2024年九年级数学下册 第30章 二次函数30.4二次函数的应用 2求二次函数表达式解几何最值问题教案（新版）冀教版

2024年九年级数学下册第30章二次函数30.4二次函数的应用2求二次函数表达式解几何最值问题教案（新版）冀教版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析本节课选自2024年冀教版九年级数学下册第30章二次函数30.4二次函数的应用，主要内容包括利用二次函数求几何最值问题。通过本节课的学习，学生将掌握如何建立二次函数模型，并运用求导方法求解二次函数的最大值和最小值，从而解决实际生活中的最值问题。本节课内容与教材紧密关联，旨在巩固学生对二次函数知识的理解和应用能力，提高学生解决实际问题的综合素养。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生以下核心素养目标：

1.理解二次函数的图像和性质，掌握二次函数模型建立的方法，提升学生数学抽象能力。

2.通过求解二次函数的最大值和最小值，锻炼学生逻辑推理能力，形成解决问题的策略。

3.结合实际生活中的最值问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学建模和数据分析素养。

4.培养学生合作探究精神，提高交流表达能力和团队协作能力。

5.通过学习二次函数的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养良好的数学学习习惯。三、学情分析本节课的授课对象为九年级学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在知识方面，学生已经学习了二次函数的基本概念和图像，掌握了二次函数的顶点公式和对称轴公式。在能力方面，学生能够运用二次函数的知识解决一些简单的问题，但求解最值问题的能力还有待提高。在素质方面，学生具有一定的探究精神和合作意识，但在数学建模和数据分析方面还有待加强。

在行为习惯方面，九年级学生正处于青春期，自我意识较强，容易受到外界环境的影响。部分学生对数学学习兴趣不高，缺乏主动学习的积极性。这可能导致他们在学习过程中遇到困难时容易产生挫败感，影响学习效果。此外，学生在课堂上可能出现注意力不集中、参与度不高等现象，这对课程学习产生一定的负面影响。

针对以上学情，本节课的教学策略如下：

1.注重启发式教学，引导学生主动思考，培养学生的数学抽象能力。

2.通过典型例题的讲解，让学生掌握求解二次函数最大值和最小值的方法，提高学生的逻辑推理能力。

3.结合实际生活中的最值问题，激发学生的学习兴趣，培养数学建模和数据分析素养。

4.采用小组合作学习的方式，培养学生的合作精神和团队协作能力。

5.注重课堂纪律管理，营造良好的学习氛围，提高学生的学习效果。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料。提前通知学生携带教材，并在课堂上检查教材的携带情况。对于未携带教材的学生，教师应提供备用教材或学习资料，以确保他们能够跟上课程进度。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。这些资源可以帮助学生更直观地理解二次函数的应用，并激发他们的学习兴趣。教师应提前收集和整理这些资源，并在课堂上适时展示。例如，可以准备一些实际生活中的最值问题案例，通过图片或视频展示，让学生更加直观地了解问题的背景和求解方法。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。本节课可能涉及到一些简单的数学实验，如利用图形计算器绘制二次函数图像，或者通过实际测量数据建立二次函数模型。教师应提前检查实验器材，确保它们的功能正常，并在课堂上进行示范操作，指导学生正确使用。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。为了促进学生之间的合作和交流，教师可以将教室划分为不同的区域，如讨论区、实验区等。在讨论区，可以设置小组讨论桌，鼓励学生进行合作学习和讨论。在实验区，可以设置实验操作台，供学生进行实验操作和观察。此外，教师还可以在教室墙壁上张贴相关的数学图表和公式，以提醒学生关注重要知识点。五、教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解二次函数的应用的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习二次函数的应用内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确二次函数的应用教学目标和重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保二次函数的应用教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习二次函数的应用的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入二次函数的应用学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的二次函数内容，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为二次函数的应用新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解二次函数的应用知识点，结合实例帮助学生理解。

突出二次函数的应用重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕二次函数的应用问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验二次函数的应用知识的应用，提高实践能力。

在二次函数的应用新课呈现结束后，对知识点进行梳理和总结。

强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对二次函数的应用知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决二次函数的应用问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与二次函数的应用内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合二次函数的应用内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习二次函数的应用的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的二次函数的应用内容，强调重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的二次函数的应用内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。六、知识点梳理1.二次函数的定义与图像：

-二次函数的一般形式：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

-二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，取决于a的正负。

-二次函数的图像具有对称性，其对称轴为x=-b/(2a)。

2.二次函数的顶点：

-顶点坐标公式：(-b/(2a),f(-b/(2a)))。

-当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最小值点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值点。

