安徽省宣城市2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题

宣城市2023—2024学年度第二学期期末调研测试高二数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑·如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号·回答非选择题时，将答案写在答题卡上·写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数，则（）A.0B.1C.2D.33.设，向量，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件4.已知角的终边过点，则（）A.-1B.C.D.15.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）A.2寸B.3寸C.4寸D.6寸6.已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.7.在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（）A.B.C.D.8.已知均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是（）A.8B.9C.10D.11二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列叙述错误的是（）A.命题“”的否定是“”B.在空间中，已知直线，满足，则C.直线与圆相交D.抛物线的焦点坐标为10.中，下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若为重心，则C.若点满足，则D.若，则点的轨迹一定通过的内心11.已知函数，若，则（）A.在上单调递减B.在上单调递增C.中最大的是D.中最小的是三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若二项式的展开式的常数项为160，则实数__________.13.如图，方形花坛分成五个区域，现有4种不同颜色的花供选种.要求每一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域种不同颜色的花，则不同的种法总数是__________.14.已知偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有四个零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知等差数列前项和分别为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）已知，设，求的前项和.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，且，分别为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.（本题满分15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取50份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于30分的整数）分成七段：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求出频率分布直方分图中的值，并估计这50份样本成绩的中位数；（2）在这50份样本答卷中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取11份，再从这11份中随机抽取3份，记为3份中成绩在的份数，求的分布列和数学期望.18.（本题满分17分）已知椭圆的离心率，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.19.（本题满分17分）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.（1）判断点分别是函数的“几度点”，不需要说明理由；（2）证明：点是的“0度点”；（3）当实数满足什么条件时，点是函数的“3度点”.宣城市2023—2024学年度第二学期期末调研测试高二数学参考答案一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号12345678选项DCBDBCAC二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）题号91011选项ABDABDACD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.113.7214.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.解：（1）设数列公差为，则：解得：.所以，（2）由（1）知，①②①-②16.（1）证明：平面平面，又平面，，且为的中点，，平面平面又平面平面平面（另解：也可先证平面，进而证明平面平面）（2）解法一：如图，连结，由（1）知平面，所以，为直线在平面内的射影，且，所以，即为直线与平面所成的角.在直角梯形内，过作于，则四边形为矩形，，在中，，所以，，在中，，所以，综上，直线与平面所成角的正弦值为.解法二：在直角梯形内，过作于，则四边形为矩形，，在中，，所以，，以点为原点，分别为轴，建系如图则.由（1）知，平面，平面法向量可取，设直线与平面所成角为，则，综上，直线与平面所成角的正弦值为.17.解：（1）由.又.所以，估计这50份样本成绩的中位数为：.（2）因为三组的频率之比为，所以从三组中抽取的份数分别为.由题意可取，且，所以的分布列为：0123所以.18.解：（1）依题可得解得，则椭圆方程为.（2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，故直线的斜率存在，则设直线为：，设，联立，得，则，即或，，则，点到直线的距离为，则，令，则，则当且仅当，即，即时等号成立，故面积的最大值为.19.解：（1）分别是函数的1度点，2度点，0度点.（2），则曲线在点处的切线方程为.要证点是的“0度点”，即证过恰能作的0条切线，即证关于的方程在无解.设，则当时，在区间上单调递增.当时，关于的方程在无解，即点是函数的一个0度点（3），对任意，曲线在点处的切线方程为点为函数的一个3度点当且仅当关于的方程恰有三个不同的实数解，即恰有三个不同的实数解设，则点为函数的一个3度点当且仅当恰有三个不同的零点.①当时，在上单调递增，只有一个