa-cos(a+y)=2sin-ysin^cr+<2sin-1-,

同理.cos4一cos(4+y)K2siri'1',

故cosa+2cosp+cos/-cos(a+y)—2cos(4+/)<6sin—+cos/,

ffi]6sin—+cos/=-2sin2—+6sin—+1=-2|sin—।+—，

222[22)2

因为S5(-2fsin---+—<3\/2.

22<22j2

rrTT

当且仅当y=g,a=4=J时，各等号成立，

24

故答案为：3亚.

18.(2021•全国•高三竞赛)函数y=sin+tantan；)的最小正周期为.

【答案】2n

【详解】解析：当x=2版•次eZ时，y=sinA-fl+tanx-tan1^=0,

,…।f.sinx1-cosxA4।,TT~

当xw2女肛AwZ时，y=sinx1+-----------；------=tanx,其中xw匕r+—且XW2Z4+;T，

VcosxsinJC)2

画出图象可得函数周期为24.

故答案为：2%.

59

19.（2021•全国•高三竞赛）已知ABC满足2sinA+sin3=2sinC,则一一+1；的最

sinAsmC

小值是.

【答案】16

【详解】解析：2sinA+sinB=2sinCsinB=2（sinC-sinA）

=2sin妇Jcos止=4sinJgs比

2222

nsin&X=2sinXntanC=3tan±

2222

5959—山

A—+—=—+~6t

☆f=tan,，则sinAsinC_2t2t2t

?TT9r+l

16/+4

>2,/16z--=16.

止1AlC3,~A+C

当Z=一,tan—=—,tan—=一时tan->---0--,-所以A+CV18O。,

222222

59

故------------1------------|=16

sinAsinCmin

故答案为：16

AC=S_____L____________=0

20.（2021•全国•高三竞赛）在中，AC3一，贝i]BC+AB的

tan—tan—tan-

222

值为.

【答案】7

【详解】解析：记，ABC中4、B、C所对的边分别是“、b、c,

如图，设内切圆的半径为",

ArCrBr

„,tan—=---------tan—=：-----tan——=----------

则2h+c-a,2a+b-c,2a+c-b,

F~~~~2~~T~

故b+c-a+a+b-c=5（a+c-力）,故5（〃+c）=7。，

即a+c=7,

故答案为：7

21.（2021•浙江•高三竞赛）若x则函数尸4加%85%+3的最小值为

\447sinx+cosx

【答案】2垃

卜+任（0,伺,

【详解】Z=sinx+cosx=5/2sin

2（产川+3=土工山螳在

y=

、上川仅山门岬^二公立时队等1，；.

t2

故答案为：2VL

22.（2022•福建•高二统考竞赛）已知a,p,7«0,乃），且，贝I]cosa+cos夕+sin27的

最大值为.

【答案】—

2

【详解】由夕，7«0,万），a+6+2y=万知，cos^^=cos（'—，=siny>0,

又cosa+cosB=2cos°；P-cos?!,0Wcos。JW\,cos。>0,

所以，cosa+cosP=2coscos―—―W2cosa——=2sin/,

所以cosa+cos尸+sin2/02siny+sin2/,当且仅当a=4时等号成立,

/（7）=2sin/+sin2/,则/,（/）=2cos/+2cos2/=2（cos/+1）（2cos/-1）,

因此o<"g,r⑺>0；《〈”5时，尸⑺<o,

所以“7）在（。5上递增，在《《J上递减，

所以7=?时，/。）取最大值,，

。3g出_冗

因此cosa+cosB+sin2yW2siny+sin2/W，当a=0=%，/二牙时等号成立,

所以cosa+cos£+sin2v的最大值为主叵,

2

故答案为：—.

2

23.（2022•浙江•高二竞赛）已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,月.

cosC二字,则角A的取值范围是______.

2a

【答案】

【详解】由余弦定理可得cosC='+--L=空

2ab2a

22

/.a+ab=cf且3a>b>a,

cos8=>0,

lab

/.a2

设2.=x,2.=y,

aa

2=l+（l+x）>fnxe（T2），

则\+^>x

.,.xe（L2）,y2=l+xe（2,3）,则ye（夜,6）,

cosA.="+—吸=X.=W

2bc2bc

24.（2022•北京•高三校考强基计划）在^ABC中，S枷=g"。），其外接圆半径R=2,

且4卜in；!A-sin28）=（>/5a-/^sin8,则sin^~—+sin—=.

【答案】1

【分析】利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换即可求解

【详解】因为R=2,

所以4(sin?A-sin2B)=(-"卜inB

=>cr-h2=^>j3a-h^b

=a=6b

因为s丽=](〃-》)，

所以bcsinA=c(a-b)=>sinA=-——=G-1,

he

进而有sinB==1-—,

V33

A-B.CY(,A-BA+B

于是sin-----Fsin一=sin+cos

22jV2------2

.2A—B+8.A—BA+8

=sin------FCOS------i-2sin----cos-----

2222

=1--cos(>4-B)-F—cos(/l+B)+sirL4-sinB

=l-sinAsinB+sirtA-sinB

因为0vA—8<兀,()<Cv兀，

所以sin上2+sinC=l.

22

故答案为：1

25.（2022•北京•高三校考强基计划）在梯形A8CD中，AZ）〃8cM在边CO上，有

ZABM=NCBD=NBCD,则收取值范围为___________.

BM

【答案】

【分析】由/4。〃=180-/3。=180-248〃，可得A,8,M,。四点共圆，于是得

AMDB

即可得答案.

【详解】解：如图所示:

D

C

ZADM=\SO-々CD=180-ZABM，

所以四点共圆，

因为NBAM/BDM是3“所对的圆周角，

所以=

,,AM__sinZABM_sin/A8M_sin/ACB_DB

年~BM一sinZBAM-sin/BDM-sinzfBDC-~BC

又因为ZDBC=NBCD.

所以B£)=a>.

在△88中，BD+CD>BC,

即2BD>BC,

所以2.罪>1,即有,

所以要€

oC

A]

故答案为:

26.（2022•北京•高三校考强基计划）若.ABC三边长为等差数列，则cosA+cosB+cosC

的取值范围是.

【答案】（1，|

【分析】通过余弦定理以及等差数列的性质，将目标式转化为关于公差的关系是，通过

公差的范围得出结论.

【详解】不妨设三边长为l-d』,l+d,其中O,,d<g.此时:

cosA+cosB+cosC

(1+J)2+1-(1-J)2(l-J)2+l-(l+</)2(1+J)2+(1-J)2-1

=-------------------------------1---------------------------------1-------------------------------

2(1+J)2(1-4)2(1+J)(1-J)

故答案为：（1,|.

27.（2021•全国•高三竞赛）在ABC中，2cosA+3cos8=6cosC,则cosC的最大值为

【答案】近二！

6

2

【详解】令cosA=x,cosB=y,cosC=z,则2x+3y=6z,Bpy=2z--x.

因为cos123A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

于是4Z2+99。，得Z4巫匚,

J96

所以cosC的最大值为巫二1.

6

故答案为：与

四、解答题

28.（2021•全国•高三竞赛）求证：对任意的〃cN+，都有

arctan-+arctan—++arctan------------+arctan------=—.

371+鹿+〃~n+\4

【答案】证明见解析.

【详解】由于tanarctan—1]=一力]—=」，只需证:

(4〃+Ui+ix-L〃+2

n+\

111n

arctan—+arctan—++arctan----------=arctan------.

37l+〃+/r7n+2