3.二次函数的性质：

-当x远离对称轴时，函数值增长或减少的速度加快。

-二次函数的最大值或最小值出现在顶点上。

4.二次函数与实际问题的联系：

-在实际应用中，许多问题可以抽象为二次函数模型，如物体运动的抛物线轨迹、经济活动的最优化等。

-通过建立二次函数模型，可以求解实际问题中的最大值或最小值问题。

5.二次函数的应用：

-在几何问题中，二次函数可以用来求解图形的面积、周长等最值问题。

-在代数问题中，二次函数可以用来求解方程的最大值或最小值。

6.二次函数的求导：

-二次函数的导数是一次函数，表示为f'(x)=2ax+b。

-利用导数，可以求解二次函数的极值点，即最大值或最小值点。

7.二次函数的求值：

-二次函数的值可以通过直接代入x的值来计算。

-在实际问题中，通过建立二次函数模型，可以求解特定条件下的函数值。

8.二次函数的图像变换：

-二次函数的图像可以通过平移、伸缩等变换来得到新的二次函数图像。

-这些变换可以改变抛物线的开口方向、顶点位置和对称轴。

9.二次函数的图像与方程的关系：

-二次函数的图像与方程是相互对应的，方程决定了图像的形状、位置和大小。

-通过观察图像，可以直观地了解方程的性质和特点。

10.二次函数在实际问题中的应用：

-二次函数在物理学、经济学、工程学等领域有广泛的应用。

-通过建立二次函数模型，可以解决实际问题中的最优化问题。七、板书设计1.二次函数的定义与图像：

-重点知识点：二次函数的一般形式，图像的开口方向，对称轴。

-重点词句：f(x)=ax^2+bx+c，抛物线，对称轴x=-b/(2a)。

2.二次函数的顶点：

-重点知识点：顶点坐标公式，最小值或最大值点。

-重点词句：顶点坐标(-b/(2a),f(-b/(2a)))，最小值点或最大值点。

3.二次函数的性质：

-重点知识点：远离对称轴时函数值的变化速度，最大值或最小值出现在顶点上。

-重点词句：远离对称轴时函数值变化加快，最大值或最小值出现在顶点上。

4.二次函数与实际问题的联系：

-重点知识点：实际问题抽象为二次函数模型，求解最大值或最小值问题。

-重点词句：实际问题抽象为二次函数模型，求解最大值或最小值。

5.二次函数的应用：

-重点知识点：几何问题中的面积、周长等最值问题，代数问题中的最大值或最小值求解。

-重点词句：几何问题中的最值问题，代数问题中的最大值或最小值求解。

6.二次函数的求导：

-重点知识点：二次函数的导数是一次函数，求解极值点。

-重点词句：导数f'(x)=2ax+b，求解极值点。

7.二次函数的求值：

-重点知识点：通过代入x的值计算二次函数的值，求解特定条件下的函数值。

-重点词句：代入x的值计算函数值，求解特定条件下的函数值。

8.二次函数的图像变换：

-重点知识点：通过平移、伸缩等变换得到新的二次函数图像。

-重点词句：平移、伸缩等变换，改变抛物线的形状、位置和大小。

9.二次函数的图像与方程的关系：

-重点知识点：图像与方程相互对应，方程决定了图像的形状、位置和大小。

-重点词句：图像与方程相互对应，方程决定了图像的形状、位置和大小。

10.二次函数在实际问题中的应用：

-重点知识点：二次函数在物理学、经济学、工程学等领域的应用，解决实际问题中的最优化问题。

-重点词句：二次函数在实际问题中的应用，解决最优化问题。八、课后作业2.求解二次函数的极值点：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其极值点。

3.求解二次函数的图像问题：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其在x=k时的函数值，并判断该点在图像上的位置。

4.求解二次函数的平移问题：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其向左或向右平移k个单位后的函数表达式。

5.求解二次函数的伸缩问题：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其横向或纵向伸缩k倍后的函数表达式。

举例：

1.求解二次函数的最值问题：

-f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[1,3]上的最大值和最小值。

-解答：f(x)的顶点坐标为(2,-1)，在区间[1,3]上，函数在x=1时取得最小值2，在x=3时取得最大值6。

2.求解二次函数的极值点：

-f(x)=-2x^2+4x-3，求其极值点。

-解答：f'(x)=-4x+4，令f'(x)=0，得x=1，代入f(x)得极值点(1,-1)。

3.求解二次函数的图像问题：

-f(x)=x^2-2x+1，求其在x=2时的函数值，并判断该点在图像上的位置。

-解答：f(2)=2^2-2*2+1=1，该点在图像的顶点上。

4.求解二次函数的平移问题：

-f(x)=x^2-3x+2，求其向左平移2个单位后的函数表达式。

-解答：f(x+2)=(x+2)^2-3(x+2)+2=x^2+4x+4-3x-6+2=x^2+x。

5.求解二次函数的伸缩问题：

-f(x)=x^2+2x+1，求其纵向伸缩3倍后的函数表达式。

-解答：3f(x)=3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3。作业布置与反馈作业布置：

1.基础题：

-求解二次函数的极值点：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其极值点。

-求解二次函数的图像问题：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其在x=k时的函数值，并判断该点在图像上的位置。

-求解二次函数的平移问题：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其向左或向右平移k个单位后的函数表达式。

-求解二次函数的伸缩问题：给定一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，求其横向或纵向伸缩k倍后的函数表达式。

2.综合题：